La méthode des fonctions de poids

(D.20) Pour donner un ordre de grandeur, l'incertitude relative de l'ecacité totale de ssion dénie par le rapport ^∆εtotf ission(E^∗)

εtot

f ission(E∗) est d'environ 7 % pour les quatre noyaux.

D.3.2. Ecacité de détection d'une cascade gamma

L'ecacité de détection d'une cascade gamma est le dernier ingrédient nécessaire à la détermination des probabilités d'émission gamma des noyaux étudiés. Deux méthodes sont actuellement utilisées pour évaluer cette ecacité pour les réactions de transfert : la méthode des fonctions de poids (ou PHWT pour Pulse Height Weighting function Technique) et la méthode d'extrapolation de l'ecacité (ou EXEM pour EXtrapolated Eciency Method) [Bou13]. Les sections qui suivent visent à expliquer ces deux méthodes puis à les comparer. Précisons que dans le cadre de la thèse de Boutoux [Bou11], il a été démontré que les deux méthodes donnent des résultats d'ecacité de détection gamma qui sont en accord pour des lanthanides. Cette étude permettra de confronter les résultats obtenus avec les deux méthodes dans la région des actinides.

D.3.2.1. La méthode des fonctions de poids

Principe L'ecacité de détection d'un gamma individuel εγ d'un NaI n'est pas pro-portionnelle à l'énergie Eγ du gamma détecté. La méthode des fonctions de poids a été développée par Maclin et Gibbons [Mac67] dont l'idée principale est d'utiliser une fonction mathématique dite de poids an de rendre cette proportionnalité possible, ce qui permet d'obtenir εγ = k.Eγoù k est une constante. Cette propriété permet de déter-mininer l'ecacité d'une cascade εc comme nous le verrons par la suite. Une condition nécessaire à l'application de cette méthode est que l'ecacité de détection εi d'un gamma

D. Analyse des données

du dispositif expérimental soit très inférieure à 1. En considérant toute la largeur du pic de coïncidence éjectile-gamma, l'ecacité de détection d'un gamma s'élève à 0,152 pour une énergie gamma Eγ = 1, 33 MeV. On peut considérer cette ecacité très inférieure à 1 puisque la détection de deux gammas provenant de la même cascade est seulement de l'ordre de 2 %. De cette manière l'ecacité de détection d'une cascade εc est ap-proximativement égale à la somme des ecacités de détecter les gammas de la cascade :

ε_{c u}^X i

ε_γi(avec ε_γi<< 1) (D.21)

La proportionnalité de l'ecacité des détecteurs avec l'énergie permet de simplier l'équation D.21 selon :

ε_c = k.^X i

E_γi = k.E_c= k.E^∗ (D.22)

Où l'énergie de la cascade Eccorrespond à l'énergie d'excitation E∗du noyau composé. L'équation D.22 montre que l'ecacité de détection d'une cascade γ est indépendante du chemin de désexcitation du noyau, ce qui implique par exemple que la probabilité de détecter une cascade γ d'énergie totale Ec = 4 MeV est la même si un unique gamma de 4 MeV est émis, ou si quatre gammas de 1 MeV sont émis en cascade, ce qui facilite considérablement la détermination de l'ecacité. Cependant ce raisonnement n'est valide que si une fonction de poids est appliquée sur les fonctions de réponse des détecteurs NaI an de remplir la condition de proportionnalité.

Détermination de la fonction de poids Les fonctions de réponse R(Ed, E_i) des dé-tecteurs NaI représentent la probabilité qu'un gamma d'énergie incidente Ei dépose une énergie Ed dans le détecteur. Le groupe de recherche de l'université d'Oslo a déter-miné 512 fonctions de réponse pour des énergies des gammas incidents allant de 0 MeV jusqu'à environ 10 MeV par pas de 20 keV, à partir d'interpolation de fonctions de réponse déterminées expérimentalement. Ces dernières ont été mesurées quelques mois seulement après l'expérience pour la même géométrie [Gut13], elles doivent donc être tout à fait appropriées pour décrire la réponse des détecteurs des NaI durant la période de notre expérience. Pour un gamma d'énergie incidente Ei, la somme sur les énergies détectées E_d de la fonction de réponse vérie :

X

Ed

R(E_d, E_i) = ε^exp_γi (D.23)

Où εexp

γi est l'ecacité expérimentale de détection. La gure D.31 reproduit les fonc-tions de réponse sous forme matricielle. La projection de cette matrice sur l'axe des énergies déposées Edà une énergie Ei xée permet d'obtenir la représentation d'une fonc-tion de réponse R(Ed, Ei), dont l'intégrale (correspondant à la projection sur l'axe des énergies incidentes Ei) représente l'ecacité expérimentale d'un gamma εexp

γi à l'énergie indicente Ei considérée. La forme de l'ecacité gamma expérimentale εexp

Figure D.31.: Matrice de réponse de CACTUS (au centre). Fonction de réponse de CAC-TUS pour des gammas d'énergie incidente de 4 MeV (en bas). L'intégrale sur les énergies déposées Ed d'une fonction de réponse R(Ed, Ei) donne l'ecacité expérimentale de détection d'un gamma monoénergétique εexp Ei

D. Analyse des données

Figure D.32.: Illustration de l'eet de la fonction poids sur l'ecacité expérimentale de détection (à gauche). Matrice de réponse obtenue après application de la fonction de poids (à droite).

énergies du gamma incident est liée à l'eet de seuil de détection qui coupe une propor-tion plus ou moins grande du spectre. Une fois ce seuil dépassé, l'ecacité est légèrement croissante avec l'énergie du gamma incident.

Nous introduisons ensuite une fonction de poids W (Ed) permettant d'obtenir la pro-portionnalité entre l'ecacité de détection et l'énergie du gamma incident Ei selon :

X

E_d

W (E_d).R(E_d, E_i) = ε^poids_γi = kE_i (D.24)

Où εpoids

γi est l'ecacité de détection gamma après application de la fonction de poids. La valeur du coecient k choisi importe peu, et est choisie comme étant égal à 1 MeV−1. Pour que la méthode fonctionne, l'équation D.24 doit être valable pour toute énergie inci-dente Ei. La gure D.32 (à gauche) illustre la manière dont la fonction de poids modie l'ecacité de détection expérimentale εexp

γi (et donc la fonction de réponse) obtenue pour chaque énergie Ei de gamma incident. Puisqu'elle est constituée de 512 fonctions de réponse, la matrice de réponse est aussi modiée par l'application d'une fonction de poids, comme le montre la gure D.32 (à droite) .

Nous recherchons une unique fonction de poids W (Ed) s'appliquant sur chacune des 512 fonctions de réponse R(Ed, E_i) pour chaque énergie incidente Ei an de satisfaire l'équation D.24. La fonction de poids optimale est obtenue par minimisation du χ2 sur les Ei selon l'équation suivante :

minimisation  χ² =^X Ei   X E_d (W (E_d).R(E_d, E_i)) − k.E_i   2  (D.25)

Où pour des raisons de simplicité, la fonction de poids est représentée par une fonction polynômiale décrite par l'équation D.26.

Figure D.33.: Fonction de poids obtenue (à gauche) et valeur absolue de l'écart relatif (en %) à la linéarité de l'ecacité εpoids

i obtenue pour k = 1 MeV−1 (à droite).

W (E_d) = N =6

X

n=1

a_n.(E_d)ⁿ (D.26)

Le polynôme W (Ed) décrivant la fonction de poids minimisant le χ2 est d'ordre 6 et est representé sur la gure D.33. La fonction de poids a été calculée pour des énergies des gammas déposées allant jusqu'à 9 MeV, ce qui est amplement susant puisque la probabilité de détecter un gamma de cette énergie est extrêmement faible. Sur la droite de cette même gure, les points bleus symbolisent la valeur absolue de l'écart relatif à la linéarité de l'ecacité εpoids

γi obtenue après application de la fonction de poids sur les fonctions de réponse. On observe des écarts généralement compris entre 0% et 3%, avec tout de même un maximum allant jusqu'à 7% pour une énergie des gammas incident de 511 keV. En eet, il est dicile avec une fonction de poids polynomiale de rendre linéaire les ecacités pour lesquelles la structure des fonctions de réponse changent très rapidement comme c'est le cas pour des énergies détectées correspondant à l'annihilation électron-positron.

En combinant les équations D.1 et D.24, la probabilité d'émission gamma est donnée par : P_γ^poids(E^∗) = ^Ncγ(E ∗) N_s(E∗) . ε_γ(E∗) ⁼ P E_d[N^mes_casc(E^∗, Ed).W (Ed)] N_s(E∗).k.E∗ (D.27) Où Nmes

casc(E^∗, E_d) est appelé spectre gamma et est associé au spectre de coïncidences N_cγ(E^∗). Le terme P_Ed[N^mes_casc(E^∗, E_d).W (E_d)]représente l'intégrale du spectre gamma pondéré par la fonction de poids et est aussi noté Npoids

casc . De plus, on rappelle que dans notre cas, nous déterminé les fonctions de poids correspondant à k = 1 MeV−1. D'après

D. Analyse des données

Figure D.34.: Spectre gamma mesuré à E∗(²³⁹U ) = Ec = 4 MeV pour la somme des pistes à 126° (à gauche) et spectre gamma après application de la fonction de poids (à droite). Le nombre total de cascades gamma est calculé dans les deux cas. La ligne rouge représente le seuil électronique de détection E^seuil_γ .

l'équation D.27, l'ecacité de détection d'une cascade gamma devient donc : ε_γ(E^∗) = ^Ncγ(E

∗).E^∗ Ncasc^poids

(D.28) Application de la méthode Nous allons montrer ici un exemple d'application de la méthode des fonctions de poids sur les données concernant l'239U^∗ pour lesquelles le nombre de cascades Nmes

casc est susamment élevée pour limiter au maximum les biais statistiques. Comme nous le verrons plus en détail à la section D.3.3, pour pouvoir comparer les ecacités de cascade gamma extraites avec la méthode des fonctions de poids et avec la méthode EXEM, il est nécessaire de ramener les seuils de détection des gammas Eseuil

γ à une valeur nulle pour la détermination des spectres Nmes

casc(E^∗, E_d) (alors qu'on rappelle que pour l'analyse, nous avons xé Eseuil

γ = 1 MeV pour les noyaux 238N p^∗ et239N p^∗ , et Eseuil

γ = 1, 5MeV pour les noyaux237U^∗ et239U^∗).

La gure D.34 montre un spectre gamma expérimental avant (à gauche) et après ap-plication de la fonction de poids (à droite) pour une énergie d'excitation E∗= 4 MeV pour la somme des pistes à 126°. L'absence d'utilisation d'un seuil de détection Eseuil

γ n'empêche pas la présence d'un seuil électronique de détection Eseuil

γ d'environ 300 keV (symbolisé par la ligne rouge). Or, l'hypothèse de proportionnalité de l'ecacité est valable sur toute la gamme d'énergie et la fonction de poids est déterminée sans con-sidération de seuil électronique de détection. La partie manquante des spectres gammas expérimentaux en dessous de 300 keV n'a malheureusement pas pu être évaluée. L'impact de cette contribution manquante sur la probabilité d'émission gamma est d'autant plus important que l'énergie d'excitation est faible puisqu'alors, une proportion relative plus importante du spectre gamma expérimental est inconnu. Il faut cependant relativiser cet

impact pour des E∗ plus élevées. En eet, d'après la gure D.33, les spectres gamma sont multipliés par la fonction de poids qui se révèle être très faible à basse énergie gamma puisqu'il s'agit un polynôme à constante nulle, et à faibles coecients pour les degrés élevés. La contribution manquée du spectre gamma pour des énergies inférieures à 300 keV ne représente alors qu'une faible proportion du spectre total comme on peut le sup-poser au regard de la gure D.34 (à droite). Connaissant le nombre total de gammas Ncasc^poids, il est désormais possible de déduire l'ecacité de détection gamma εγ(E^∗)d'après l'équation D.28. Ce calcul sera menée pour diérentes énergies E∗(²³⁹U )(qu'on rappelle comme étant égales à Ec) et comparé aux résultats obtenus par la méthode EXEM à la section D.3.3.

Incertitudes sur l'ecacité d'émission gamma L'écart à la linéarité de l'ecacité εγ déterminée avec la méthode des fonctions de poids est la première source d'erreur sur la connaissance de l'ecacité. De plus comme nous l'avons vu, les spectres gamma ne sont pas connus pour des gammas incidents de basse énergie (inférieurs au seuil électronique de détection), induisant une erreur supplémentaire sur l'ecacité gamma dicilement quan-tiable. En prenant en compte ces deux eets, il a été montré [Wil03] que l'incertitude globale absolue de l'ecacité gamma déterminée par la méthode des fonctions de poids est de l'ordre de 5%.