4.5 Théorie des catastrophes et catégorisation
4.5.1 La fronce et ses indicateurs de catastrophe
Largement exploitée par Zeeman (1976) qui a produit une grande quantité d appli atio s pou la atast ophe à deu pa a t es42, la fronce est certainement la plus
si ple des atast ophes ui d it la t a sitio de phase. Elle asse le d u e a i e simple et élégante, sous la fo e d u e h pe -surface dans un espace à trois dimensions, quelques-unes des caractéristiques de la dynamique non linéaire. Chaque point de cette su fa e est u poi t de l espa e des phases ui ep se te l tat sta le ui o espo d au valeurs des paramètres de contrôle. Sur la figure 20 on peut voir quatre des cinq indicateurs de catastrophe (catastrophe flag, Gilmore, 1993) : hystérèse, bistabilité, basculement et
divergence. Les deux paramètres de contrôle constituent le plan de contrôle. A partir de
chaque point du plan de contrôle on peut déterminer la ou les solutions, c'est-à-dire, le point d i te se tio e t e la d oite o thogo ale au pla de o t ôle, passa t pa le poi t de o t ôle, et la su fa e de la f o e. Ce poi t i di ue uel est l tat sta le du s st e correspondant à ces valeurs des paramètres de contrôle.
41Le pli , la f o e , la ueue d a o de , l o ili h pe oli ue , l o ili ellipti ue , le papillo et l o ili pa a oli ue
42Les deu pa a t es du od le de la f o e so t la a ia le o ale de l a glais normal variable), on t ou e aussi le te e de a ia le d as t ie et la a ia le de di e ge e splitting variable) ou encore
a ia le de ifu atio . Les te es a ia le et pa a t e so t i te ha gea les ta t ue l o este da s le contexte du modèle de la fronce.
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Figure 20 : La catastrophe de la fronce et les indicateurs de catastrophe associés. La surface de la Fronce représente l e se le des poi ts sta les e fo tio des pa a t es. Le plan de contrôle est constitué par les deux facteurs variables appelées paramètre normal et paramètre de divergence. Le plan A est la coupe constituée par les chemins 1 et et illust e le patte d h st se. Le pla B est la p oje tio de la se tio o stitu e pa les deu d oites leues et permet de visualiser graphi ue e t l effet de dive ge e : les deux droites bleues restent parallèles dans le plan de contrôle mais divergent sur la surface de la fronce. La zone 4 est la zone de bistabilité. Comme on peut le voir, le point de contrôle C1 correspond à trois points de la surface de la fronce (S2, S2 et S3). Seuls S1 et S3 sont des états stables car S2 se trouve sur la zone dite inaccessible. Le point de convergence des lignes de bifurcation sur le plan de contrôle est l o igi e du ep e et est appelé point catastrophique. C est le poi t où se p oduit la ifu atio , est-à-dire le passage d un seul à deux états stables possibles.
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Sur le plan de contrôle, on peut remarquer une zone particulière délimitée par deux courbes se rejoignant en un point du plan. Cet espace est la zone de bistabilité. Pour chaque point de cette zone (e.g. C1), il y a trois solutions, c'est-à-di e t ois poi ts d i te se tio o espo da t a e la f o e e.g. “ , “ et “ . Cela sig ifie u il a th o i ue e t t ois tats d uili e possi les pou u seul poi t de o t ôle. Deu d e t e eu so t des att a teu s, le t oisi e est u pulseu . L e se le des poi ts pulseu s su la f o e est appelé « zone inaccessible » a il est i possi le d attei d e de tels tats. Les deux courbes43 d li ita t la zo e de ista ilit fo e t l e se le des poi ts atast ophi ues, o les appelle courbes de pli ou lignes de ifu atio . E effet, est à pa ti des poi ts d li it s par cet ensemble que se produit la transition de phase.
Illust o s l effet d h st se su la f o e au t a e s d u e e ple. Lo s ue ous suivons le chemin 1, celui qui part du coin inférieur gauche pour atteindre le point inférieur droit du plan de contrôle, nous pouvons voir la trajectoire correspondante sur la fronce. Ce chemin correspond à une augmentation continue du paramètre normal et un paramètre de divergence maintenu constant. Le plan A de la figure 20 représente le plan de coupe défini pa l e se le des poi ts o espo da t au he i s et su la f o e. Au d pa t du chemin 1, le point correspondant sur la fronce se trouve dans la partie inférieure. Lorsque le chemin 1 atteint et coupe la première ligne de bifurcation, il ne se passe rien de particulier. Le système devient bistable et, du fait de l att a teu , il conserve son état. Mais lorsque le he i attei t la deu i e lig e de ifu atio , il a plus au u poi t sta le da s le voisinage du précédent. La surface de la fronce marque à cet endroit un pli. Poursuivre sur la surface signifierait revenir en arrière pour le paramètre de contrôle. Or, comme son nom l i di ue, est le pa a t e de o t ôle ui d te i e les poi ts sta les et o l i e se. Il
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se produit alors un phénomène de basculement, le système se trouvant précédemment dans un état stable correspondant à la partie inférieure de la fronce et cet état stable ayant d so ais dispa u. A l helle de te ps ui o espond à la dynamique rapide du système44
, celui- i uitte l tat a t ieu et se sta ilise su le ou el tat sta le o espo da t à la partie supérieure de la fronce. Un tel état était déjà stable auparavant et même certainement plus stable45, mais suivant la convention de retard, le système se maintient sur son attracteur actuel aussi longtemps que possible. Ainsi, une petite variation du paramètre de o t ôle peut e ge d e u e i po ta te a iatio de l tat du s st e.
Si le chemin 1 correspond à une phase ascendante du paramètre de contrôle46, le chemin 2 correspond à la phase descendante. On peut voir les deux chemins sur le plan de coupe A, et notamment la partie où ils se séparent qui correspond à la zone de bistabilité. La surface totale sur le plan de coupe qui correspond à la zone de bistabilité est un ua tifi ateu de la taille de l effet d h st se. Sur les chemins 1 et 2, nous pouvons déjà oi la ista ilit , le as ule e t et l h st se. Pou oi la di e ge e, il ous faut considérer les deux lignes bleues parallèles sur le plan de contrôle. Alors que la distance entre ces deux lignes reste constante sur le plan de contrôle, leurs projections sur la fronce divergent. On peut voir clairement cette divergence sur le plan de projection B. Ainsi, à partir de la seule représentation graphique de la fronce, on peut représe te auta t d i fo atio , là où, avec la fonction de potentiel, il aurait fallu deux graphes séparés. Malgré tout, un des indicateurs de atast ophe apparaît pas sur la fronce : le ralentissement critique.
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En comparaison avec la dynamique lente des paramètres de contrôle 45 Au regard de la profondeur du puits de potentiel correspondant
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Figure 21 : Fonctions de potentiel associées aux points du plan de contrôle de la fronce
Pour compléter la description du modèle de la fronce, la figure 21 représente l e se le des fo tio s de pote tiels asso i es à ha ue poi t du pla de o t ôle. O peut o state ue l olutio de la fonction traduit les deux tendances déjà illustrées dans la figure 19.