2.2 Calcul de l’effet
2.2.4 Cas du nuage (partiellement) condens´ e
Les calculs qui pr´ec`edent ´etaient surtout centr´es sur le cas des gaz atomiques au-dessus du seuil de condensation (sauf pour l’expansion du nuage, o`u on a aussi consid´er´e des condensats). On a mˆeme pris des gaz assez ´eloign´es de la transition : il ont ´et´e consi-d´er´es comme constitu´es de particules toutes parfaitement discernables. Cela suppose que tous les ´etats quantiques sont infiniment peu peupl´es, de sorte qu’on peut n´egliger les effets dus `a la pr´esence de deux particules ou plus dans le mˆeme ´etat. Les ´etats de plus basse ´energie se peuplant de plus en plus au fur et `a mesure qu’on approche la temp´erature de transition, cela suppose donc qu’on en reste assez loin. En particulier, l’´etat fondamental du pi`ege est infiniment peu peupl´e.
Le cas du condensat pur n’est pas beaucoup plus difficile `a traiter. En effet, cette fois les particules sont toutes rigoureusement indiscernables, le gaz est donc parfaitement coh´erent. Le calcul des corr´elations est donc trivial puisqu’on aG(n)(~r) = G(1)(~r)n
[45].
Pour les corr´elations d’ordre deux, il ne reste donc que le terme de bruit de grenaille.
La fonctiong(2) est plate.
Le cas qu’il reste `a aborder est celui des gaz partiellement condens´es, qui pr´esentent un groupement de bosons interm´ediaire, entre celui des gaz thermiques et celui des gaz parfaitement condens´es. Pour ces gaz, il nous faut d’abord calculer l’´equivalent des expressions 2.2 et 2.3 avant de pouvoir discuter du groupement.
2.2.4.1 Calcul de G(2)
La formule g´en´erale pour G(2) est :
G(2)(~r, ~r0) = hΨ†(~r)Ψ†(~r0)Ψ(~r0)Ψ(~r)i On ´ecrit
Ψ(~r) =X
n
un(~r)an
o`u an est l’op´erateur annihilation dans l’´etat n, et un est l’amplitude associ´ee. Ceci conduit donc `a calculer des termes du type
ha†ka†lamani (2.18)
18surtout que dans le cas isotrope, la r´ef´erence [32] indique que cette approche est toujours valable.
Seul le d´etail de la formule donnant le facteur d’´echelle varie.
le tout ´etant ensuite somm´e sur les indices k,l,m etn.
Les indices dans l’expression 2.18 ne peuvent ˆetre pris au hasard. Pour que le terme ne soit pas nul, il faut cr´eer autant de particules qu’on en annihile, donc on doit ˆetre dans l’un des trois cas suivant :m6=net alors (k=m, l=n) ou (k=n, l=m), ou bien o`unnest le nombre d’occupation de l’´etatn. En n´egligeant le tout dernier terme, d’ordre 1/N par rapport aux autres, on aboutit `a
G(2)(~r, ~r0) =n(~r)n(~r0) +
On veut v´erifier cette expression en retrouvant les expressions 2.2 et 2.3 comme cas particuliers. Pour ce faire, on remarque que, dans un nuage thermique, la population de chaque ´etat est infiniment faible. A la limite T → ∞, le terme suppl´ementaire s’annule donc et on retrouve la formule 2.2. Notons que dans ce cas le terme n´eglig´e (en 1/N) s’annule exactement lui aussi. Dans le cas du condensat pur, on a exactement ni = 0 pouri >0. Le dernier terme compense l’un des deux premiers. Il reste doncn0(~r)n0(~r0), ce qui est bien ´egal `a la formule 2.3.
Pour traiter le cas du nuage partiellement condens´e, on pourra faire un m´elange des deux. Dans l’approximation semi-classique, on continue `a consid´erer que ni = 0 pour i > 0, mˆeme si cela peut devenir faux quand la temp´erature diminue (le premier ´etat excit´e finit par se remplir un peu). On ne garde que le terme avec n0. En notant f(~r) la fraction condens´ee (calcul´ee sur la densit´e en~r), on a donc
g(2)(~r, ~r0) = 1 +
L’auto-corr´elation au centre du nuage (~r =~r0=~0) vaut donc 1−f(~0)2. La formule sera un peu diff´erente si l’on int`egre sur le centre de masse.
Dans la formule 2.20, on a n´eglig´e le terme nn(~1(~r)nr)n(~1r(~r0)0) qui reste petit (le premier excit´e n’est jamais tr`es peupl´e). Tous les autres termes n´eglig´es sont individuellement plus petits. L’approximation doit donc ˆetre assez bonne.
Concernant la valeur au centre, on peut v´erifier le calcul en le faisant d’une autre ma-ni`ere. On calcule directement la probabilit´e conjointe hˆn(~r)ˆn(~r)i. En toute g´en´eralit´e, on peut ´ecrire
hˆn2i = hˆn2thi + 2 hˆnthnˆ0i + hˆn20i
en particularisant l’´etat fondamental. On va faire l’approximation semi-classique en consid´erant que toutes les particules thermiques sont dans un ´etat diff´erent, ce qui est important pour l’´etape suivante, o`u on doit sym´etriser. On a vu en effet qu’on gagne un facteur 2 par ´echange de particules (groupement de bosons). Pour les particules dans un mˆeme ´etat, indiscernables, leur sym´etrie est imm´ediate et ne donne pas de facteur deux suppl´ementaire. On a donc, avec n= hniˆ ,
Pour s’affranchir de l’approximation semi-classique et retrouver le r´esultat 2.19, il suffit de particulariser tous les ´etats (de tous les traiter comme on l’a fait pourn0). Le r´esultat est imm´ediat.
2.2.4.2 Discussion
Pour ce qui concerne la mesure de l’effet de groupement, on se concentrera sur la formule 2.21. Cette formule montre que si l’on se place hors de la zone o`u se trouve le condensat, la mesure doit redonner le mˆeme r´esultat que pour un gaz non condens´e. Exp´ erimen-talement, cela permet de s’assurer que lorsque l’on s’approche de la temp´erature de transition, mˆeme s’il y a un petite partie condens´ee qu’on n’aurait pas d´etect´ee, la mesure ne soit pas trop perturb´ee. Cependant, l’op´eration n’est pas neutre. Car les formules donnantg(1), et doncg(2), ont ´et´e d´eriv´ees dans le cas o`u on int`egre sur les co-ordonn´ees du centre de masse. Or, une proc´edure qui prendrait en compte uniquement les points r > rcondensat ne rentre pas dans ce cadre. N´eanmoins, on peut penser que cela ne change que tr`es peu les r´esultats exp´erimentaux, voire que cela les rapproche du r´esultat th´eorique. En effet, la moyenne att´enue les effets typiques du centre du pi`ege, o`u l’on voit le mieux la diff´erence entre un profil de Bose et un profil de Boltzmann.
On se placerait ici dans un cas o`u l’on peut encore plus l´egitimement n´egliger ce genre d’effets. Il apparaˆıt donc l´egitime d’utiliser une proc´edure qui exclurait les points pour lesquels on verrait potentiellement un condensat.
On peut s’inspirer de cette remarque pour remarquer que le condensat modifie sur-tout le centre de la fonction d’auto-corr´elation. Aux grandes distances il n’a pas d’in-fluence car son extension spatiale est finie alors que celle du nuage thermique ne l’est
pas. C’est le contraire de ce qui se passe pour un mesure de coh´erence du premier ordre.
On peut comparer les deux jeux de formules 2.22 et 2.23.
2pour un gaz thermique pourrait laisser supposer que la mesure des corr´elations du deuxi`eme ordre n’am`ene rien de neuf par rapport `a la mesure de corr´elations du premier ordre, si ce n’est la v´erification de la pr´evision th´eorique. Or, l’effet du condensat se fait sentir aux courtes distances pour l’auto-corr´elation, et aux longues distances pourg(1). Ceci montre la diff´erence qu’il y a `a mesurer l’une ou l’autre des deux quantit´es, mˆeme pour un gaz parfait. On peut ensuite esp´erer trouver d’autres diff´erences dans le cas d’un gaz d’atomes en interactions car, comme l’a d´ej`a vu au 2.2.3, les interactions doivent ˆetre trait´ees diff´eremment dans les deux cas.