Choix de modélisation

Le modèle de poutre retenu pour la modélisation de gridshells est un modèle de poutre de Kirchhoff. Le choix du modèle de Kirchhoff est justifié par le caractère élancé des poutres considérées.

Nous nous placerons dans le cadre des petites déformations et des grands déplacements. Choix d’une description cinématique

Parmi les descriptions cinématiques proposées dans la littérature, nous portons notre préférence sur celle utilisée par Bergou [BERGOU08]. La poutre y est décrite par 4 variables : 3

variables de position pour situer la ligne neutre de la poutre dans l’espace et une variable d’angle permettant de repérer l’orientation des sections dans le plan orthogonal à la ligne neutre. Dans

le cas général, il faut 3 paramètres pour définir la section d’une poutre en un point, avec cette description cinématique nous n’en avons besoin que d’un. Les atouts d’une telle description cinématique sont :

— le nombre réduit de degrés de liberté — la clarté des équations qui en découlent

Pour déterminer les efforts intérieurs, nous suivrons la démarche et les hypothèses proposées dans [BERGOU08]. Par contre, contrairement à [BERGOU08], nous choisissons de mener les

calculs à partir d’un modèle continu et non discrétisé. Il en résulte des expressions plus synthétiques et plus exactes et une implémentation simplifiée.

Pour imposer l’inextensibilité, nous retenons la méthode de l’énergie de pénalisation, qui est la plus adaptée au choix de la relaxation dynamique et qui permet de considérer un modèle quasi-inextensible. Ainsi, le comportement de poutres réelles pourra être simulé avec une grande précision.

Choix d’un algorithme de résolution

Dans le cas de structures fortement interconnectées telles que les gridshells, les méthodes explicites présentent l’intérêt d’être faciles à mettre en œuvre. Depuis le début des travaux sur les gridshells au laboratoire Navier, les méthodes explicites ont toujours été utilisées et n’ont jamais été détrônées par les autres méthodes numériques. En particulier, la méthode explicite de la relaxation dynamique est très largement utilisée dans le monde des structures légères. Son avantage principal est de pouvoir, à partir d’une configuration donnée, permettre le calcul des efforts s’exerçant sur le système, lui permettant d’évoluer jusqu’à une éventuelle configuration d’équilibre. Le pas de temps doit bien entendu être choisi suffisamment petit pour que la convergence soit assurée mais si cette condition est remplie alors le processus numérique peut se dérouler sans encombre.

Focus sur la relaxation dynamique

La méthode de relaxation dynamique trouve ses origines au Royaume-Uni dans les années 60, avec les publications de Day [DAY65] et Otter [OTTER64] qui en posent les fondements. La

méthode est alors appliquée à des problèmes d’élasticité linéaire. Le développement d’un élément de poutre adapté à cette méthode pour traiter les phénomènes de flexion en grands déplacements a débuté en 1992 [ONG92], puis a été repris dans les années 2000

[ADRIAENSSENS99], [DOUTHE09]. Pour l’étude présentée dans ce chapitre, les travaux de Cyril

Douthe constituent le point de départ.

La méthode de relaxation dynamique se base sur le principe physique simple suivant : pour un système conservatif, l’équilibre est obtenu au minimum de l’énergie élastique, qui est un maximum de l’énergie cinétique par conservation de l’énergie totale.

L’idée est alors la suivante : partant d’une configuration quelconque, on laisse le système évoluer librement jusqu’à ce que l’énergie cinétique atteigne un maximum. En ce maximum, par conservation de l’énergie totale, le système a une configuration d’énergie élastique

129 d’énergie cinétique maximale (et d’énergie élastique minimale) connue. De proche en proche, on converge alors vers la position d’énergie élastique minimale. Le minimum local ainsi obtenu est en général le minimum global pour l’énergie élastique.

Nous illustrons cette méthode sur un exemple à deux degrés de liberté en figure 4.8 : l’équilibre d’une bille dans une coupelle ellipsoïdale. Dans cet exemple, on observe que le mouvement est fictif, mais basé sur une dynamique réelle. La bille suit une trajectoire qui n’a

a priori aucune raison de passer par le puits de potentiel. Le long de cette trajectoire, son énergie cinétique augmente jusqu’à un certain endroit puis se met à diminuer. La procédure de relaxation dynamique revient à stopper la bille dès qu’elle atteint une vitesse maximale. La bille reprend alors une nouvelle trajectoire mais part avec une énergie mécanique bien plus faible que celle initiale. Elle atteint donc au bout de quelques itérations un puits d’énergie potentiel local.

Figure 4.8 - Mouvement fictif d'une bille dans un bol ellipsoïdal

Cette illustration permet de comprendre simplement le principe de la relaxation dynamique. Lâchons une bille en un endroit quelconque d’un bol ellipsoïdal, ici, sans vitesse initiale. La bille prend d’abord de la vitesse ; sa vitesse est remise à zéro lorsqu’elle atteint un maximum, avant d’être relâchée à l’arrêt. Cette procédure permet à la bille de se rapprocher petit à petit de la position où son énergie potentielle élastique serait minimale. En rouge, la position de départ, en vert, celle d’arrivée.

Notons que comme il s’agit d’une dynamique fictive, le choix de la masse H et du pas de temps Δ& est sans conséquence sur l’équilibre obtenu. En revanche, il influe sur la stabilité et la convergence de l’algorithme. En effet, plus le rapport Δ& H⁄ est grand, plus la dynamique est rapide, et donc la convergence aussi. Cependant, le choix d’un rapport Δ& H⁄ trop grand peut rendre le calcul instable. Nous verrons dans le paragraphe 4.4.2 comment choisir ce rapport de manière optimale.