Le rˆole des r´esonances de moyen mouvement

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a tendance `a circulariser les orbites et induire un spiralement (migration) de la plan`ete vers son ´etoile. La migration des plan`etes par effet de mar´ee est un processus bien plus lent que la migration due au disque pro-toplan´etaire. En revanche, cet effet agit sur des milliards d’ann´ees (suivant l’ˆage des syst`emes) et peut donc significativement modifier les orbites des plan`etes apr`es la disparition du disque.

1.3 Le rˆole des r´esonances de moyen mouvement

1.3.1 Migration et r´esonance

Lorsque deux plan`etes subissent une migration convergente, c’est-`a-dire que le rapport de la p´eriode de r´evolution de la plan`ete la plus ´eloign´ee de l’´etoile sur la p´eriode de la plan`ete interne (Pext/Pint) diminue, les plan`etes peuvent ˆetre pi´eg´ees en r´esonance de moyen mouvement (Weidenschilling & Davis, 1985). Une fois que deux plan`etes sont pi´eg´ees en r´esonance, elles continuent de migrer en spiralant vers l’´etoile mais en maintenant constant le rapport de p´eriodes Pext/Pint `a la valeur r´esonante (e.g. 3/2, 2, etc.). Suivant les pro-pri´et´es du disque et des plan`etes, la capture en r´esonance peut ˆetre permanente ou seulement temporaire. Dans le cas d’une capture temporaire, le rapport de p´eriodes se met `a nouveau `a diminuer rapidement (migration convergente) et les plan`etes peuvent alors ˆetre `a nouveau pi´eg´ees dans une autre r´esonance. Ces configurations r´esonantes des plan`etes sont donc probablement courantes `a la fin de la phase de migration, lorsque le disque disparaˆıt.

1.3.2 Probl´ematique et d´emarche

Dans cette th`ese nous explorons la possibilit´e qu’un grand nombre de plan`etes se soient retrouv´ees en r´esonance `a la suite de la phase de migration dans le disque protoplan´etaire et que les statistiques observ´ees aujourd’hui soient le r´esultat d’une longue (plusieurs milliards d’ann´ees) phase ult´erieure de dissipation par effet de mar´ee. La probl´ematique `a laquelle nous essayons de r´epondre est : la dissipation par effet de mar´ee peut-elle expliquer la pr´esence d’un grand nombre de syst`emes proches mais en dehors des r´esonances de moyen mouvement ? Nous cherchons `a comprendre la dynamique des syst`emes r´esonants en pr´esence de dissipation et en particulier `a envisager les diff´erents scenarii possibles de sortie de la r´esonance `a cause de cette dissipation.

Comme la dissipation par effet de mar´ee est un ph´enom`ene tr`es lent qui s’´echelonne sur des milliards d’ann´ees, on distingue deux ´echelles de temps d’´evolution du syst`eme :

— Sur le court terme, la dissipation n’affecte que tr`es peu l’´evolution du syst`eme et les trajectoires du probl`eme dissipatif sont tr`es proches de celles du probl`eme conservatif (sans dissipation).

— Sur le long terme, la dissipation doit ˆetre prise en compte au travers de son effet moyen.

Le chapitre 2 traite de la dynamique conservative de deux plan`etes en r´esonance de moyen mouvement. On s’attache dans ce chapitre `a construire un mod`ele Hamiltonien des r´esonances le plus simple possible. Ceci donne un point de d´epart pour l’´etude de la dynamique r´esonante en pr´esence de dissipation qui est trait´ee au chapitre 3. L’utilisation d’un mod`ele simplifi´e de la dynamique conservative permet d’´etablir des crit`eres analytiques sur la forme de la dissipation pour pr´evoir l’´evolution du syst`eme et en particulier une ´eventuelle sortie de la r´esonance. Nous pr´esentons au chapitre 4 diff´erentes applications de notre mod`ele et notamment au cas des statistiques de la missionKepler(paragraphe 4.2). Enfin, le chapitre 5 est consacr´e aux conclusions et perspectives de ce travail.

Chapitre 2

´Etude de la dynamique des syst`emes r´esonants conservatifs

Ce chapitre est consacr´e `a l’´etude du probl`eme de deux plan`etes en r´esonances de moyen mouvement, en l’absence de toute dissipation. Le formalisme Hamiltonien que nous adoptons ici est particuli`erement adapt´e dans le cas conservatif. Nous reprenons dans les paragraphes 2.1-2.3 une construction classique du Hamiltonien r´esonant. Le paragraphe 2.4 pr´esente une simplification suppl´ementaire qui permet d’obtenir un mod`ele int´egrable (un degr´e de libert´e) des r´esonances au prix d’une perte d’une partie de la complexit´e de la dynamique r´esonante. Enfin le paragraphe 2.5 est consacr´e `a la recherche des points fixes du Hamiltonien r´esonantclassique, qui sont un ´el´ement essentiel dans la construction du mod`ele simplifi´e.

2.1 Probl`eme plan´etaire plan et formalisme Hamiltonien

Nous reprenons ici la m´ethode de construction du Hamiltonien plan´etaire propos´ee par J. Laskar (voir en particulier Laskar, 1991; Laskar & Robutel, 1995). Pour ne pas alourdir les notations nous consid´erons un syst`eme `a deux plan`etes autour d’une ´etoile. De plus nous restreignons notre ´etude au cas de plan`etes coplanaires. On notem0, m1 etm2 les masses de l’´etoile, de la plan`ete interne et de la plan`ete externe. On suppose que l’´etoile est bien plus massive que les plan`etes (m0 m1, m2) et le rapport de masse mi/m0

(i ∈ {1,2}) est consid´er´e comme un petit param`etre. Les positions des trois corps dans le plan et dans un r´ef´erentiel barycentrique galil´een, sont not´es ui, les quantit´es de mouvement sont not´es ˜ui (= mii), o`u le point d´esigne la d´eriv´ee temporelle. Dans ce r´ef´erentiel galil´een, le Hamiltonien s’´ecrit simplement comme la somme de l’´energie cin´etique et de l’´energie potentielle :

H = 1 2

X3 i=0

||˜ui||2

mi − G X

0i<j3

mimj

||uj−ui||

o`u G est la constante universelle de gravitation. Le syst`eme de coordonn´ees (ui, ˜ui) est canonique et les

´equations du mouvement de Newton s’obtiennent `a partir des ´equations de Hamilton :







i = ∂H

∂˜ui

˙˜ui = −∂H

∂ui

Dans le cas plan´etaire, il est naturel d’introduire des coordonn´ees h´eliocentriques, pour lesquelles les positions des plan`etes sont rep´er´ees par rapport `a l’´etoile. Il suffit pour cela d’introduire les coordonn´eesritelles que :





r0 = u0

r1 = u1−u0

r2 = u2−u0

Cependant, pour pr´eserver les propri´et´es Hamiltoniennes, il est n´ecessaire de conserver un syst`eme de co-ordonn´ees canoniques. Pour ce faire, on introduit les moments ˜ri, conjugu´es aux positions ri, de la fac¸on

suivante : 



0 = u˜0+u˜1+u˜2

1 = u˜1

2 = u˜2

Ce syst`eme de coordonn´ees canoniques h´eliocentriques a ´et´e introduit pour la premi`ere fois par Poincar´e en 1896 mais il n’a ´et´e utilis´e pleinement par les astronomes que depuis son exhumation par Laskar (1989). Dans ce syst`eme de coordonn´ees, l’´energie cin´etique se r´e´ecrit :

T =T0+T1 avec

T0= 1 2

X2 i=1

||r˜i||2m0+mi

m0mi

et

T1= ˜r1.˜r2

m0

L’´energie potentielle devient quant `a elle :

U =U0+U1

avec

U0=−G X2

i=1

m0mi

||ri||

et

U1=−G m1m2

||r2−r1||

Et le Hamiltonien est simplement la somme de ces deux contributions : H =T +U

T1etU1sont de petites contributions (perturbations) par rapport `aT0etU0. On voit en effet apparaˆıtre un facteurmi/m0entreT1,U1etT0,U0. On noteH0=T0+U0le Hamiltonien non-perturb´e (ordre 0 du rapport des masses) etH1 = T1+U1 la perturbation (ordre 1 du rapport des masses). H0 est la r´eunion de deux probl`emes Kepleriens (`a deux corps) non coupl´es, chacun d’eux correspondant au mouvement d’une plan`ete de masseβi=m0mi/(m0+mi) autour d’une ´etoile fixe de massem0+mi(on noteµi =G(m0+mi)). Ce probl`eme est int´egrable et les solutions sont des trajectoires coniques (elliptiques dans notre cas) pour chacune des deux plan`etes. Il est donc naturel d’introduire des coordonn´ees elliptiques repr´esentant les trajectoires Kepleriennes non-perturb´ees et d’exprimer la perturbation (H1) dans ce syst`eme de coordonn´ees. Pour la plan`ete i, la trajectoire elliptique (non-perturb´ee) est d´ecrite par (voir figure 2.1) : le demi-grand axeai, l’excentricit´eei, l’anomalie vraievi et la longitude du p´erih´elie$i. On note Mi l’anomalie moyenne de la plan`etei, qui est l’angle d´ecrivant un mouvement circulaire uniforme fictif de mˆeme p´eriode que la plan`ete.

2.1. PROBL `EME PLAN ´ETAIRE PLAN ET FORMALISME HAMILTONIEN 7

Aph´elie

2a

Aph´elie

P´erih´elie

2ae

v

S

S’

P

x y

Figure 2.1 – ´El´ements elliptiques osculateurs de l’orbite non-perturb´ee d’une plan`ete (P) autour de son

´etoile (S).

Ces coordonn´ees permettent de d´ecrire le mouvement non-perturb´e de la plan`ete bien plus simplement que les coordonn´ees positions-quantit´es de mouvement. Cependant elles ne forment pas un syst`eme de coor-donn´ees canonique. Pour pallier `a ce probl`eme on utilise les coorcoor-donn´ees elliptiques canoniques de Delaunay (Mi,Λi,i,Gi), avec :

Λi = βi√µiai

Gi = Λi

1−e2i

Gi est le moment cin´etique orbital de la plan`ete i et Λi est son moment cin´etique circulaire (le moment cin´etique qu’elle aurait si l’excentricit´e ´etait nulle). Dans ce syst`eme de coordonn´ees, le Hamiltonien non-perturb´e s’´ecrit :

H0=−

2

i=1

µ2iβ3i

2Λ2i (2.1)

Ainsi, dans le probl`eme Keplerien, toutes les coordonn´ees sont constantes sauf les anomalies moyennes Mi, dont on obtient l’´evolution en ´ecrivant les ´equations de Hamilton :

˙

Mi = ∂H0

∂Λi

= µ2iβ3i Λ3i =ni

o`uniest appel´e le moyen mouvement de la plan`etei.

Pour connaˆıtre l’´evolution du syst`eme dans le cas perturb´e, il faut exprimer la perturbation H1dans les coordonn´ees de Delaunay.H1 ne peut ˆetre ´ecrit de mani`ere simple dans ces coordonn´ees, notamment parce cela n´ecessite de r´esoudre l’´equation de Kepler (donnant la position d’une plan`ete en fonction du temps) qui n’admet pas de solution explicite simple. On peut cependant d´evelopper le Hamiltonien en s´erie de diff´erentes mani`eres. Nous utilisons ici le d´eveloppement classique en puissance des excentricit´es qui est valable pour des excentricit´es faibles. Pour cela, il faut r´ealiser `a nouveau un changement de variables. En effet, les coordonn´ees

de Delaunay ne sont pas petites lorsque les excentricit´es ou les inclinaisons sont faibles. On ne peut pas faire un d´eveloppement directement avec ces variables. On introduit donc les coordonn´ees elliptiques complexes de Poincar´e (λi,Λi,xi,i¯xi), avec :

λi = Mi+$i (longitude moyenne)

xi = p

Λi−Giei$i = p Λi

r 1− q

1−e2iei$i

Pour de faibles excentricit´es,xi est proportionnel `a l’excentricit´e. On noteDi =xi¯xi = Λi−Gi le d´eficit de moment cin´etique de la plan`etei(cf. Laskar, 2000). Ce d´eficit est la diff´erence entre le moment cin´etique circulaire et le moment cin´etique. La perturbationH1 est alors d´evelopp´ee en s´erie enti`ere desxiet en s´erie de Fourier des longitudes moyennesλi. Les coefficients de ce d´eveloppement font intervenir les actionsΛiau travers du rapport des demi-grands axes (α = a1/a2) et des coefficients de Laplace (e.g. Laskar, 1991). On obtient ainsi le Hamiltonien sous la forme :

H =− X2

i=1

µ2iβ3i

2Λ2i + X

l,l∈N¯ 2,k∈Z2

Cl,l,k¯ (Λ) Y2

i=1xliili¯ieikiλi (2.2) La relation de D’Alembert impose, de plus, que seul les monˆomes v´erifiant

X2 i=1

li−l¯i+ki =0 ont un coefficient non-nul dans le Hamiltonien.

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