Méthodes Procustes et ACP

III.2.4.1 Principe des Analyses Procustes

Procruste, Procuste ou Prokroustés, était selon les légendes un brigand grec qui attachait les voyageurs sur un lit et leur coupait ou étirait les jambes afin que leur taille corresponde à celle du lit (HOWATSON, 1993). On donne depuis comme sens à ce terme « celui qui étire ». Les méthodes de superimpositions Procustes reprennent ce procédé. L’approche géométrique de la forme permet le traitement indépendant des conformations (shape) et du paramètre de taille (size), quel que soit le nombre d’individus considérés (deux ou plus).

Les structures à comparer sont alignées suivant leur centre de gravité par une translation (figure 29). Puis, ces structures sont mises à la même échelle. Ce processus de normalisation permet de travailler à taille isométrique et de traiter ce paramètre en tant que variable indépendante (Centroïd Size ou CSI). La dernière opération consiste à ajuster les individus par une rotation.

Figure 29 : Différentes étapes de la superimposition Procuste (d’après Bruner, 2003). En procédant à l’alignement généralisé suivant les moindres carrés (GLS, Generalized Least-Squares), l’ajustement réparti l’ensemble des déformations sur la totalité des points homologues considérés.

Le choix des points, de type I à III (BOOKSTEIN, 1991), de leur nombre et du nombre d’individu, influent sur la représentation de la variabilité au sein de l’échantillonnage, et ainsi sur les comparaisons inter- et intra-groupes.

III.2.4.2 Analyse en composante principale (ACP)

La superimposition des individus ne suffit ni à décrire les allomorphoses (changements de conformation), ni les allométries (changements de taille) au cours de la croissance. Nous obtenons un individu consensuel, moyenne des autres. Pour exprimer la variabilité de l’échantillon et pouvoir l’étudier, il convient de traiter les résultats de la superimposition (résidus Procustes) par une Analyse en Composante Principale, analyse statistique multivariée.

Principes

L’Analyse en composante principale a pour objet de décrire les informations contenues dans une matrice des données qui se compose de lignes d'individus (fossiles) et de colonnes de variables quantitatives (longueur, largeur, épaisseur).

L'ACP peut être faite sur des données brutes ou sur des données réduites. Elle permet de représenter géométriquement des individus et des caractères par une réduction de ceux-ci. Les caractères principaux doivent être indépendants (coefficient de corrélation nuls) et complémentaires au sens de l'information.

L'ACP est une méthode factorielle. La réduction du nombre de caractères se fait par une construction de nouveaux caractères obtenus en combinant les caractères initiaux au moyen de facteurs. C’est une méthode linéaire traitant des caractères numériques pour obtenir une représentation d'un nuage N(I) des individus dans un espace de dimension réduite. Il faut déterminer les axes factoriels prenant le mieux en compte la dispersion des points du nuage. On obtient une représentation plane du nuage en projetant orthogonalement au sens de la métrique M tous les points sur le plan principal d'inertie (espace 2D).

L'espace des individus est représenté par des vecteurs, où chacun des individus est un vecteur. La distance entre deux individus est appelée "métrique".

L'inertie totale du nuage de points est la moyenne pondérée des carrés des distances des n points au centre de gravité. Cette quantité mesure l'éloignement des points par rapport à leur centre de gravité, c'est-à-dire la dispersion globale du nuage (inertie nulle = individus identiques).

L'espace des caractères est représenté aussi par des vecteurs, chaque caractère étant un vecteur. La métrique choisie est une matrice diagonale car : le produit scalaire de deux caractères est la covariance ; la longueur d'un caractère est égale à son écart type ; le cosinus de l'angle entre deux caractères est le coefficient de corrélation linéaire.

Les axes et les facteurs principaux v1, v2,...,vn (dans le cas simplifié où M est la matrice Identité) sont les vecteurs propres de la matrice associée aux valeurs propres. Le nombre de valeurs propres non nulles (car sinon il y a une relation linéaire entre les caractères initiaux) donne la dimension de l'espace dans lequel sont réellement faites les observations. Les composantes principales sont définies par les variables C. Les variances d'une composante principale sont les valeurs propres. L'ACP remplace les p caractères initiaux par des caractères non corrélés de variance maximale et d'importance décroissante. Les premières composantes principales C sont les combinaisons linéaires des variables centrées et réduites ayant une variance maximale.

Résultats

Afin de donner une signification aux résultats, on considère les corrélations et les individus typiques. On repère aisément les caractères liés entre eux ou opposés. L'ACP construit des représentations graphiques permettant de visualiser des relations entre variables ainsi que l'existence éventuelle de groupes d'individus et de groupes de variables.

- Les corrélations sont synthétisées dans un cercle imaginaire à deux axes ou plus. Chaque axe représente une composante principale. On regarde la position des variables par rapport à cet axe.

- Si les variables sont proches de la direction positive de l'axe alors elles sont corrélées, si les variables sont proches de la direction négative de l'axe elles sont alors anti-corrélées,

- Si les variables sont proches d'un autre axe, alors elles sont non corrélées,

- On ne peut comparer des points entre eux que s’ils sont proches de la circonférence du cercle, par contre on ne peut rien dire quand les variables sont agglomérées au centre du cercle, ou de la sphère unité.

Chaque composante décrit la variance maximum de l’échantillon qui exprime sur les résidus Procustes la relation d’allomorphose contenue dans l’échantillon. Les composantes principales (plus haut pourcentage) sont appelées composantes ou vecteurs de conformation, décrivant les mouvements de l’ensemble des points.

Si une régression de la taille, devenue paramètre indépendant après normalisation, est réalisée sur les vecteurs de conformation, les changements ainsi visualisés, peuvent être interprétés en terme d’allométries de croissance.

Chaque composante analysée permet d’expliquer une partie de la variance générale de la population. Selon son poids, il est alors possible de dire si le caractère analysé joue ou non un rôle dans la morphologie étudiée.