Il y a deux méthodes largement utilisées pour mesurer la position d’interaction d’un gamma par division de lumière : la méthode linéaire et la méthode logarithmique. À
ces dernières s’ajoutent des méthodes plus raffinées ou originales, moins fréquemment utilisées. Nous comparerons ces différentes méthodes dans la section 2.7. L’objectif est de donner au final des informations sur la position d’interaction du gamma, ainsi que sur l’énergie déposée. Ces informations seront ensuite utilisées pour la reconstruction PET.
1.3.1 Méthode linéaire
Pour la méthode linéaire, aucune supposition n’est faite quant aux modèles physiques d’atténuation lumineuse le long du cristal. Si les nombres de photoélectrons mesurés à droite et à gauche du scintillateur sont respectivement Ndet Ng, la quantité calculée sera [ Ur-Rehman et al. 2011 ] :
Q= Nd
Ng+Nd
(III.11)
où Q est alors la fraction de lumière récoltée à droite. À partir de cette valeur de Q pour différentes positions dans le cristal, un fit polynomial modélise la relation entre la position d’interaction et la valeur Q de façon biunivoque. Il est alors possible de remonter à la position d’interaction par la mesure des charges détectées à chaque extrémité du barreau scintillateur. Cette méthode est efficace, mais est simpliste dans son approche car elle ne suppose aucun modèle physique, et se limite donc à un ajustement polynomial du comportement de l’atténuation lumineuse.
1.3.2 Méthode logarithmique
L’approche logarithmique dérive quant à elle d’un modèle d’atténuation exponentiel de la lumière le long du barreau scintillateur, proposé dès 1982 [ Carter et al. 1982 ]. Cette méthode a été décrite auparavant (voir paragraphe 2.1 du chapitre II, partie B). Elle a l’avantage de prendre en compte les effets d’atténuation lumineuse (pour peu que le modèle exponentiel soit applicable), contrairement à la méthode linéaire. En pratique, les résultats obtenus sont peu différents. D’autres méthodes existent, bien qu’elles soient moins largement utilisées dans la littérature.
1.3.3 Méthode du contraste
Une méthode raffinée est la méthode proposée par Salvador en 2010, utilisant un modèle fin de l’atténuation lumineuse et du nombre de photoélectrons détectés à droite et à gauche [ Salvador et al. 2010 ] :
Nd= 1 2Y gEγ Ω(L − z)e−L−zλ + (1 −Ω(L − z)e −L−z λeff (III.12) Ng = 1 2Y gEγ Ω(z)e−λz + (1 −Ω(z)e − −z λeff (III.13)
où la fonction Ω permet de prendre en compte les effets de l’angle solide (Ω = S/z2, avec S la section du cristal). Le paramètre λ est la longueur d’atténuation lumineuse intrinsèque du cristal et λef f est la longueur d’atténuation lumineuse effective du cristal
(avec réflexion optiques incluses). Ainsi, dans ces équations, le premier terme représente la partie de la lumière directement détectée, sans réflexion optique (avec l’atténuation lumineuse intrinsèque du milieu) ; le second terme est la part de lumière détectée après réflexions optiques (avec l’atténuation effective du milieu). Empiriquement, la longueur d’atténuation effective est modélisée par l’inverse d’un polynôme du second degré :
λef f =
1
avec A, B et C des paramètres à déterminer par calibration.
Ce modèle est ensuite injecté dans un paramètre C appelé le contraste, tel que :
C= Ng− Nd
Ng+Nd
(III.15)
Lors de la calibration, le contraste est mesuré pour différentes positions, et un ajustement est réalisé en utilisant les équations III.12 et III.13, ce qui donne une relation biunivoque entre le contraste et la position d’interaction du gamma. Ainsi, lors de la détection d’évé- nements, la valeur du contraste donne directement une valeur de la position d’interaction du gamma. Cette méthode, prenant en compte beaucoup d’effets, est plus lourde en terme de calibration car elle demande plus de points pour faire un ajustement précis. Nous ap- pellerons cette méthode la méthode du contraste.
1.3.4 Méthode du maximum likelihood
Une méthode utilisée dans de nombreux domaines est la méthode du Maximum Like- lihood. En supposant une distribution poissonnienne de la charge collectée pour un jeu de données qj, ayant une valeur moyenne ci,jE, alors le log-likelihood peut s’écrire de la
forme suivante [ Lerche et al. 2011 ] :
Li =X
i
qjlog(ci,jE)− ci,jE (III.16)
où ci,j est la fraction de charge reçue par le SiPM j depuis la position d’interaction i, et E est l’énergie absorbée par le cristal. L’indice i(n) de la zone d’interaction la plus vraisemblable est celle qui maximise de log-likelihood :
i(n) =argmax Li(i, E(n)|q) (III.17)
où (n) est l’itération. Ce qui permet de corriger également l’énergie en conséquence :
E(n) = P jqj P jci(n),j (III.18)
pour être réinjectée ensuite de manière itérative dans l’équation III.16. Cette méthode du Maximum Likelihood est relativement contraignante, car elle demande une calibration avec un pas fin pour connaître précisément les ci,j. De plus, elle se base sur une hypothèse
forte au départ, en supposant une distribution poissonnienne. Nous en discuterons les résultats par la suite.
1.3.5 Méthode hyperbolique
Nous avons également voulu tester une méthode originale, qui se base sur la différence des équations II.5 et II.6, alors que la méthode logarithmique se base sur le ratio. On arrive également à isoler la position d’interaction z selon la formule suivante :
z= 1 αargsinh Ng− Nd gY Eγe−αL/2 ! (III.19)
Cette méthode nécessite donc de mesurer deux paramètres par calibration : le facteur α comme pour la méthode logarithmique, et le dénominateur en argument de la fonction arg- sinh, qui est une multiplication de plusieurs facteurs constants. Cette méthode étant basée sur la soustraction des charges détectées, elle peut offrir une sensibilité aux fluctuations différente de la méthode logarithmique. Nous l’avons appelée la méthode hyperbolique.
1.3.6 Méthode du projet AX-PET
Enfin, une dernière méthode qu’on pourrait citer est celle proposée initialement avec le projet AX-PET [ Beltrame et al. 2011 ]. Le dispositif instrumental présenté est très loin de la division de lumière usuelle, car il est proposé de lire la lumière tout le long du barreau scintillateur à l’aide de wavelength shifter (WLS). Alors la lumière n’est pas collectée aux deux extrémités mais tout le long du cristal. Sans donner plus de détails sur les différents articles, il est dit que la position d’interaction du gamma est retrouvée à l’aide des WLS [ Beltrame et al. 2011 ; Bolle et al. 2012 ]. On peut raisonnablement penser qu’un système de barycentrage de la lumière collectée sur les différents WLS donne la position d’interaction du gamma. Cette méthode sophistiquée ne s’applique pas au projet MoniPET, et ne sera donc pas discutée plus en détail.
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Résultats et performances expérimentales
Les performances expérimentales en terme de résolution spatiale ont été mesurées en faisant varier différents paramètres. Notamment l’influence du revêtement, l’influence du matériau scintillateur avec des mesures en LYSO ainsi qu’en GAGG, l’influence de la longueur du cristal ainsi que la section des cristaux en dernier lieu. Mais avant de présenter les résultats, nous allons introduire des notions essentielles à leur interprétation.