Le condensateur électrique

Le condensateur est constitué de deux électrodes massives séparées par des entre-toises isolantes. Le septum : l’électrode d’épaisseur très faible qui doit s’insérer entre les deux faisceaux atomiques, est placée entre les entretoises. La figure IV.6 illustre cette construction et définit les notations. Afin de mieux définir la zone effective d’interaction, on place à l’entrée et à la sortie du condensateur des électrodes de garde qui font que les champs de fuite sont à un endroit dont la géométrie est bien définie et non aux bouts du condensateur dont la géométrie est mal connue (par exemple, le septum n’a pas la même longueur que les électrodes massives). Il serait préférable d’avoir des électrodes de garde sur toutes les électrodes mais il nous semble très difficile de réaliser ces électrodes sur le septum et surtout de les positionner précisement. C’est pourquoi nous avons des électrodes de garde seulement sur les électrodes massives et, de ce point de vue, la conception de notre condensateur est très proche de celui réalisé par l’équipe de D. Pritchard. A la différence de cette équipe, nous avons choisi de réaliser les électrodes de garde dans le même plan que les électrodes massives parce que, dans ce cas, il est possible de calculer analytiquement le champ électrique à partir de la distribution de potentiel V (x = h, z) de cette électrode. IV.4.1.1 Calcul du champ électrique

Pour réaliser une mesure précise, nous avons besoin de connaître précisement le champ électrique appliqué sur la trajectoire atomique. Je présente ici comment nous procédons pour calculer ce champ électrique.

x

z

y

connections

2a

h

h

y

x

x

z

Fig. IV.6 – Dessins représentant le condensateur. La feuille de mylar est parallèle à l’axe z et portée au potentiel V = 0 alors que les électrodes massives sont situées à x=±h ≈ 2 mm. L’électrode massive est au potentiel V0 pour |z| < a tandis que les électrodes de garde sont au potentiel V = 0 et s’étendent pour |z| > a avec a ≈ 25 mm.

Caractère bidimensionnel du champ électrique :

Les entretoises de verres, étant un milieu diélectrique de permitivité relative εr > 1, on pourrait craindre que celles-ci attirent et distordent les lignes de champ électrique , à l’intérieur de ce condensateur plan. Cet effet s’annule quand le milieu diélectrique remplit entièrement l’espace inter-électrodes. Nous allons le démontrer.

La figure IV.7 montre que les entretoises remplissent l’espace définit par |y| > y0

alors que le reste de l’espace est vide. Appellons V et V1 les potentiels électriques régnant respectivement dans la région |y| < y0 et |y| > y0. Les conditions de continuité au niveau du plan |y| = y0 s’écrivent :

V = V1 et ^∂V ∂y ⁼

∂V1

∂y ^(IV.18)

Or, comme nous allons le voir au prochain paragraphe, une solution de la forme V (x, z) est solution de l’équation de Laplace ∆V = 0. Si on prend V1 = V , cette solution est solution des équations IV.18 et on sait que la solution est unique.

Champ électrique dans le condensateur :

On va calculer le champ électrique régnant uniquement dans un des deux teurs (la partie x ≥ 0). On commence par déterminer le potentiel V (x, z) dans le condensa-teur. Il satisfait l’équation de Laplace ∆V = 0, et les conditions aux limites sont imposées

par la géométrie du condensateur :

V (x = 0, z) = 0 (IV.19)

V (x = h, z) = V0 pour |z| < a (IV.20)

V (x = h, z) = 0 pour |z| > a (IV.21)

Pour déterminer analytiquement le potentiel, nous introduisons dans un premier temps la transformée de Fourier eV (k) de la fonction V (x = h, z) :

e

V (k) = √¹ 2π

Z∞ −∞

V (x = h, z)e^−ikzdz (IV.22)

que l’on peut calculer analytiquement : e

V (k) = √^2V0 2π

sin(ka)

k ^(IV.23)

On cherche alors une solution à l’équation de Laplace en séparant les variables x et z sous la forme V (x, y) = f (x)t(z). Quand k varie de −∞ à +∞, les fonctions t(z) = exp(ikz) forment une base de fonctions de z et pour chaque fonction t(z), il existe deux fonctions f (x) associées vérifiant ∆f (x)t(z) = 0. Ce sont les fonctions f (x) = exp(±kx). En utilisant les conditions aux limites et l’expression de la transformées de Fourier eV (k), on peut écrire une solution de la manière suivante :

V (x, z) = √¹ 2π Z∞ −∞ e V (k)^sinh(kx) sinh(kh)^e ikzdk (IV.24)

Connaissant V (x, z), on peut calculer le champ électrique en tout point de l’espace et notamment au niveau de la surface du septum en x = 0 où il est évidemment parallèle à l’axe −→_{x . Ces calculs sont détaillés dans l’annexe C. On peut définir analytiquement une} longueur effective d’interaction par :

Lef f = ¹ E2 0 Z∞ −∞ E²(z)dz (IV.25)

où E0 = V0/h est le champ électrique crée par un condensateur plan infini dont l’espa-cement entre électrodes est égal à h. A partir des calculs présentés dans l’annexe C, on obtient l’expression exacte de cette longueur en fonction des paramètres géométriques du condensateur : Lef f = 2a · coth(^πa h ) − ^h πa ¸ (IV.26) En négligeant les corrections exponentiellement faibles en e−2πa/h (ce qui est bien justifié dans notre expérience puisque avec a ≈ 25 mm et h ≈ 2 mm, l’argument de l’exponentielle est voisin de 79) :

L_{ef f} ≃ 2a −^2h

π ^(IV.27)

Nous devons évaluer une correction supplémentaire pour obtenir une longueur effective réaliste. En effet, la trajectoire atomique ne passe pas exactement au niveau de la surface

z Potentiel V0 0 x -h h -a a x septum y y0 -y0 εr εr εr εr h -h

Fig.IV.7 – Schéma illustrant la la cellule de mesure de polarisabilité. Le potentiel électrique V₀ est appliqué sur une électrode en x = h, et de longeur 2a. Les autres électrodes sont à la masse. Les deux électrodes massives sont séparées par des entretoises isolantes de constante diélectrique ǫr positionnée en y = ±y0.

du septum mais à une distance ne pouvant guère excéder 50 µm. Il faut donc connaître l’intégrale du carré du champ le long de cette trajectoire. On utilise les équations de Maxwell pour relier les composantes du champ électrique à une distance x de la surface à celles sur la surface. Ce calcul est détaillé dans l’annexe C et je ne donne ici que la première correction qui est quadratique avec la distance x à la surface. La longueur effective devient :

Lef f ≈ 2a − ^2h_π + ^2πx

2

3h ^(IV.28)

Pour juger de son importance, exprimons cette correction comme une fraction du terme principal 2a. Avec les valeurs de notre expérience (x ≈ 50 µm, h ≈ 2 mm et a ≈ 25 mm) cette correction représente 5 × 10−3% de Lef f, qui est totalement négligeable. C’est pourquoi nous utiliserons comme longueur effective celle donnée par l’équation IV.27 et nous écrirons l’intégrale du carré du champ sous la forme :

Z+∞ −∞ E²dz = V₀² · 2a h2 − ² πh ¸ (IV.29)

IV.4.1.2 Réalisation du condensateur

Les électrodes massives sont réalisées à partir de plaques de verre aluminisées d’épais-seur voisine de 10 mm. Les électrodes de garde sont réalisées en ôtant par vaporisation laser le dépôt d’aluminium sur une zone de largeur 100 µm (travail réalisé par la firme Cheval

Laser). La région isolante ainsi créée peut supporter une différence de potentiel à ses bornes de l’ordre de 500 V, ce qui est approximativement la valeur maximale que l’on souhaite pouvoir appliquer. La longueur entre les électrodes de garde est fixée à 2a = 50 mm, alors que la longueur totale du condensateur est égale à 80 mm. Chaque électrode de garde a une longueur selon l’axe z égale à 15 mm, ce qui est largement suffisant pour éviter tout champ à l’extérieur du condensateur.

Sur ces plaques de verre, nous collons des entretoises de verre d’épaisseur h ≈ 2 mm avec un ruban adhésif double-face ARCLAD 7418 (Adhesive Research). La distance y0

entre l’axe du jet atomique et les arêtes des entretoises est de y0 ≈ 7mm, (la côte y0 est définie sur la figure IV.7).

L’électrode centrale est réalisée à l’aide d’une fine feuille de mylar aluminisée sur les deux faces, d’épaisseur 6 µm vendue par Goodfellow. Cette feuille est tendue à part sur un gabarit cylindrique en y déposant une pellicule d’eau savonneuse et en la chauffant vers 80◦C par un pistolet à air chaud. La feuille est ensuite collée sur l’assemblage de la plaque et des entretoises avec une colle epoxy EPOTEK 301 (Epoxy Technologies) choisie pour sa faible viscosité. La feuille est ensuite découpée aux dimensions des plaques. La découpe des bords libres de la feuille de mylar doit être faite avec de grandes précautions pour ne pas occasionner de légères plissures. En effet, au niveau du condensateur, l’écart entre les centres des deux faisceaux atomiques vaut approximativement 90 µm et la feuille de mylar doit s’insérer entre les deux faisceaux atomiques sans les perturber : sa planéité est donc cruciale pour ne pas entraver le passage des atomes.

Enfin, toutes les connections électriques sont réalisées à l’aide de fil fins collés au sommet du condensateur à l’aide d’une colle epoxy conductrice : les électrodes s’étendant sous les entretoises, il n’est pas nécessaire d’introduire des fils de connection près des jets atomiques.

IV.4.1.3 Défauts du condensateur Champ électrique 3D

Nous avons montré théoriquement le caractère bidimensionnel du potentiel électrosta-tique, en supposant que les entretoises de verre sont des volumes diélectriques homogènes. Or, en réalité, l’espace inter-électrode est rempli par plusieurs couches de différents maté-riaux diélectriques : entretoises de verre, ruban adhésif, films de colle. La différence entre les permittivités de ces matériaux entraîne certainement des perturbations des lignes de champ, conférant par conséquent au champ électrique un caractère tridimensionnel. Cette perturbation, semble cependant négligeable puisque ces perturbations s’étendent sur des distances de l’ordre de l’épaisseur des matériaux minces (ruban adhésif et films de colle) de l’ordre de 10 à 15 µm. On peut négliger cette correction d’autant plus que les permittivités de ces matériaux diélectriques ne sont pas extrêmement élevées.

Effets de bords de l’électrode

Nous avons supposé connaître le potentiel électrostatique en tout point de la plaque de verre. Or, le potentiel est mal connu dans les zones isolantes de 100 µm de large sépa-rant l’électrode haute tension des électrodes de garde. Il semble raisonnable de supposer que le potentiel V diminue de manière continue de V = V0 à 0 dans ces zones. La forme

exacte de la transition n’est pas en soit extrêmement importante puisque les détails de la forme du potentiel en z = h sont fortement atténués par la convolution de V (z) avec la fonction g(z) définie en annexe. On peut alors calculer la longueur effective d’interaction L_{ef f} à partir de l’équation IV.26 tant que l’on rajoute à la longueur de l’électrode massive la largeur moyenne des deux rainures. Dans notre cas, la largeur de ces rainures est de 100 µm. Par prudence, nous avons donc pris cette largeur comme barre d’erreur sur la lon-gueur L_{ef f} et l’incertitude sur la longueur effective du condensateur est seulement de 0.2%.

Parallélisme des électrodes

Du parallélisme des électrodes dépend l’homogénéité du champ. Or le condensateur a été réalisé par l’empilage ruban adhésif-entretoise-couche de colle. Il en résulte une épais-seur variable qui pourrait affecter les mesures. Nous avons mesuré à l’aide d’une machine Litematic Mitutoyo, l’épaisseur h en fonction de la position z sur la ligne centrale des deux entretoises de verre à y = ±12 mm. La valeur moyenne de ces deux mesures donne h(z) dans le plan y = 0. Cette épaisseur n’est pas constante mais est bien représentée par une fonction linéaire de la forme h(z) = h₀ + h₁(z/a), avec h₀ = 2.056 ± 0.003 mm et h1 = 3.2 × 10−3 mm. Comme les déviations h1 sont très faibles devant h0, il est raisonnable de remplacer les termes qui apparaissent dans l’équation IV.29 sous la forme de puissance de h par leur valeur moyenne. Le premier terme qui apparait est en 1/h2 et correspond à l’intégration le long de la longueur du condensateur, en se limitant au premier terme non

nul : ¿ 1 h2 À = ¹ h2 0 · 1 + ^h 2 1 h2 0 ¸ (IV.30) Le second terme est en 1/h et traduit les effets de bords. Ce terme doit alors être remplacé par sa valeur moyenne aux deux extrémités :

1 2 µ 1 h(z = −a)⁺ 1 h(z = a) ¶ = ¹ h0 · 1 + ^h 2 1 h2 0 ¸ (IV.31) Par hasard, ces deux corrections font intervenir le même facteur de correction en h2

1/h2 0 = 2.4 × 10−6, qui est complètement négligeable.

IV.4.1.4 Dimensions du condensateur

L’ensemble des paramètres que nous utiliserons désormais pour décrire le condensa-teur sont la longueur des électrodes massives de 2a = 50.00 ± 0.1 mm, la distance h entre les deux électrodes du condensateur est donnée par h₀ = 2.056 ± 0.003 mm.