Les super-short-scans sur deux cercles

(a) (b)

Figure 4.13 – Reconstruction d’une ROI dans le cas de Defrise [8] (a) et d’une ROI triangulaire par la m´ethode VFB (b). Les ROIs maximales de la reconstruction stable et exact sont les zones d’ombre. La trajectoire virtuelle de la source des rayons X est les lignes gras dans (b).

zone d’int´erˆet ou pour reconstruire un radio panoramique classique. Mais un grand champ de vue est n´ecessaire pour les imageries maxillo-faciale et c´ephalom´etrique. La taille du champ de vue est d´etermin´ee par celle du d´etecteur lorsque la g´eom´etrie d’un scanner est fix´ee. On peut utiliser un grand d´etecteur dans les scanners pour satisfaire les besoins de tous types d’imagerie dentaire. Mais le coˆut d’un d´etecteur augmente fortement avec la taille du d´etecteur. Cela coˆute tr`es cher pour des dentistes qui utilisent principalement les images `a petit champ de vue. On s’int´eresse donc aux m´ethodes reconstruction d’un grand champ de vue avec un plus petit d´etecteur. Dans ce cas l`a, plusieurs balayages sont n´ecessaires car le champ de vue est inf´erieur au volume d’int´erˆet. Par cons´equent, la dose d´elivr´ee au patient augmente car il faut un temps d’exposition plus important. Nous proposons ici d’utiliser le mode de super-short-scan pour minimiser le temps d’exposition. Le mouvement de la source de rayons X doit ˆetre le plus simple possible pour r´eduire la difficult´e de conception d’un syst`eme m´ecanique effectuant de multiple balayages. La source de rayons X se d´eplace en translation et rotation dans le plan. Nous pr´esentons dans la suite les trajectoires super-short-scans compos´ees deux cercles (voir la figure 4.16) et trois cercles (voir la figure4.17.(b)) selon la taille du volume. Par simplifier la pr´esentation, les trajectoires super-short-scans sur des multiples cercles sont expos´es en tomographie 2D en g´eom´etrie divergente ce qui peuvent ˆetre facilement ´etendus en tomographie 3D `a faisceaux coniques [108].

IV.2.1 Les super-short-scans sur deux cercles

Pour reconstruire un objet avec deux balayages, on peut proc´eder de la fa¸con suivante. Dans le premier temps, nous reconstruisons la premi`ere moiti´e de l’objet `a l’aide du pre-mier jeu de mesures, puis nous reconstruisons la deuxi`eme moiti´e en utilisant le deuxi`eme jeu de donn´ees. La reconstruction compl`ete de l’objet est alors ´equivalente `a la recon-struction deux zones d’int´erˆet disjointes avec des projections tronqu´ees (voir la figure 130

Reconstruction `a partir des acquisitions super-short-scan sur multiples cercles

(a) deux balayages (b) trois balayages

Figure 4.14 – G´eom´etries des syst`emes avec la trajectoire de la source de rayons sur deux cercles (a) et trois cercles (b). Dans (a), le support de l’objet ( par exemple Shepp-Logan ) Ω est un ellipse. Q₁ et Q₂ repr´esentent les deux “ full-scan ” (360°). O1 et O₂ sont respectivement les centres de rotation de Q₁ et Q₂. Le support de l’objet Ω ( par exemple la mˆachoire ) est un triangle ´equilat´eral dans (b), dont les trois sommets sont V₀, V₁ et V₂. G est la gravit´e de le triangle. Les champs de vue sont les cercles virtuels.

4.3.(a)). Notons que le d´etecteur est trop petit pour mesurer l’ensemble des projections de l’objet. Dans ce cas l`a, la trajectoire circulaire “optimale” de la source des rayons X est celle qui est d´etermin´ee par la m´ethode VFB (ligne solide rouge dans la figure 4.15). Le d´ebattement angulaire de la trajectoire VFB de chaque balayage (Π₁ou Π₂) est facilement calculable :

|Π₁| = |Π₂| = π + 2α₁, (4.34)

avec α₁ = c/R, o`u c est la distance entre le centre de l’objet et le centre de rotation d’une acquisition et R est la distance en la source et le centre de rotation. Cette trajectoire ainsi obtenue est plus petite que celle que l’on utiliserait si on faisait un “ short-scan” sur l’ensemble de l’objet : π + 2α<sub>max</sub> avec α<sub>max</sub> (voir la figure 4.5) car c < R<sub>0</sub>. Une autre alternative consiste `a reconstruire l’ensemble de l’objet `a partir des deux trajectoires. Dans ce cas, on s’aper¸coit qu’il y a une certaine redondance dans les donn´ees. Par exemple la ligne de la figure 4.15 passant le pixel M est mesur´ee deux fois.Nous avons mis en ´evidence la redondance pr´esente dans les donn´ees par les courbes en gras noire et bleu sur la figure 4.15. Afin de r´eduire cette redondance, nous proposons de d´efinir deux trajectoires de type super-short-scans Π_ss1 et Π_ss2 voir la figure 4.16.

Les positions initiales de la source a(γ1_s) et a(γ2_s) se trouvent sur la tangente au domaine d’objet. Nous calculons dans la suite les d´ebattements angulaires Πss1 = [γ1sγ1e]

IV.2.1 - Les super-short-scans sur deux cercles

Figure 4.15 – Illustration sch´ematique de la m´ethode VFB. La trajectoire virtuelle est ligne rouge solide.

Figure 4.16 – Illustration sch´ematique des super-short-scans sur deux cercles.

et Π_ss2 = [γ2_s γ2_e] voir la figure 4.16, γ1_s = π + ζ₁, (4.35) γ1_e = β₁, (4.36) γ2_s = −ζ₂, (4.37) γ2e = π − β2, (4.38) 132

Reconstruction `a partir des acquisitions super-short-scan sur multiples cercles

avec

ζ₁ = ζ₂ = arcsin(b/R), (4.39)

ς₁ = arcsin(h/R) = arcsin R₀− 2c sin ξ R



, (4.40)

β₁ = β₂ = ξ + ς₁, (4.41)

o`u R₀ est le rayon de champ de vue qui est fix´e comme ci-dessous par la taille du d´etecteur (le nombre des cellules M_d et la taille de pixel δ_d) lorsque la g´eom´etrie du scanner (R et D) est donn´ee :

R₀ = ^R

D^{Mdδd (4.42)}

et ξ est l’angle de la tangente commune au domaine d’objet et le champ de vue voir la figure 4.16, qui est exprim´e ci-dessous :

ξ = arctan(1/ s (^{R0c +}p(a2− b2)(R2 0− b2) + b2c2 R2 0− b2 )2− 1). (4.43)

Nous comparons les projections de “ R-scan ” et celles de super-short-scan. L’angle des projections r´eduite par notre super-short-scan par rapport `a “ R-scan ” est ∆_Π,

∆_Π = |Π₁| − |Π_ss1| =π + 2α₁− |γ1_e− γ1_s|

=2α₁+ ξ + ς₁− ζ₁. (4.44)

Lorsque l’objet `a reconstruire est plus grand, nous avons besoin de faire plus d’acquisition. Nous introduisons alors une trajectoire trois cercles qui est particuli`erement bien adapt´ee `a la reconstruction de la mˆachoire en imagerie dentaire.