Liaison sans excentricité

La liaison sans excentricité est généralement suffisante pour modéliser les structures de type gridshell. En effet, elle permet de modéliser tous les efforts se transmettant d’une poutre à l’autre. La perte d’information est une perte géométrique qui peut toutefois avoir des répercussions sur les contraintes et sur les efforts dans les poutres. Les répercussions peuvent être importantes si les excentricités favorisent des phénomènes de flambement.

Pour cette liaison sans excentricité, les lignes neutres des deux poutres sont confondues au niveau de la liaison. La liaison se caractérise alors à l’aide des deux égalités suivantes :

nD_(}D_{) = n}E_(}E_{), R}D_(}D_{) ≡ R}E_(}E₎

Où n ”} – représente la position de la ligne neutre de la poutre au niveau de la liaison, et R ”} – représente la direction matérielle R pour la poutre , au niveau de la liaison.

4.5.2.1 Efforts transmis par la liaison

Pour satisfaire la première propriété, il faut garantir que les deux points restent confondus au cours de l’évolution dynamique du système. Nous allons voir comment nous réalisons cela en pratique, dans le modèle discrétisé.

Pour satisfaire la propriété RD(}D) ≡ RE(}E), nous choisissons de tolérer de petits écarts entre les vecteurs RD et RE mais de pénaliser cet écart angulaire par un moment de rappel. Cela permettra en outre de simuler une connexion non infiniment rigide, ce qui est le cas en pratique. Nous définissons donc un moment de pénalisation associé à l’écart angulaire entre RD et RE s’exerçant sur le point a_{, !}DE_{, donné par la relation (4.38) :}

!DE ₌ DE _RD_(}D_{) × R}E_(}E_{) (4.38)}

Où DE caractérise la raideur de la liaison. Le moment exercé sur le point b_{, !ED, est égal à}

169 cet angle critique, mais, en pratique, c’est ce qui se passe puisque les liaisons sont très raides et n’autorisent que de faibles écarts angulaires.

4.5.2.2 Implémentation dans le modèle discret.

Etudions le cas d’une liaison entre les nœuds nD de la poutre a _{et n}

pE de la poutre b. La

connexion entre deux poutres est schématisée sur la figure 4.33.

Figure 4.33 - Liaison entre deux poutres

La liaison entre deux poutres permet le transfert d’une force et d’un moment quelconque d’une poutre à l’autre. Par action et réaction, les deux poutres sont soumises à des forces et des moments opposés.

En pratique, pour que les nœuds de la liaison restent confondus, nous choisissons de leur affecter la même masse (la somme des deux masses fictives des nœuds) et de les soumettre à la même force (la somme des forces exercées sur les deux nœuds). Une autre solution consisterait à ajouter une force de rappel entre les deux nœuds.

On notera ÎD et Î_pE et )D et )_pE les forces et les moments tangents à implémenter dans le modèle, du fait de la liaison. Comme cela a été vu dans le cas d’un moment extérieur quelconque, il faut projeter les moments !DE et !ED sur l’espace des efforts acceptés car notre modèle ne peut traiter les moments orthogonaux à la poutre que de manière indirecte.

On décomposera donc les moments obtenus en deux composantes, de la même manière que pour un moment extérieur (le détail du calcul est expliqué au paragraphe 4.3.4) :

- une composante scalaire représentant le moment parallèle à la tangente :

”!DEp –_∥ = ”!DEp . zD– zD

- une composante dans le plan orthogonal à la tangente :

”!DE_{p –}

„ = !DEp − ”!DEp –∥

4.5.2.3 Exemples de gridshells

L’implémentation de cette liaison a été réalisée dans le cas de deux gridshells ayant la même géométrie à plat et les mêmes conditions aux limites. Les poutres de ces deux gridshells sont constituées du même matériau ( = 25 GPa ; ¥ = 10 GPa) et ne diffèrent que par la géométrie de la section de leurs poutres. Sur la figure 4.34, celui de gauche présente des poutres de section carré 4x4 cm, tandis que celui de droite des poutres de section rectangulaires 2x8 cm. Ces gridshells, dont le pas de maillage est de 4 m, sont « lâchés » dans une configuration initiale épousant une portion de coupole sphérique de 5 m de rayon.

Il est facile de constater que les géométries à l’équilibre sont assez distinctes, mais on remarque également que les moments de torsion au sein des poutres sont très différents. En particulier, pour des poutres de section carrée, les moments de torsion sont uniformes entre deux connexions. Cela confirme ce que nous avons déjà écrit – à savoir que la poutre n’étant pas anisotrope, le dernier terme de droite de l’égalité (4.27) s’annule. Autrement dit, dans le cas de poutres isotropes (par opposition aux poutres anisotropes), il n’y a pas de couplage flexion/torsion. Ce résultat assez général est également démontré dans [AUDOLY08]. Cette

absence de couplage torsion/flexion est liée au fait que pour ce type de poutres, la raideur en flexion est uniforme quelle que soit la direction de flexion. Il n’y a donc pas de blocage à la rotation de la poutre autour de son propre axe, comme ce serait le cas avec une poutre anisotrope. A l’opposé on remarque que le moment de torsion dans une poutre à section anisotrope n’est généralement pas uniforme entre deux conditions aux limites. Finalement, les valeurs des moments de torsion sont bien plus élevées dans le cas où les poutres sont anisotropes, du fait du couplage flexion/torsion.

On retiendra donc que la forme d’un gridshell et les contraintes mécaniques au sein de ses poutres et ses connecteurs pourront changer significativement avec la section des poutres constitutives. On met aussi en évidence un nouveau paramètre pour jouer sur la forme de ce type de structures.

Figure 4.34 - Géométrie en vrais déplacements de gridshells constitués de poutres isotropes et anisotropes

Les deux gridshells présentés ont des géométries identiques avant déploiement, et sont soumis à des conditions aux limites identiques. Ils sont constitués de poutres de section carrée (poutres isotropes, de section 4x4 cm, gauche) ou de section rectangulaire (poutre anisotrope, de section 2x8 cm, droite). Pour le gridshell constitué de poutres isotropes, il

Crédit image : Baptiste Lefèvre

171 naturellement à une courbure potentiellement importante selon cette direction. C’est la raison pour laquelle ce type de gridshells pourrait offrir plus de liberté formelle.