Les techniques de la recherche opérationnelle

et ut= u1(t), u2(t), . . . um(t) !

ce dernier étant un vecteur de commandes qui détermine l’état de x. Les varia-tions de la variable x sont données par le système d’équavaria-tions différentielles : dxi

dt =

fi(x1, . . . xN, u1, . . . uM) ∀ i ∈ [1, N]. Les contraintes sur la variable d’état et de com-mande sont :

gh^x(t), u(t), t^≥0 ∀ t ∈ [t0, th] et h ∈ [1, q]

Au moment de la résolution, on peut imposer non seulement des conditions initiales

xt₀ = x0 (indispensable pour la résolution différentielle), mais également des conditions de fin de période xt1 = x1 ([554], pp.195–236).

2) Les techniques de la recherche opérationnelle

La Recherche opérationnelle, bien qu’apparentée plus particulièrement à la Science de gestion, n’en demeure pas moins un discipline dont les enseignements sont très pro-fitables à la Science économique. Les techniques sont principalement construites autour

22. - On peut en effet montrer l’équivalence des programmes primal et dual suivants :

M ax{Z1= M X i=1 ci.xi} M X i=1 ci.xi ≤ bj xi≥ 0 est équivalent à son dual :

M in{Z2= N X j=1 bj.xj} N X j=1 bj.xj ≤ ci xj≥ 0

de l’algorithme du simplexe, mais également autour des notions d’arbre et de graphe qui sont développés en Algèbre linéaire. A partir de ces instruments, un certain nombre de problèmes typiques ont été résolus tels que l’affectation de ressources, le transport, l’ordonnancement de tâches, la gestion des stocks et des files d’attente ainsi que la pro-grammation dynamique. La Recherche opérationnelle exploite également le paradigme de la Théorie des jeux.

Les notions d’arbre et de graphe - Un outil important, que nous avons seulement

évoqué dans les développements précédents, est utilisé en recherche opérationnelle ; il s’agit du graphe.

Un graphe est défini par la donnée d’un ensemble X (individus, localités, opérations etc.) ; d’un ensemble U de couples ordonnés (a, b)/a ∈ X et b ∈ X. Les éléments de X seront représentés par des points appelés sommets du graphe. Chaque élément (a, b) de

U sera représenté par un arc fléché joignant d’extrémité initiale a à l’extrémité termi-nale b ([554], p.98). Ce type d’outil est particulièrement intéressant pour la résolution des problèmes de transports, d’affectation ou d’ordonnancement. La possibilité d’associer une matrice à un graphe ouvre en effet des perspectives de résolution algébrique à des problèmes seulement schématisés graphiquement. On peut définir des configurations par-ticulières de graphes (circuit, chaîne, cycle, chemin, etc.) ou des éléments du graphes ayant des propriétés spécifiques (noyau) ; enfin, on peut enrichir les processus en y introduisant des probabilités (chaîne de Markov etc.) ([730], pp.2–36 ; [729], pp.253-311).

Problème de transport - Le recourt au graphe est tout à fait approprié pour l’étude

des problèmes de réseaux de transport (ils représentent des nœuds de communication, des capacités de circulation etc.). Un problème courant consiste à déterminer le flux maximum admis par le réseau. De type de problème peut être résolu en utilisant un simplexe du type : M ax{φ(¯b, ¯a)} b(ai, aj) ≤ φ(ai, aj) ≤ c(ai, aj) X ak∈P (ai) φ(ak, aj) = ^X aj∈S(ai) φ(ai, aj)

où φ(¯b, ¯a) est le flux entre a et b, b(ai, aj) et c(ai, aj) (resp.) sont les capacités minimale et maximale (resp.) de flux et enfin, où P et S (resp.) sont les ensembles des prédecesseurs et des successeurs de ai ([554], pp.99-112). Néanmoins il existe des algorithmes spécifiques

permettant de gagner du temps, notamment en termes de formalisation. L’Algorithme de Ford-Fulkerson [377] fonctionne le long d’un chemin, par marquage des étapes permettant d’augmenter la valeur d’une chaîne ([730], pp.131–183). L’Algorithme de Balas-Hammer24

[64, 508], qui s’attache davantage au problème du coût de transport, opère par saturations successives des destinations du réseau (Ibid.). Enfin, l’Algorithme hongrois ([352, 543] et [527, 600]) a été développé pour traiter les problèmes d’affectation.

Ordonnancement - Étant donné le découpage d’un projet en tâches élémentaires dont

on connaît la durée et les antériorités (i.e. la tâche j ne démarre que lorsque la tâche i est achevée), on cherche à savoir quelle sera la durée minimale d’exécution du projet25. Comme pour la programmation en nombres entiers, on formalise de manière mathéma-tique des contraintes qualitatives : 1 - contraintes potentielles : ti ≤ µ+ di (la tâche datée en ti ne peut avoir lieu après une date µ avec une marge di autour de µ ; 2 - contraintes de succession et contraintes disjonctives : ti ≥ tj + k.αij où i ne peut avoir lieu avant j plus ou moins une marge αij (deux tâches peuvent aussi s’exclure mutuellement dans le temps, parce qu’elles mobilisent les mêmes ressources). Le projet est alors représenté par un graphe. Chaque arc représente une tâche élémentaire du projet et se voit affecté d’une valeur correspondant à la durée de la tâche (il y a cependant des petites variantes de repré-sentation entre la méthode PERT et la méthode des potentiels). Ces algorithmes (Ford, Bellman-Kalaba [91, 92], Méthode matricielle, PERT etc. ([364] ; [554], pp.113–127 ; [729], pp.93–128 ; [600], pp.115–160) visent à calculer le chemin minimal de développe-ment du projet en parcourant de manière itérative l’ensemble du réseau, en gardant en mémoire les valeurs temporairement minimales et les étapes correspondantes. Cependant, un algorithme basé sur le calcul matriciel de réseaux (Réseaux de Pétri ) a été développé plus récemment [726].

Gestion de stocks et des files d’attente - Le problème de l’adéquation en temps réel

entre une demande - qui se manifeste par l’arrivée de clients dont le nombre peut être probabilisé – et une offre – qui se manifeste par l’état du stock de l’entreprise – microé-conomiques, a été résolu au moyen d’algorithme de gestion des stocks et de simulation de file d’attente ([554], pp.133–159). Partant de l’hypothèse d’écoulement linéaire des stocks, on peut représenter le déstockage du magasin de l’entreprise de la manière suivante. Si S est l’état du stock, t le temps alors si S s’écoule linéairement et que l’on connaît d, le délai 24. - Peter Hammer fut également connu sous le nom de Peter Ivanescu – voir "IFORS’ Operational Research Hall of Frame Egon Balas", International Transportation in Operational Research, pp.169-174.

de livraison, on est capable de déterminer par projection la quantité Sc correspondant à la date de réapprovisionnement au plus tard – c’est la Méthode du point de commande. Cependant le flux de demande peut être moins simple et nécessiter des simulations spéci-fiques ; en introduisant des aléas. Par exemple, le nombre probable de clients peut varier fortement d’une période à l’autre sur une échelle de temps jugée pertinente par l’entre-prise (la journée, la semaine, le mois). Dans ce cas là, on peut simuler les arrivées et des sorties par la méthode de Monte-Carlo , ce qui permet de calculer le temps moyen d’attente aux caisses26.

Programmation dynamique - Il s’agit cette fois de trouver des solutions optimales (à

tout le moins, satisfaisantes) à chaque période de développement d’un processus écono-mique ou de gestion. Contrairement au contrôle optimal, on raisonne ici plutôt en temps discret. L’Algorithme de Bellman (1957) repose sur une série de programmes d’optimisa-tion analogues à ceux de l’optimisad’optimisa-tion de flots dans un réseau.

Jeux - On ne peut guère parler de recherche opérationnelle sans évoquer la Théorie

de jeux. Celle-ci propose de déterminer les conditions d’équilibre entre différents joueurs d’une partie (guerre, concurrence sur un marché etc.). Elle ne se place donc pas dans l’optique d’un des joueurs, mais dans l’optique générale de la partie, chaque joueur usant au mieux de ses propres atouts. Dans les jeux de décision tels que la concurrence sur un marché (il existe plusieurs types de jeux : d’information, de décision, contre la nature, etc.), on peut représenter le résultat de la confrontation entre deux joueurs A et B grâce à une matrice G, dite matrice des gains :

G=      U_A^1,1.U_B^1,1 U_A^i,j.U_B^i,j U_A^n,n.U_B^n,n     

∀ i ∈ [1, n]. Les variables utilisées sont n, le nombre de décisions différentes possibles,

U_A^i,j l’utilité retirée par A sachant que A a pris la décision i et B la décision j. Les outils dont nous avons déjà parlé jusqu’à présent en optimisation linéaire (graphes, réseaux, etc.) permettent alors de mettre en lumière les stratégies les plus pertinentes compte tenu des paramètres des différents joueurs [729], pp.187-221). Il faut toutefois préciser que la Théorie des jeux utilise assez peu les techniques de simulation. Dans ces rares 26. - Au sujet des processus d’attente et/ou des transports, voir ([364] ; [729], pp.197–250 ; [529], pp.387–391). Voir enfin [199] à propos de l’utilisation de la fonction modulo dans une simulation du trafic alterné du métro.

lement spécifiques. Les algorithmes reprennent les grandeurs de comptabilité générale ou de comptabilité analytique de l’entreprise27. En revanche, les spécialistes des jeux uti-lisent beaucoup l’outil mathématique à des fins purement théoriques et les validations, lorsqu’elles existent, seraient plutôt du domaine de l’économie expérimentale [198].

27. - Voir ([530], pp.84–118 ; [34], pp.89–110) à propos de la programmation des jeux d’entreprises (comportement de demande, de distribution etc.) en langage Fortran, GPSS et SimScript.

Evaluation des intégrales et des dérivées Interpolation et lissage Systèmes différentiels Ajustements de probabilité Tests usuels ^Simulation Conditionnement Calcul de convergence Recherche de valeurs et de vecteurs propres A.C.P. Systèmes d’équations M.C.O. Programmation linéaire Programmation non linéaire Pavage Déplacement en réseau Graphisme fractal Recherche opérationnelle Régulation et dynamique des systèmes Analyse factorielle^Econométrie Graphisme Tri Bases de données Logique floue Synchronisation Chaos Cryptographie Encodage Compression Communication

3.1.2 Architecture des systèmes de modélisation

Les systèmes de modélisation sont construits au moyen de langages de programmation. Nous verrons que le choix du langage et, en même temps le choix du type de program-mation, est important selon le type de système à construire. Les progrès des systèmes de modélisation dépendent également de l’évolution des langages et des types de program-mation. La gestion des éléments du système repose sur un certain nombre d’algorithmes spécifiques (tri, recherche d’occurrence, etc.), tandis que d’autres algorithmes, plus ana-lytiques, renseignent sur les propriétés des modèles économiques implémentés dans le système.