L’étape de validation suivante concerne le comportement d’un matériau composite de 3 phases, avec des inclusions de formes différentes. La vérification se fait ici en comparant notre modèle avec les résultats donnés par Benveniste et al. [236], également issus de méthodes micromécaniques. Le matériau composite comprend les phases suivantes :
Une matrice Ti3Al avec :
Une fraction volumique égale à 55%.
Un module d’Young de 96,5 GPa.
Un coefficient de Poisson équivalent à 0,3.
Des inclusions en carbone sous forme de disque, dont la normale est parallèle à la direction 3, telles que :
Leur concentration est égale à 25%.
Leur module d’Young est de 34,4 GPa.
Leur coefficient de Poisson équivaut à 0,2.
Des fibres continues en carbure de silicium SiC alignées dans la direction 3, telles que:
Leur concentration est égale à 20%.
Leur module d’Young est de 431,0 GPa.
Leur coefficient de Poisson équivaut à 0,25.
Toutes les phases ont un comportement élastique isotrope. Les auteurs donnent le tenseur de rigidité effectif du composite, exprimé par l'équation (IV-22).
(IV-22)
En ce qui concerne notre modèle, les facteurs de forme sont choisis afin de respecter au mieux la géométrie indiquée. Pour la deuxième phase, le ratio de l’axe 3 par rapport aux deux autres axes est fixé à 1/100. Pour la troisième phase, le ratio de l’axe 3 par rapport aux deux autres est fixé à 1000. La simulation donne alors le tenseur de rigidité effectif selon l'équation (IV-23).
(IV-23)
La moyenne de l’erreur relative entre les deux tenseurs, pour les coefficients non nuls, est de 0,16%. Puisque les méthodes d’homogénéisation utilisées sont les mêmes, il est logique de retrouver des résultats identiques, aux erreurs d’arrondis près. Cela valide également une nouvelle fois l'implémentation du modèle. Cependant, les travaux de Benveniste et al. n'ont pas été pris au hasard car ils mettent en exergue un problème dans la méthode d'homogénéisation basée sur le schéma de
141 Mori-Tanaka. En effet, le tenseur effectif obtenu n’est pas symétrique, ce qui n’est physiquement pas possible de par la définition du tenseur effectif venant de l’expression de l’énergie de déformation.
Comme souligné par les auteurs, la méthode de Mori-Tanaka donne un module effectif non symétrique si l’on considère plusieurs phases comprenant des facteurs de forme différents (matrice exclue). Ce résultat est donc ici contraignant si l’on souhaite implémenter des enrobages non- homothétiques ou des distributions de facteur de forme selon l’orientation des fibres. Comme démontré dans la littérature et testé dans SMART+, la méthode auto-cohérente n'assure pas non plus la symétrie du tenseur de rigidité effectif. En pratique, l'erreur commise est moins importante que celle illustrée par l'équation (IV-23). Il s'agit ici d'un cas extrême où les facteurs de formes des deux phases correspondent à des disques d'une part et des cylindres d'autre part.
Ce verrou scientifique peut être résolu de plusieurs manières, bien que l'implémentation du modèle en l'état ne perturbe pas la détermination et l'évolution des champs locaux. Dans un premier temps, il est possible d'utiliser un schéma différentiel, comme suggéré par Benveniste et al. [236]. Il s’agit ici d’évaluer les propriétés effectives du matériau composite en réalisant plusieurs homogénéisations successives. Cette approche a notamment été appliquée par Zouari et al. [237]. Tout d'abord, la matrice est homogénéisée avec l'une des autres phases. Le matériau homogène obtenu sert alors de matrice à la prochaine homogénéisation, qui considère alors une nouvelle famille d’inclusions. Il convient de choisir avec soin les fractions volumiques de chaque phase à chaque itération, afin de se retrouver avec les bonnes concentrations lors de l’homogénéisation finale. Cependant, le résultat de ce schéma différentiel dépend de l’ordre d’homogénéisation des différentes phases, et modifie en quelque sorte la façon dont les inclusions perçoivent la matrice. Cette méthode fournit néanmoins un tenseur de rigidité effectif symétrique.
Dans un second temps, il est possible d'utiliser des techniques dites de symétrisation. Il est admis que le module d’élasticité effectif n’est pas symétrique parce que les tenseurs de localisation en déformation ne le sont pas non plus. Le problème pourrait donc être résolu en modifiant ces derniers, comme l'a par exemple fait Li [238]. Cela revient à définir une nouvelle méthode micromécanique, dont les tenseurs de localisation en déformation ALi s'expriment en fonction de ceux ASC issus de l'approche auto-cohérente, comme formulé par l'équation (IV-24). Cette méthode semble prometteuse et mériterait une plus ample investigation.
(IV-24)
Finalement, il est également possible de remédier à ce problème en changeant de philosophie pour l'approche multi-échelles. Le modèle pseudo-grain développé par Kammoun et al. permet par exemple d'obtenir un comportement effectif représentatif sans avoir cette incohérence [92] [186]. Dans le cadre de ces travaux, les simulations réalisées ont toujours présenté un tenseur effectif symétrique ou montrant une faible perte de symétrie. L’approche de Mori-Tanaka est donc amplement suffisante et permet de bien représenter les champs locaux. L’effet de dissymétrie est en effet uniquement prononcé pour d’importants contrastes de propriétés matériaux, combinée à une microstructure fortement orientée.
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3. Analyse de sensibilité
Cette section a pour but d'étudier l'impact des différentes lois de comportement et d'évolution sur le matériau composite. Une première partie réalise une liste de tous les paramètres nécessaires au modèle micromécanique développé dans le cadre de la simulation du comportement du PA66-GF30. Un jeu de paramètre sert de base à l'analyse de sensibilité. Il est choisi arbitrairement de façon à pouvoir mettre en valeur les différentes lois d'endommagement, bien que les paramètres utilisés pour les lois de comportement des différentes phases soient proches de ceux réels pour le PA66-GF30 conditionné à 50% d'humidité relative.