Bruit

2pour un gaz thermique pourrait laisser supposer que la mesure des corr´elations du deuxi`eme ordre n’am`ene rien de neuf par rapport `a la mesure de corr´elations du premier ordre, si ce n’est la v´erification de la pr´evision th´eorique. Or, l’effet du condensat se fait sentir aux courtes distances pour l’auto-corr´elation, et aux longues distances pourg<sup>(1)</sup>. Ceci montre la diff´erence qu’il y a `a mesurer l’une ou l’autre des deux quantit´es, mˆeme pour un gaz parfait. On peut ensuite esp´erer trouver d’autres diff´erences dans le cas d’un gaz d’atomes en interactions car, comme l’a d´ej`a vu au 2.2.3, les interactions doivent ˆetre trait´ees diff´eremment dans les deux cas.

2.3 Pr´ evision du signal exp´ erimental

Nous allons `a pr´esent ´etudier pratiquement le signal de groupement de bosons, tel qu’il doit se pr´esenter `a nous compte tenu de notre appareil exp´erimental. Il ne s’agit plus de discuter l’origine physique des corrections `a apporter, mais plutˆot d’inclure le bruit et de pr´evoir l’influence de la r´esolution du d´etecteur.

Le signal mesur´e sera en effet diff´erent du signal id´eal, et ce en raison de deux types de bruit. Il y a d’abord le bruit dˆu `a l’imperfection du d´etecteur. Nous le r´eservons pour le chapitre 3. Il y a aussi le bruit intrins`eque `a la mesure, un bruit de comptage. Il va nous obliger `a effectuer des moyennes pour sortir le signal du bruit. L’enjeu est de taille, car si le bruit est trop important, la moyenne peut demander des temps d´emesur´es. Nous allons donc ´etudier le rapport signal `a bruit.

2.3.1 Calcul du rapport signal `a bruit pour un nuage thermique On commence cette ´etude du rapport signal `a bruit avec le calcul th´eorique. La fonction de corr´elation que nous voulons observer a l’allure pr´esent´ee sur la figure 2.15.

La gaussienne large correspond (presque) `a la forme du flux d’atomes tombant sur le d´etecteur. C’est la fonction d’auto-corr´elation que l’on attend pour des atomes non-corr´el´es. C’est pour nous le «fond». Le «signal utile» est la seconde gaussienne, plus

´

etroite, et plus petite. On la n´egligera dans le calcul du bruit : on calculera le bruit comme si seul le fond existait.

On commence par calculer le bruit dˆu au comptage. Dans un deuxi`eme temps on d´etermine l’amplitude du groupement de bosons, c’est-`a-dire l’amplitude relative des deux gaussiennes. Et finalement on compare les deux.

2.3.1.1 Bruit

Le bruit est dˆu au comptage des atomes. C’est un bruit intrins`eque `a la mesure, pr´esent mˆeme pour un d´etecteur id´eal du simple fait que le flux d’atomes est lui-mˆeme

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

2.0 1.5

1.0 0.5

0.0

G⁽²⁾

r/l_T

Fig. 2.15 – Allure attendue pour la fonction d’auto-corr´elation non-normalis´ee G⁽²⁾ (pour un nuage thermique). C’est la somme de deux gaussiennes.

al´eatoire. Pour autant, il n’est pas ind´ependant du d´etecteur. D’abord, la d´etectivit´e rentre en ligne de compte. Cependant, si l’on se place du point de vue du compteur, cela ne change presque rien : si le flux d’atomes est poissonnien et que la d´etectivit´e est rigoureusement constante (ind´ependante du flux notamment), le flux d’atomes d´etect´e est lui aussi poissonnien. On peut donc absorber la d´etectivit´e dans la red´efinition du flux. Par contre, le d´etecteur intervient de fa¸con cruciale via sa r´esolution. On peut s’en persuader en faisant le raisonnement simple suivant. Supposons N particules arrivant de fa¸con homog`ene surnd´etecteurs. Il y aN/nparticules par d´etecteur. Si je compte le nombre de particules, ou que j’ai un signal proportionnel `a ce nombre de particules, je dois sommer les signaux des diff´erents d´etecteurs, et j’ai donc N/n∗n=N particules, ind´ependamment du nombre n de d´etecteurs. Mais si mon signal est proportionnel au carr´e du nombre de particules, alors je dois faire (N/n)² ∗n = N²/n : plus j’ai de d´etecteurs, moins j’ai de signal `a la fin. La non-lin´earit´e du signal vis-`a-vis du nombre N de particules fait apparaˆıtre la caract´eristique n du d´etecteur dans le r´esultat de la mesure. Or, les corr´elations sont pr´ecis´ement un signal en N² : on a donc int´erˆet, du point de vue du bruit, `a avoir peu de d´etecteurs, c’est-`a-dire un pixel aussi ´etendu que possible. Ceci est bien sˆur contradictoire avec l’exigence que l’on a concernant l’amplitude du signal : avoir la meilleure r´esolution possible, que l’on d´etaillera au paragraphe 2.3.1.2. On comparera les deux au paragraphe 2.3.1.3.

Nous allons calculer le bruit sur notre mesure en prenant en compte l’´ echantillon-nage du d´etecteur ainsi que l’´echantillonnage final qui consiste `a afficher la fonction de corr´elation sous forme d’un histogrammef(τ). Le syst`eme de d´etection consiste en effet en un enregistrement de tous les temps d’arriv´ee, pour chaque pixel. On calcule ensuite toutes les diff´erences de temps τ en deux arriv´ees de particule, puis on les range dans le canal correspondant de l’histogramme. La forme f de l’histogramme sera celle de la courbe trac´ee sur la figure 2.15.τ, le temps entre deux d´etections de particules, joue le rˆole de la variable r/λ_T sur cette figure.

Mesure

Commen¸cons par bien d´ecrire la mesure que nous mod´elisons. Un nombre donn´eNat

d’atomes tombe sur le d´etecteur. Le flux est d´etermin´e par la forme initiale du nuage d’atomes dans le pi`ege puis sa chute. Le d´etecteur a une probabilit´e η de d´etecter une particule incidente (un atome). Il code la position horizontale et le temps d’arriv´ee en

´

echantillonnant avec un pas temporel p, qui pour la position se traduit par une taille de pixela. On s’int´eresse ensuite aux corr´elations qui surviennent dansun seul pixel au cours du temps. Si on a d´etect´e Ndatomes dans ce pixel au cours du temps, lors d’une seule et mˆeme mesure, on obtientN_d(N_d−1)/2 points pour la fonction de corr´elation, qui sont autant de points `a ranger dans l’histogramme final f(τ). Cet histogramme a des canaux tous de mˆeme extension temporelleb.

Notations

– Nc le nombre total de points `a placer sur la courbe de la fonction de corr´elation, – N =ηN_at le nombre total de coups sur le d´etecteur (η est l’efficacit´e).

Nombre d’atomes dans un pixel

Le nombre total d’atomes dans le pi`ege estN_at. S’il n’y a pas de pertes le temps de la chute, c’est donc aussi le nombre total d’atomes qui tombent sur le d´etecteur. La densit´e surfacique des atomes sur le d´etecteur est ^e

−r2 2∆2

(√

2π∆)² `a un instant donn´e<sup>20</sup>. La forme selon l’axe vertical - le temps - ne nous int´eressera que plus loin : on ne veut pour l’instant que le nombre de coups sur chaque pixel. Cette forme pour la densit´e surfacique s’obtient en supposant que sitˆot le pi`ege coup´e les atomes tombent sous l’effet de la gravit´e (axe vertical) et que le nuage explose sous l’effet de sa distribution de vitesse. C’est le calcul qui a ´et´e fait plus haut (voir 2.2.2). Si la distribution de vitesses n’est pas modifi´ee par la coupure du pi`ege, alors elle est gaussienne d’´ecart-type vT =

qk_BT

m . Dans le plan horizontal, les atomes sont en vol libre, donc sur chacune des deux directions la distribution est gaussienne de largeur ∆ = vTt0 o`u t0 est le temps de vol. Ceci suppose que la largeur du temps de vol est petite devant le temps moyen t₀. t₀ ≈308 ms et la largeur du temps de vol vaut environ 30 ms, ce qui repr´esente 10 % de t₀ : l’approximation est possible.

On suppose ensuite que la discr´etisation introduite par les pixels est n´egligeable : a ∆. Chaque pixel ayant une aire a², il re¸coit donc une proportion _∆^a2e⁻

r2 2∆2

2π du

nombre total d’atomes. Donc en moyenne le nombre de coups dans un pixel localis´e en

~r est

On a suppos´e d´etermin´e le nombre d’atomes incidents et η constant, ce qui donne une loi poissonnienne pour N_d, de moyenne ηNre¸cu. Ceci donne aussi un nombre de coups

19∆tpour le temps, c’est-`a-dire la direction (verticale) de la chute des atomes, et les deux autres dans le plan (horizontal) du d´etecteur : ∆⊥pour la direction perpendiculaire `a l’axe du pi`ege, et ∆//dans l’axe du pi`ege.

20. . . et pour un axe donn´e. Il faut remplacer ∆ par ∆t, ∆⊥ou ∆//selon le cas.

totalN =ηN_at.

On a suppos´e ici qu’il n’y a pas de corr´elation dans l’arriv´ee des atomes. Ceci n’est pas contradictoire avec la mesure que nous r´ealisons. En effet, le signal que nous cherchons `a observer est petit en proportion du«fond»: quelques pour-cent. Donc pour l’essentiel les atomes ne sont pas corr´el´es. La corr´elation n’est qu’une correction, que nous supposons perturbative (voir figure 2.15).

Nombre de points amen´es par un pixel

S’il y aN_d coups dans un pixel, on peut formerN_p = ^Nd(N₂^d−1) paires. En moyenne,

pour le nombre total de points amen´es `a la courbe par un pixel localis´e en~r.

Nombre de points total

Il convient de sommer `a pr´esent sur tous les pixels pour obtenir le nombre total de pointsNc. Les pixels ´etant infiniment petits, cela revient donc `a faire l’int´egrale sur~r `a deux dimensions, en utilisant un ´el´ement infinit´esimal ^d~_a^r. Ceci donne :

N_c= 1

Il faut maintenant ranger tous ces points dans un histogramme de taille de canal b. On reste au mˆeme niveau d’approximation que pr´ec´edemment en supposant que la forme g´en´erale sera celle obtenue pour des atomes non-corr´el´es, c’est-`a-dire le carr´e de la densit´e. En supposant encore que la largeur du temps de vol est petite devant t₀, la densit´e sur l’axe vertical est : ρ(t) = ^e

− t2 2∆2t

√2π∆t. La r´esolution temporelle du d´etecteur est excellente `a l’´echelle de d´etail o`u l’on se place : elle est de 400 ps alors qu’on ne s’int´eressera pas `a des temps inf´erieurs `a la dizaine de microsecondes. La discr´etisation induite par le d´etecteur est donc n´egligeable : le flux d’atomes par pixel peut ˆetre consid´er´e comme poissonnien, et le flux des coups est lui aussi de la forme ρ(t).

Le profil cherch´e est ρ(t)ρ(t⁰) int´egr´e sur le temps moyen T = ^t+t₂⁰, ce qui donne l’histogramme f(τ) il suffit de multiplier parNc.

f(τ) = 1

Maintenant que nous avons d´etermin´e la forme de l’histogramme, nous pouvons en d´eduire le bruit de comptage. Nous pouvons passer `a la d´etermination de l’amplitude du signal, compte tenu de la r´esolution du d´etecteur.