Le rapport de Chamberlin, Powell et Bon de mai

Ocorre que o intenso trabalho desenvolvido na década de 80, em torno da resolução de problemas, não proporcionou a melhora esperada e apresentou incoerências. A "falta de concordância ocorreu, possivelmente, pelas grandes diferenças existentes entre as concepções que pessoas e grupos tinham sobre o significado de 'resolução de problemas ser o foco da Matemática escolar' " (SCHROEDER E LESTER,1989), conforme havia sido recomendado, para os anos 80, no documento Uma Agenda para a Ação. (NCTM, 1980)

Emergem, então, idéias sobre a possibilidade de considerar a resolução de problemas como um meio de ensinar Matemática. Nessa época, elas vieram associadas à retomada das idéias do construtivismo, segundo as quais os estudantes não mais são considerados como recipientes vazios a serem preenchidos, através da aprendizagem, com informações fragmentadas e desconexas. Antes, são seres pensantes aos quais deve-se proporcionar, através do ensino, oportunidades de interpretar situações ou problemas e de relembrar conhecimentos anteriores a fim de construir novos conhecimentos. (ONUCHIC,1999, 2003a; ONUCHIC; ALLEVATO, 2004; SANTOS, 2002)

Essa visão é, de certa forma, compartilhada por Campbell (1996). Em seu trabalho, apresentado no Oitavo Congresso Internacional sobre Educação Matemática, realizado na Espanha, ela ressaltou, entre outras idéias, que construir conhecimento a partir de conhecimentos anteriores é uma das características do ensino nos moldes do construtivismo.

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Ao tratar da influência das idéias construtivistas no ensino de Matemática, Santos (2002) relaciona a resolução de problemas aos processos históricos de construção do conhecimento científico e afirma que

"esse modelo coloca o aluno na situação de alguém que precisa resolver um certo problema mas que não possui a ferramenta necessária (ou mais econômica) para fazê-lo; nessa situação, não existe outra solução, para o sujeito, que [não seja] construir essa ferramenta que permite a resolução de seu problema, numa situação análoga àquela vivida no processo de construção dos conceitos científicos." (p.14)

Abordando essa concepção de ensino, a qual chamam "ensino via resolução de problemas", Schroeder e Lester (1989) reforçam que ela seja considerada não somente como um dos objetivos de se ensinar Matemática mas, principalmente, como um meio de fazê-lo. Ao analisar os aspectos relevantes das diferentes maneiras de abordar esse assunto, eles ressaltam que o ensino via resolução de problemas é a abordagem mais coerente com as recomendações do NCTM, segundo as quais:

(1) habilidades e conceitos matemáticos devem ser aprendidos no contexto da resolução de problemas,

(2) o desenvolvimento de processos de pensamento de ordem superior deve ser estimulado através de experiências em resolução de problemas, e

(3) o ensino de Matemática deve ocorrer, por investigação orientada, em um ambiente de resolução de problemas.

No trabalho de Thompson (1989), há um relato das noções emergentes nas falas dos professores que participaram de um curso de verão em que a abordagem foi a resolução de problemas para ensinar Matemática. Foram destacadas as seguintes noções: da resolução de problemas como um processo geral para gerar conhecimento matemático; de que ela envolve busca e descoberta de padrões e regularidades, elaboração e teste de conjecturas e generalizações; de que é uma atividade em que uma estratégia muito usada é a descoberta indutiva e, ademais, que reforça a necessidade da prova matemática nessas generalizações do conhecimento matemático.

Defendendo que o ambiente de sala de aula de Matemática deva propiciar aprendizagem com sentido, Schoenfeld (1989) apresenta algumas experiências de outros pesquisadores, realizadas com alunos, envolvendo resolução de problemas, e desenvolve

análises segundo duas suposições. A primeira considera a natureza19 do ensino-

aprendizagem da Matemática escolar como formada por fenômenos culturais e cognitivos, de modo que os dois não são separáveis. A segunda, sobre a natureza da Matemática,

19 _{Natureza: força ativa que estabeleceu e conserva a ordem natural de tudo quanto existe.}

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supõe que no centro dessa natureza, fazer Matemática não só pode como deveria ser um ato de fazer sentido e, além disso, que os fatos e procedimentos que os alunos aprendem no ensino da Matemática deveriam ser um meio para um fim e não um fim em si mesmo.

Desenvolvendo sua análise sobre aspectos culturais e cognitivos, Schoenfeld (1989) afirma que as salas de aula são meios sociais, são microcosmos culturais, onde conjuntos de crenças e valores são perpetuados pelas práticas e rituais do dia-a dia. Se é intencional ou não, o fato é que a percepção que os estudantes têm sobre a que se refere a Matemática, é determinado pela cultura da Matemática escolar, pelo ambiente de aprendizagem. Ele explica que a prática da sala de aula, através da rede de atividades de todo dia, constitui a cultura matemática da sala de aula, ou seja, uma microcultura da cultura matemática. Uma observação que o autor considera importante é que o fato de "dar sentido" é contextualmente limitado e definido em um microcosmo pelas práticas da microcultura.

Um exemplo, tão típico quanto genérico, é o das longas listas de problemas propostas pelos professores aos alunos, sobre um determinado assunto matemático. Muitas vezes se verifica que os alunos automatizam procedimentos de tal modo que se, entre tantos, um determinado problema exigir deles um encaminhamento diferente, eles não são capazes de perceber. Os alunos simplesmente repetem, naquele problema, os mesmos procedimentos que vinham utilizando nos anteriores e produzem resultados incorretos; não param para pensar sobre cada problema individualmente, não atribuem sentido ao que lêem e ao que fazem.

Esse exemplo conduz à constatação de que dominar os procedimentos formais da Matemática é diferente de aprender Matemática que, por sua vez, é diferente de pensar matematicamente. Da forma como entende Schoenfeld (1989), os alunos devem ser levados a essa terceira atitude, ou seja, a de pensar matematicamente. Ele ressalta que aprender a pensar matematicamente envolve tanto dominar as ferramentas matemáticas (fatos e procedimentos) e desenvolver a compreensão de que a Matemática é uma atividade de dar sentido, quanto o hábito de usá-la desse modo. Que fazer Matemática é dar sentido às coisas, é tomar elementos e estruturas aparentemente matematicamente separados e perceber como se relacionam.

A esse propósito, num estudo em que analisou alguns aspectos que dificultam a resolução de problemas, Noddings (1989) apontou a falta de sub-habilidades de cálculo por parte dos alunos. Porém ele argumenta que a constatação dessa falta não deve ser usada como argumento para submeter os alunos a exaustivas listas de exercícios repetitivos, até que atinjam um determinado nível de competência, antes de apresentar-lhes a possibilidade de resolver problemas. Exercícios prévios de cálculo podem ser realizados a fim de que os alunos desenvolvam competências necessárias à compreensão de certos conteúdos. O

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problema é realizá-los tanto, que se tornem um fim em si mesmos, configurando-se aos alunos como, verdadeiramente, sem sentido.

Segundo Noddings (1989), a percepção do tipo de sub-habilidades necessárias exige do professor uma visão à frente, uma análise dos problemas e dos novos conceitos que serão ensinados, de modo que as sub-habilidades básicas possam ser identificadas e ensinadas ou revisadas eficientemente. Então, quando o professor chegar ao "grande tópico", os alunos perceberão o que é mais importante e o que é auxiliar ou secundário.

Também Campbell (1996) trata desse aspecto colocando que é importante o professor procurar determinar de que conhecimentos anteriores o aluno dispõe a fim de saber o que precisa de menor atenção e que "lacunas" de conhecimento existem, que precisam ser preenchidas. Ela enfatiza que a constatação da falta de conhecimentos anteriores não deve ser usada como justificativa para limitar a oportunidade de os alunos aprenderem algo mais.

Pensar matematicamente é um dos aspectos destacados também no estudo comparativo apresentado por Schroeder e Lester (1989). O ensino para a resolução de problemas, segundo entendem, limita a atividade matemática do aluno à resolução de problemas cujas soluções são encontradas simplesmente seguindo o modelo de um problema resolvido como exemplo pelo professor. Vários problemas semelhantes são resolvidos, na maior parte das vezes, corretamente, bastando para isso que o aluno escolha os números no enunciado e aplique uma determinada operação ou técnica operatória já conhecida. Esse tipo de atividade nem sempre exige do aluno pensamento matemático. E, se o aluno percebe que um determinado problema é diferente do exemplo dado, então se sente perdido e incapaz de resolvê-lo.

Schroeder e Lester (1989) elaboraram o diagrama a seguir para representar sua compreensão sobre como se realizam os processos de pensamento quando problemas não rotineiros são resolvidos e quando o ensino via resolução de problemas é adotado.

Representação matemática Solução matemática Solução do problema real Problema do mundo real Mundo "real" . . . (SCHROEDER E LESTER, 1989, p.36) Mundo matemático

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Nesse modelo, conhecimentos estão em construção, isto é, novos conteúdos e processos matemáticos estão sendo aprendidos ao mesmo tempo em que são confrontados com conhecimentos já adquiridos. Nele os alunos vivenciam experiências mais ricas de aprendizagem da Matemática pois ela é autogerada em vez de ser imposta pelo professor ou pelo livro texto.

Cabe, neste momento, apresentar as palavras de Santos (2002) referentes à aprendizagem:

a aquisição de novos conhecimentos está estreitamente ligada ao processo de interação entre o sujeito e o objeto de estudo; em matemática costumamos dizer que o aluno aprende pela resolução de problemas, e não escutando o professor relatar esse objeto em sua aula (p.14).

Ele nos apresenta o seguinte esquema:

Santos (2002) explica que, nesse modelo, a estratégia consiste em colocar o aluno diante de um obstáculo que gerará um conflito. Esse, por sua vez, é gerado pela constatação de insuficiência e/ou de contradições entre antigos conhecimentos e a situação que lhe é apresentada, a qual chama situação-problema. Ele será "forçado" a criar mecanismos, a construir conhecimento para resolver a situação. Assim, a responsabilidade pela construção de novos conhecimentos é colocada nas mãos do aluno.

A partir dessas idéias e buscando uma compreensão mais ampla, retomamos as idéias de Schoenfeld (1989): cada sala de aula de Matemática deveria, a seu próprio modo, ser um microcosmo de certos aspectos da cultura matemática; um ambiente no qual os rituais e práticas do dia-a-dia tornem natural o pensar matematicamente. Os alunos deveriam ser conduzidos a fazer Matemática, a construir definições e resultados a partir de conhecimentos anteriores e das discussões entre eles ao invés de recebê-los prontos. Um conjunto de valores relacionados ao "fazer matemático", a crenças e predileções, pode ser induzido e reforçado por rituais e práticas nas quais os alunos se engajem, criando um ambiente de sala de aula norteado por uma cultura de "dar sentido".

Analogamente, Van de Walle (2001) analisa as implicações do paradigma do teach-

then-solve em que se separa o ensino de Matemática da resolução de problemas, e adverte

que ao fazer essa separação separa-se, também, a Matemática do "fazer Matemática". Da Primeiro momento:

Permite que o aluno invista seus conhecimentos

anteriores.

Segundo momento:

Permite que o aluno tome consciência da insuficiência desse

conhecimento.

Terceiro momento:

Permite que o aluno CONSTRUA

novos conhecimentos .

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forma como ele entende, isso não faz sentido, uma vez que idéias matemáticas são resultados de experiências com resolução de problemas, e não o contrário.

Segundo nos parece, as idéias de Campbell (1996) acerca do construtivismo e do ensino de Matemática estão de acordo com essas concepções. Segundo a autora, os conceitos matemáticos devem ser examinados em termos de resolução de problemas para que sejam significativos, levando-se em conta que Matemática é parte invenção e parte convenção. Além disso, afirma que mesmo problemas abstratos podem ser significativos se o aluno compreende o problema e realmente se empenha em sua resolução.

Tais considerações nos conduzem às compreensões de Onuchic (1999, 2003a) segundo as quais a resolução de problemas deve ser adotada como uma metodologia de ensino, no sentido de que

o problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal (p.207).

A autora recomenda que o ensino de Matemática deve ocorrer em um ambiente caracterizado pela investigação, e que essa deve ser orientada pela resolução de problemas. Segundo esse enfoque, o ponto de partida das atividades matemáticas deixa de ser a definição e passa a ser o problema, de forma que "a Resolução de Problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas como orientação para a aprendizagem." (p.215)

Relacionada a essa visão está a tendência investigativa apresentada por Contreras e Carrillo (1998) na qual o aluno aborda um problema como uma investigação. O problema tem caráter instaurador da aprendizagem; resolvem-se problemas durante todo o processo de aprendizagem dentro de um âmbito flexível de aquisição de conhecimento conceitual e procedimental. Favorece, ao aluno, a construção autônoma do conhecimento através de situações em que o aluno é capaz de criar e ampliar sua capacidade de resolver problemas.

Mesmo entre os matemáticos, cuja prática de ensino em geral reflete a forma como tradicionalmente concebem a Matemática - como uma seqüência de definições, teoremas, exemplos, aplicações - também há os que se manifestam nesse sentido. Lima (1999) reflete sobre a necessidade de buscar equilíbrio no currículo, através da consideração de três elementos fundamentais - conceituação, manipulação e aplicações. Em seu artigo, esse autor deixa clara sua opinião sobre os males causados pela supervalorização da manipulação. Ele reitera que ela é, dos três componentes, o mais presente em muitos livros adotados nas escolas, muito embora não exija criatividade, imaginação ou capacidade de

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raciocínio abstrato. E complementa: "Cada novo capítulo do curso deveria começar com um problema cuja solução requeresse o uso da matéria que vai começar a ser ensinada" (p. 6).

As afirmações de Onuchic (1999) também ratificam esse posicionamento acerca da manipulação, visto que explicitam a crença de que a verdadeira força da resolução de problemas não se restringe ao domínio de particularidades técnicas ou de conceitos, mas visa ao entendimento de como se relacionam e dos princípios que os unifica. Assim, é preciso atentar para a natureza interna da Matemática e para a forma como seus princípios são organizados, assim como para seus usos e aplicações (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004). Vale salientar, aqui, que a resolução de problemas como metodologia de ensino, defendida pelas autoras, não exclui as demais concepções. Isso significa que, quando o professor adota essa metodologia, os alunos podem aprender tanto sobre resolução de problemas, quanto aprendem Matemática para resolver novos problemas, enquanto aprendem Matemática através da resolução de problemas.

Em seu texto, dirigido especialmente para professores, Van de Walle (2001) afirma, assim como o fazem também Schroeder e Lester (1989), que é difícil ensinar através da resolução de problemas. Entretanto ele apresenta algumas razões que justificam o esforço e entre elas estão:

- a resolução de problemas coloca o foco da atenção dos estudantes sobre as idéias e sobre o "dar sentido";

- a resolução de problemas envolve os estudantes nos cinco padrões de processo descritos nos Standards (2000)20: resolução de problemas, raciocínio e prova, comunicação, conexões e representação;

- a resolução de problemas desenvolve nos estudantes a crença de que eles são capazes de fazer Matemática e de que ela faz sentido, isto é, aumenta a confiança e auto-estima dos estudantes;

- a resolução de problemas fornece, ao professor, dados de avaliação que lhe permite tomar decisões sobre o ensino e ajudar os estudantes a ter sucesso com a aprendizagem; e

- os alunos se entusiasmam com o desenvolvimento da capacidade de compreensão que experimentam através de seu próprio raciocínio.

Ao finalizar esta seção, entendo que há alguns pontos, relativos a esta concepção, que merecem ser destacados. Primeiramente o fato de que o ensino através da resolução de problemas não exclui as demais concepções, constituindo-se assim em uma abordagem

20_{Principles and Standards for School Mathematics (2000) é uma publicação elaborada pelo NCTM}

que fornece as orientações para o ensino de Matemática nos níveis K-12, onde, além dos princípios apresentados, cinco padrões de conteúdo e cinco padrões de processo são estabelecidos.

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mais completa e abrangente que as demais. Acredito, além disso, que favorecendo um trabalho mais autônomo, o conhecimento construído fará mais sentido para o aluno. Ele perceberá, por si só, suas reais condições e dificuldades. Isso aumenta a confiança em suas próprias capacidades e, tanto por parte dos alunos como do professor, possibilita uma avaliação mais efetiva e individualizada, e conseqüente realinhamento das atividades de ensino como um todo.