Nous allons dans un premier temps préciser le modèle choisi pour la division de lumière, puis sonder, de façon analytique, la résolution spatiale atteignable théoriquement selon ce modèle.
2.1.1 Modélisation de la division de lumière
On souhaite modéliser un cristal scintillateur en forme de barreau, relativement long (de l’ordre de 10 cm). L’objectif est de remonter à la position d’interaction d’un gamma de 511 keV par division de lumière, avec une certaine précision. Ce concept a été introduit historiquement pour la détection de rayons cosmiques [ Yuan et Poss 1952 ; Carter et al. 1982 ] et est appliqué aujourd’hui à l’imagerie médicale. Pour rappel, on vise une résolution spatiale de l’ordre de 5 mm après reconstruction tomographique pour l’appareil final. D’après l’expression empirique énoncée par [ Moses et al. 1997 ], la résolution spatiale Γ d’un PET suit la relation :
Γ(F W HM) =1.25 q
(d/2)2+ (0.0022D)2+R2 (II.2)
où d est la taille d’un cristal (unité de résolution spatiale), D le diamètre du PET, et R le libre parcours moyen du positron (dépendant du marqueur). Le terme 0.0022D prend en compte l’imprécision liée à l’acolinéarité des gammas émis par l’annihilation positron- électron. En prenant une résolution spatiale après reconstruction de 5 mm, un cylindre standard de diamètre 80 cm, et un libre parcours moyen de 1 mm, la taille du cristal d doit être de 7 mm maximum. En pratique, MoniPET ne s’appuiera pas sur la dimension d’un cristal pour la localisation (et donc une fonction porte pour la résolution spatiale), mais sur une réponse continue avec une résolution spatiale de forme gaussienne. Il faudrait donc a priori se situer légèrement en dessous de 7 mm pour compenser ces effets.
Considérons maintenant un barreau scintillateur, de longueur L (en cm) situé entre -L/2 et L/2, dans lequel N0 photons sont produits par scintillation à la position x (x ∈
[-L/2 ;L/2]). Si on considère une atténuation exponentielle des photons sur la longueur du cristal, alors les nombres de photons aux extrémités gauche (Ng) et droite (Nd) peuvent
s’exprimer sous la forme [ Carter et al. 1982 ] :
Ng = 1 2N0e −α(L/2+x) (II.3) Nd= 1 2N0e −α(L/2−x) (II.4)
où α est le coefficient d’atténuation lumineuse (en cm−1). En pratique, les photons de scintillation sont détectés par un photodétecteur (type PMT), et donc le cristal est optiquement couplé à ce dernier. De même, le nombre de photons de scintillations générés N0 dépend de deux paramètres : l’énergie absorbée par le cristal1, et le rendement du
scintillation du cristal.
On pourrait alors écrire N0=YEγ où Y est le rendement de scintillation et Eγ est l’énergie absorbée par le cristal scintillateur. Ainsi, le nombre de photoélectrons détectés à gauche Qg et à droite (Qd) s’expriment en conséquence :
Qg = 1 2gY Eγe −α(L/2+x) (II.5) Qd= 1 2gY Eγe −α(L/2−x) (II.6)
1. L’énergie absorbée par le cristal signifie l’énergie que le photon gamma a transféré à l’électron (par effet Compton ou Photoélectrique), puis que ce dernier a déposé dans le cristal par ionisation.
où g est un facteur prenant en compte le rendement quantique de la photocathode du PMT, ainsi que les pertes liées au couplage entre le cristal et la fenêtre d’entrée de la photocathode.
On remonte alors analytiquement à la position x via la relation suivante :
x= 1 2αln Qd Qg ! (II.7)
En considérant maintenant l’erreur statistique sur Nd et Ng, la résolution spatiale σx sur la mesure de x est alors donnée par la formule suivante :
σx =
eαL/4 αp
gY Eγ
(cosh(αx))1/2 (II.8)
On peut dès à présent déduire quelques propriétés de ce modèle, à énergie absorbée constante :
– Plus la longueur du barreau scintillateur est élevée, plus la résolution spatiale est élevée.
– Plus le rendement de scintillation du cristal est élevé, meilleure est la résolution spatiale ; il en va de même pour l’énergie absorbée.
En ce qui concerne le coefficient alpha, la conclusion est plus difficile à établir. On constate qu’un coefficient α élevé dégrade la résolution spatiale, par le terme eαL/4 notamment. Intuitivement, une atténuation lumineuse très élevée tue l’information, et dégrade donc la résolution spatiale. À l’inverse, un coefficient α très petit dégrade également la résolution spatiale par le terme en 1/α. L’absence d’atténuation lumineuse empêche effectivement de discriminer droite/gauche, et donc dégrade la résolution spatiale. C’est donc une affaire de compromis. On distingue en théorie trois valeurs remarquables pour α :
– α = 4/L : meilleure résolution au centre du cristal – α ' 2.88/L : meilleure résolution intégrée sur la longueur – α ' 2.22/L : meilleure résolution aux extrémité du cristal
Selon la valeur de l’atténuation lumineuse α, les performances seront donc sensiblement différentes. Sur ce coefficient α repose toute l’optimisation pour une longueur de cristal donnée. Nous chercherons dans la mesure du possible à nous approcher de la valeur Lα = 2.22, qui offre une résolution spatiale plus uniforme sur toute la longueur du cristal.
2.1.2 Résolution spatiale
On souhaite maintenant, à partir du modèle défini précédemment, estimer la résolution spatiale par division de lumière que l’on peut atteindre à partir de certaines configurations. Nous allons donc utiliser l’expression (V.1), entrer des valeurs pour les paramètres, pour ainsi remonter à la résolution spatiale par division de lumière.
Choisissons un cristal scintillateur en LYSO (Lu1.8Y0.2SiO5 :Ce), ayant un rendement de scintillation Y = 32 photons/keV, lu à chaque extrémité par un photomultiplicateur ayant un rendement quantique typique de 20 % à 420 nm (pic d’émission du LYSO). On peut supposer les pertes liées au couplage optique entre le cristal et la fenêtre d’entrée de la cathode du photomultiplicateur d’environ 50 %. On se place dans le cas de la détection de photons gamma de 511 keV, pour lesquels toute l’énergie a été absorbée. Supposons en plus qu’on peut se rapprocher de l’optimum pour l’atténuation lumineuse, en choisis- sant α=2.88/L. Enfin, pour plus de flexibilité, on étudie les performances pour différentes longueurs de cristaux : 50, 75, 100, 125 et 150 mm de longueur. On observe alors des ré- solutions spatiales théoriques allant de 2-3 mm pour un cristal de 50 mm de long, jusqu’à plus de 9 mm pour un cristal de 150 mm de long (Figure II.4). Il est donc a priori possible d’utiliser une telle méthode de lecture des cristaux, afin d’effectuer de la reconstruction to- mographique. Néanmoins, pour ne pas dépasser les 6-7 mm fixés au paragraphe précédent
Figure II.4 – Résolution spatiale en fonction de la position d’interaction du gamma, suivant la
formule (V.1), pour différentes longueurs de cristaux
d’après la formule (II.2), un cristal de 100 mm maximum est alors envisageable. Les cris- taux plus long ne rentrent donc pas dans le cahier des charges. Nous verrons par la suite que ces résultats sont confirmés par les simulations mais que l’influence de revêtement notamment est critique.