M´ ethode de correction du diffus´ e propos´ ee

avec les fonction logarithmiques (eq.3.58), voir la figure 3.17.

( ˆw₁, ..., ˆw_NE; ˆc₁, ..., ˆc_NE) = arg min wn,cnn=1,...,NE M X i=1 ka − ln( NE X n=1 w_ne^−cnTi) − g_i^metalk2, (3.61) avec la composante constante de mesures |a| < c_maxT_maxet la longueur d’intersection de rayons X avec le m´etal T_i,

Ti =

N

X

j=1

hijb^metal_j . (3.62)

Les param`etres estim´es avec NE = 2 sont les a = 0, 008, w1 = 0, 287, c1 = 0, 885, et w₂ = 2, 026, c₂ = 1, 998, dans la figure 3.17.

Les projections polychromatiques estim´ees sont g´en´er´ees par la fonction non-lin´eaire, gmetal

E . Et les projections monochromatiques estim´ees gmetal

mono sont faites par projec-tions d’image du m´etal o`u les pixels du m´etal sont ´egaux `a la moyenne des valeurs reconstruites du m´etal dans l’image initiale, voir la figure3.18.

g^metal_mono = ¯f^metalHB^metal, (3.63) avec ¯ f^metal = PN j=1b^metal_j finit,j PN j=1bmetal j . (3.64) 6. Correction du durcissement, g_c.

g_c= g + g^metal_mono − gmetal

E . (3.65)

Une illustration sch´ematique de notre m´ethode de correction de durcissement est donn´ee dans la figure 3.35. Les stries noires d’alignement liant les m´etaux sont effectivement r´eduites par notre m´ethode BHC, voir les figures 3.19.(c) et .(d). Le bord d’os `a cot´e de la boule m´etallique est reconstruit nettement (voir la figure3.19.(c)), par contre, il est mal reconstruit par le MAR-LI (voir la figure 3.19.(b)), car l’information de bord est perdue due `a l’interpolation lin´eaire, voir la figure 3.20. En plus, il reste des petits trous noirs autour de m´etal dans l’image de BHC propos´e (voir la figure3.19.(c)), compar´ee avec l’image de MAR-LI (voir la figure 3.6.(c)), mais notre m´ethode BHC n’introduit pas de nouveaux artefacts. La r´esistance de ces trous noirs peut ˆetre `a cause d’erreur de correction. Nous montrons la diff´erence des donn´ees originales et celles corrig´ees par la suite, nous constatons que la discontinuit´e de la diff´erence sur le bord de m´etal est tr`es importante dˆu aux erreurs de correction, qui peut g´en´erer les trous noirs. Par cons´equence, les erreurs de correction doivent ˆetre prise en compte dans la reconstruction.

III.4.4 M´ethode de correction du diffus´e propos´ee

Le m´etal dans l’objet peut bloquer les faisceaux de rayons X comme le “ beam-stop ”, notamment avec de multiple implants m´etalliques, en imagerie m´edicale, car il y a de l’att´enuation tr`es forte dans les directions o`u deux ou plus implants m´etalliques sont align´es, voir la figure 3.3. Alors nous supposons que les m´etaux dans l’objet bloquent

M´ethodes de MAR propos´ees

Figure 3.17 – Estimation de la courbe polychromatique par ajustement des donn´ees sur l’extrait de contribution de m´etal dans les donn´ees originales gmetal.

Figure 3.18 – La courbe monochromatique (en noire) et la courbe polychromatique (en rouge) en fonction de longueur d’intersection de rayons X avec le m´etal.

totalement les faisceaux de rayons X qui les traversent. Cette hypoth`ese peut ˆetre valid´ee lorsqu’on travail `a faible dose, ou lorsque l’´energie de photons X ne peut ˆetre pas

suffisam-III.4.4 - M´ethode de correction du diffus´e propos´ee

(a) (b)

(c) (d)

Figure 3.19 – Images reconstruites par FBP `a partir des donn´ees originales (a), des donn´ees d’interpolation lin´eaire (b), et des donn´ees corrig´ees par notre m´ethode BHC (c). La diff´erence de (c-a) est montr´ee dans (d). Dans la m´ethode MAR-LI, le m´etal est coll´e dans l’image (b). Les fenˆetres d’affichage sont le [-0,01 0,04] dans (a)-(c), et le [-0,02 0,02] dans (d).

ment forte pour traverser le m´etal configuration o`u la tension du g´en´erateur de rayons X est faible. De plus nous supposons que la composante du rayonnement diffus´e est tr`es basse fr´equence. Cette hypoth`ese est valide lorsque la distance entre l’objet et le d´etecteur est suffisamment grande. Nous exposons les hypoth`eses faites dans notre m´ethode de cor-rection du diffus´e ci-dessous :

• H3.1 : les m´etaux dans l’objet peuvent stopper les faisceaux de rayons X concern´es comme les “ beam-stop ”.

• H3.2 : la distribution de diffus´e est lisse en espace de mesure. 96

M´ethodes de MAR propos´ees

Figure 3.20 – Profils des images reconstruites suivants le segment de droite jaune dans la figure 3.19.(a).

Figure 3.21 – Diff´erence des donn´ees de correction de durcissement et celles originales (a) et profil (b) suivant le segment de droite dans (a).

De plus, si l’objet `a scanner est plus petit que le champ de vue, le rayonnement sur les bords du d´etecteur ne passe pas par l’objet. Dans cette partie du d´etecteur, la mesure est la somme de l’intensit´e des faisceaux de rayons X directs et diffus´es. Nous pouvons estimer le diffus´e sur le bord du d´etecteur avec les connaissances de l’intensit´e des rayons X ´emis. L’intensit´e des rayons X est facilement mesurable en utilisant l’image de blanc (acquisition sans objet). Une fois le diffus´e du bord de l’objet est mesur´e, il est consid´er´e comme une constante pour la mˆeme classe de l’objet. Dans les traitements cliniques, nous pouvons r´ep´eter les mesures du diffus´e du bord en utilisant un fantˆome de crˆane

III.4.4 - M´ethode de correction du diffus´e propos´ee

Figure 3.22 – Illustration de la m´ethode de correction du diffus´e propos´ee. s_Aet s_M sont respectivement le diffus´e concern´e `a rien traverser et au m´etal.

masculin standard dans les tests pour approcher le diffus´e du bord du patient homme, car la variation du niveau du diffus´e du bord des crˆanes parmi les patients diff´erents est relativement faible. Nous pouvons aussi faire la mˆeme chose pour les enfants et les femmes.

Un mod`ele direct simple avec le diffus´e est donn´e ci-dessous :

I = I₀(e^−Hf + s(f |G)) + I_, (3.66) o`u s(f |G) est la distribution du diffus´e normalis´ee, qui est d´ependant de l’objet f et de la g´eom´etrie de syst`eme de scanner G, et il se simplifie en s ci-apr`es. Et I_ est le bruit de mesures.

En pratique, I₀est mesur´e en faisant une acquisition sans objet. Pour estimer le diffus´e o`u les faisceaux de rayons X n’ont rien travers´e, on a e<sup>−Hf</sup> ≈ 1<sub>N</sub>, et le diffus´e est alors estim´e de mani`ere suivante pour qu’il soit positif :

ˆ s = k^I

I₀ − 1_Nk₁, (3.67)

o`u k.k1 est le L1 norme.

Les principes de notre m´ethode sont pr´esent´es ci-dessous voir la figure 3.22 :

1. Reconstruction initiale f_ini par FBP, voir la figure 3.25.(a) ;

2. Segmentation du m´etal Bmetal et projections de l’image du m´etal HB^metal comme dans notre m´ethode de correction du durcissement ;

3. Extrait des mesures du diffus´e o`u les rayons X sont bloqu´es par le m´etal et calcul de la distribution de diffus´e o`u les faisceaux de rayons X n’ont pas travers´e avec l’´equation 3.67 ;

M´ethodes de MAR propos´ees

4. Estimation de la distribution du diffus´e dans l’´etape pr´ec´edente en ligne par ajuste-ment des donn´ees, voir la figure 3.23 ;

5. Estimation du reste de la distribution de diffus´e par interpolation spline cubique d’apr`es la hypoth`ese H_3.2, voir les figures 3.22 et 3.23 ;

6. Filtrage gaussienne de la distribution estim´ee du diffus´e en fonction des angles des projections. Nous choisissons la longueur du noyau gaussien `a 3 pixels ;

7. Soustraction du nombre estim´e de photons X diffus´es d´etect´es dans les mesures originales.

I_c= I − I₀ˆs (3.68)

Figure 3.23 – Illustration de l’estimation de la distribution du diffus´e.

Afin d’´evaluer notre m´ethode de correction du diffus´e, nous faisons une simulation avec le fantˆome 1, la mˆachoire de deux mat´eriaux (les os et le cuivre). Nous faisons les simulations en supposant un g´en´erateur monochromatique afin de bien analyser la contribution des diff´erents probl`emes qui d´egradent les reconstructions. Nous ajoutons ensuite un rayon-nement diffus´e simul´e basse fr´equence (voir la figure3.24.(a)) et un bruit gaussien additif dont la variance σ2

i est d´ependante du nombre de photons X y_i, σ_i = 0, 01 ∗ y_i, i=1,2, ..., M.

Le diffus´e estim´e par notre m´ethode de correction est pr´esent´e dans la figure3.24.(b). On observe sur cette figure que nous obtenons une bonne approximation du diffus´e original (voir la figure3.24.(a)). Nous observons aussi qu’il y a une grande variabilit´e des mesures du diffus´e. On peut expliquer ce ph´enom`ene sur le bord par la statistique du bruit poissonnienne. Pour ce qui est de la partie centrale lorsque la distance de m´etal travers´ee est trop faible, on sur-estime le nombre de photons diffus´es. Nous utilisons la m´ethode de moindres carr´es LS (acronyme anglais de Least-Squares) pour reconstruire car le nombre des photons X sur l’alignement du m´etal apr`es la correction du diffus´e est tr`es faible. De plus, nous prenons pas en compte les donn´ees qui sont tr`es bruit´ees `a cause du pr´ e-traitement logarithmique des donn´ees. En comparant les figures3.25.(a) et .(b), la plupart