Longueur de corr´ elation

Telle que nous venons de la pr´esenter, la corr´elation est le moment d’ordre deux qui correspond `a la variable al´eatoire « d´etection d’une particule `a cet endroit `a cet instant», `a un facteur de normalisation pr`es. On fixe donc~r ett, la position et le temps de la d´etection.

Si l’on veut ´etudier les probabilit´es de d´etection en fonction de~r on peut d´efinir une quantit´e plus g´en´erale, qui est reli´ee `a la fonction al´eatoire«d´etection d’une particule `a cet instant», fonction de la variable~r. Le moment d’ordre deux qui correspond `a cette quantit´e est une fonction qui d´epend des positions~r et~r<sup>0</sup>de d´etection : G<sup>(2)</sup>(~r, ~r<sup>0</sup>). On normalise cette fonction en divisant par la probabilit´e de d´etection en chacun des deux points s´epar´ement, c’est-`a-dire parP(~r)P(~r⁰) (avec P(~r) = G⁽¹⁾(~r, ~r)). Pour simplifier on va supposer une invariance par translation pour se ramener `a une fonction de la distance relative :g⁽²⁾(|~r−~r⁰|). C’est la fonction d’auto-corr´elation. Le cas ´etudi´e dans le paragraphe pr´ec´edent est le cas~r−~r⁰=~0 : d´etection simultan´ee au mˆeme endroit.

longueur de corr´elation

Nos donn´ees nous donnent acc`es `a la fonction d’auto-corr´elation. ´Etudier cette fonc-tion plutˆot que le cas particulier pr´esent´e ci-dessus ne pr´esente donc pas de difficult´e suppl´ementaire. A partir du moment o`u nos donn´ees permettent de mettre en ´evidence l’effet du groupement de bosons, elles nous donnent aussi acc`es `a toute la fonction d’auto-corr´elation. Par rapport `a la simple ´etude du groupement de bosons, cela ra-joute la question :«Comment cet effet varie-t-il avec la distance ?». On introduit ainsi une grandeur caract´eristique : la longueur de corr´elation. La figure 2.4 donne l’allure de la fonction de corr´elation dans le cas id´eal. On note bien que la valeur au centre vaut 2. La longueur de corr´elation donne l’´echelle sur laquelle d´ecroˆıt la fonction lorsque r, la s´eparation entre les particules, augmente.

2.0 1.5 1.0 0.5

0.0

2.0 1.5

1.0 0.5

0.0

g⁽²⁾

r/l_T bosons chauds

condensat

Fig.2.4 –Allure attendue pour la fonction de corr´elation. Elle est plate pour un nuage condens´e. Pour un nuage thermique elle vaut le double au centre. Elle d´ecroˆıt sur une distance de l’ordre deλ_dB (voir le texte).

distances caract´eristiques

Il nous faut comparer cette longueur de corr´elation aux autres distances caract´ eris-tiques du probl`eme. Ce sont a priori la distance moyenne entre les particules, la distance caract´eristique des interactions et la distance caract´eristique de la taille des particules<sup>5</sup>. L’effet que l’on veut expliquer est intrins`eque aux bosons : il existe ind´ependamment du pi´egeage des particules ou de leurs interactions. On ne s’int´eresse donc pas `a la distance moyenne entre les particules ni `a la distance caract´eristique des interactions. Celles-ci peuvent intervenir, mais elles ne sont pas n´ecessaires `a l’explication du ph´enom`ene. Ne reste que la taille caract´eristique des particules, d. Nous allons montrer que c’est la distanceλ_dB, la longueur d’onde thermique de De Broglie.

λdB=~ r 2π

mk_BT

avec m la masse et T la temp´erature. Dans notre cas, avec T = 1 µK, on obtient λ_dB= 0,869µm. Mais commen¸cons par interpr´eter la forme de la courbe.

interpr´etation

Pour expliquer l’allure de la courbe, on va une fois de plus recourir au mˆeme type de sch´ema pour compter les particules. On peut voir l’ensemble de ce comptage r´esum´e sur la figure 2.6. Mais nous allons encore une fois simplifier le probl`eme en nous pla¸cant du point de vue du seul d´etecteur. On ne s’int´eresse pas au ph´enom`ene d’interf´erence du type de celui de la figure 2.2. On se limite donc `a la figure 2.5 qui reprend la figure 2.6 en effa¸cant tout `a fait le probl`eme de l’´etat initial. Encore une fois, raisonner sur la fonction de corr´elation permet de se ramener `a la situation o`u toutes les configurations initiales sont ´equiprobables.

+ ?

Fig. 2.5 – Longueur de corr´elation. A droite, on peut d´etecter les particules en deux endroits diff´erents, `a gauche les deux particules sont confondues (cas de la figure 2.3).

Au milieu on se trouve dans un cas interm´ediaire o`u l’on ne peut pas parfaitement r´esoudre les deux particules en raison de leur « taille » λ_dB. En-dessous, l’´equivalent pour un nuage de particules indiscernables.

Analysons la figure 2.5. En haut, on a repr´esent´e ce qui se passe pour un nuage de particules discernables (cas du nuage thermique). Si les particules sont suffisamment

´eloign´ees l’une de l’autre (cas `a droite) on peut dire avec certitude si l’on a d´etect´e dans un pixel du d´etecteur la particule gris clair ou fonc´e. Les deux cas repr´esent´es (clair-fonc´e et fonc´e-clair) sont donc bien s´epar´es. En revanche, `a gauche on les d´etecte

5qui selon le mod`ele est le diam`etre d’une sph`ere dure ou la largeur d’une fonction d’onde

n´ecessairement au mˆeme endroit, ce qui nous ram`ene au cas pr´ec´edent (figure 2.3).

On ne peut plus distinguer entre les deux cas : on ajoute donc leur probabilit´e. Au centre une situation interm´ediaire. En-dessous le cas o`u il y a un seul ´etat quantique (condensat) : le probl`eme de la discernabilit´e ne se pose pas, les deux ´etats sont toujours indiscernables, ind´ependamment de la d´etection. Pour un nuage thermique (en haut), et pour lui seul, l’´ev´enement ”d´etection ensemble” a un poids double de celui de chacun des deux ´ev´enements ”d´etection s´epar´ee”.

Pr´ecisons que le d´etecteur dont on repr´esente sch´ematiquement les pixels sur les figures 2.5 et 2.6 est fictif. Il n’est pas essentiel. Il ne sert ici qu’`a faire ressortir le rˆole de la taille des particules. Il correspond `a tout d´etecteur, ou `a toute mesure physique.

Dit autrement, la s´eparation des deux particules se mesure en unit´es dedleur taille. A la rigueur, on peut donc supposer un d´etecteur parfait, et ne consid´erer les petites cases repr´esent´ees sur les figures 2.5 et 2.6 que comme des guides pour l’œil, pour appr´ecier les distances.

Dans le cas interm´ediaire la d´etection est parfois ”ensemble”, parfois ”s´epar´ee”. On s’attend donc `a trouver une valeur interm´ediaire pour l’auto-corr´elation. On explique donc l’allure de la fonction d’auto-corr´elation par des consid´erations de r´esolution : le groupement correspond au cas pathologique o`u l’on est dans l’impossibilit´e de r´esoudre deux particules trop proches. La longueur de corr´elation est donc li´ee intimement `a la

« taille» des particules, ce que v´erifiera le calcul (voir plus loin la section 2.2).

+

?

Fig. 2.6 – Groupement de bosons : r´esum´e. Les cercles blancs indiquent notre impos-sibilit´e `a dire qui est gris clair ou fonc´e ; ces deux possibilit´es sont mat´erialis´ees par les fl`eches en trait plein ou pointill´e. Les cases repr´esent´ees sous les particules sont les pixels d’un d´etecteur fictif qui essaierait de r´esoudre les deux particules. Voir le texte pour les d´etails de l’analyse.

Le cas du nuage condens´e s’explique plus simplement. Le fait de rapprocher les deux particules n’am`ene pas `a confondre deux cas distincts : les deux particules sont d´ej`a identiques. Tous ces ´ev´enements de d´etection sont donc de poids statistique ´equivalent.

La fonction d’auto-corr´elation est donc plate. Autre cas particulier : ce qui pr´ec`ede peut ˆetre ´etendu sans difficult´e au cas des fermions. Les fermions ne peuvent se trouver dans le mˆeme ´etat, ce qui ´ecarte d’embl´ee le cas du condensat. Cela empˆeche aussi des d´etections simultan´ees comme figure 2.3. La raison en est que les ´etats sont anti-sym´etriques par ´echange de deux particules. Donc le signe ”+” devient un signe ”-”. Et cet ´ev´enement a une probabilit´e nulle. La forme de la fonction d’auto-corr´elation est donc identique `a celle des bosons discernables sauf qu’elle va `a z´ero au centre au lieu de deux.

« Taille » des particules

Il nous reste `a montrerd=λ<sub>dB</sub>. L’origine deλ<sub>dB</sub> remonte `a la correspondance entre onde et particule. Elle est d´efinie comme la longueur d’onde de l’onde ´equivalente `a la particule. Pour une particule d’impulsion p, elle vaut λ<sub>dB</sub> = <sup>h</sup><sub>p</sub>. Pour faire intervenir λ<sub>dB</sub>, on a donc int´erˆet `a utiliser cette correspondance. Le raisonnement sur la «taille» est typiquement un raisonnement de type « particule ». Analysons donc le probl`eme sous l’angle des « ondes » : int´eressons-nous `a la phase accumul´ee par les bosons au cours du temps.

Si l’on consid`ere `a nouveau notre exp´erience comme de l’interf´erom´etrie (avec les pr´ecautions formul´ees ci-dessus), nous pouvons estimer que l’on sort de la zone de coh´erence `a partir du moment o`u la phase relative atteintπ. Cette phase correspond `a une diff´erence ∆S = R

1~pd~x−R

2~pd~x ≈ h/2 entre l’action le long de chacun des deux chemins. On calcule les chemins comme on ferait pour un calcul standard d’interf´erences, pour les trous d’Young par exemple. La diff´erence entre les deux trajets vaut alors environ ∆x≈d/2. De plus, dans un pi`ege `a l’´equilibre thermique, l’impulsion moyenne (moyenne quadratique) est√

2mkBT. Donc en reportant dans la formule pr´ec´edente, on trouve ∆S≈√

2mk_BT d/2. La moyenne sur la distribution thermique est cach´ee : on a pris une impulsion moyenne. Pour ∆S ≈h/2 on trouve doncd≈ h/√

2mkBT comme ordre de grandeur pour la taille des particules. A un facteur 1/√

π pr`es, ceci est bien

´egal `a λ_dB =~ q 2π

mkBT.

Le calcul men´e plus loin `a la section 2.2 montrera que, pour des atomes dans un pi`ege harmonique (notre situation exp´erimentale), la longueur de corr´elation estλ_dB/2√

π[49, 50]. L’ordre de grandeur est donc le bon.

On peut noter que l’impulsion qui intervient ici est√

2mk_BT, l’impulsion moyenne (moyenne quadratique) dans le nuage d’atomes. La longueur de De Broglie calcul´ee n’est donc pas celle d’une particule physique, mais celle d’un particule fictive, repr´esentative de l’´equilibre thermique. D’o`u son nom de longueur d’ondethermique de De Broglie.