L p versus L p

angulaire, mais n’est pas une norme. Nous allons pallier ce défaut en définissant des cousins des espaces L^p, les espaces L^p; la définition est conceptuellement compliquée, mais concrètement facile à maîtriser.

Ces espaces sont des espaces normés par} }L^p (inégalité de Minkowski, théo-rème10.25) et complets (théorème de Fatou10.27).

L’autre notion importante de ce chapitre est celle d’exposé conjugué: si1ĺpĺ 8, leconjuguédepest le nombre1ĺqĺ 8défini par

1 p` 1

q “1.

L’inégalité de Hölder(théorème10.17) affirme que, sif P L^p etg P L^q, avecp etqconjugués, alorsf gest intégrable et

ˇ ˇ ˇ ˇ ż

f g ˇ ˇ ˇ ˇĺ

ż

|f g| ĺ }f}L^p}g}L^q.

L’inégalité de Cauchy-Schwarzs’obtient en prenantp“q “2dans l’inégalité de Hölder.

Dans la section10.4, nous énonçons lethéorème de représentation de Riesz10.30, qui de manière informelle montre que l’inégalité de Hölder est la seule inégalité possible dans les espacesL^p avec1ĺpă 8.

Dans tout le chapitre, pX,T, µq est un espace mesuré fixé. f, g, etc. : X Ñ R sont des fonctions mesurables. Même sans mention explicite, la mesurabilité des fonctions concernées est assumée dans chaque énoncé. Le p. p. est relatif à la mesureµ.

Compétences minimales attendues.

a) Comprendre la différence entreL^p etL^p. b) Comprendre la définition deL⁸.

c) Savoir montrer qu’un objet est bien défini pour une classef PL^p. d) Savoir utiliser les inégalités de Hölder et Minkowski.

e) Savoir utiliser le théorème de Fatou et son corollaire.

˛

10.1 L

^p

versus L

^p

Dans cette section, nous définissons lesespaces de LebesgueL^petL^pet donnons quelques éléments pour comprendre les règles de calcul dansL^p.

184

Petru Mironescu Mesure et intégration

10.1 Définition(Espaces de LebesgueL^p).

a) Si1ĺpă 8, }f}_L^p :“

ˆż

|f|^p

˙1{p

“ ˆż

X

|f|^pdµ

˙1{p

. b) Sip“ 8,

}f}_L⁸ :“esssup|f|:“mintM P R;|fpxq| ĺM p. p.u.

c) L^p “L^ppX, µq:“ tf :X ÑR; }f}L^p ă 8u.

10.2 Définition(Espaces de LebesgueL^p).

a) L^p “ L^ppX, µq :“ L^p{ „. Ici,„est l’équivalence f „ g si et seulement si f “gp. p.

b) Sif PL^p, alors nous posons}f}_L^p :“ }g}_L^p, oùgest une fonction arbitraire de la classe d’équivalence définissantf.

10.3 Remarque.

a) La définition}f}L^p :“ }g}_L^p est correcte, au sens où}g}_L^p ne dépend pas du choix de g dans la classe de f, mais ceci demande une preuve ; voir l’exercice 4.21b). En particulier, ceci implique que, sigPL^peth„g, alorshPL^p.

b) Voici une conséquence de l’item a). Nous pouvons définir de la même manière}f}_L^p, 1 ĺ p ĺ 8, sif est une classe d’équivalence detg : X Ñ R;gmesurableupour„.

Nous avons alors la définition équivalente deL^p:

L^p :“ tf;fest une classe d’équivalence telle que}f}L^pă 8u. ˛ 10.4 Notation. Par abus de notation, et bien qu’un élément deL^psoit une classe d’équi-valence et non pas une fonction, nous écrivons

}f}L^p “ ˆż

|f|^pdµ

˙_1{p

, si1ĺpă 8.

Le sens de cette égalité est que pour tout représentantgdef, l’égalité précédente est vraie si nous remplaçons à droitef parg.

Abus de notation analogue dansL⁸. ˛

Nous continuons par deux remarques essentielles pour comprendre, d’une part, le sens des énoncés concernant les espacesL^p, d’autre part, la façon de défi-nir les opérations dans les espacesL^p.

EspacesL^p 10.1L^pversusL^p

10.5 Remarque. Lorsqu’il s’agit d’une propriété des espaces L^p, la première question à se poser est si sa preuve (qui fait intervenir des fonctions, et non pas des classes) est indépendante du choix de la fonction dans la classe d’équi-valence.

Illustration pour l’inégalité de Cauchy-Schwarz (théorème10.17avecp“ q“2). Pour prouver cette inégalité, nous allons montrer que

ż

|f₁g₁| ĺ ˆż

|f₁|²

˙1{2ˆż

|g₁|²

˙1{2

, @f₁, g₁ :X ÑR. (10.1) En prenant, dans (10.1), f1 dans la classe de f et g1 dans la classe de g, nous obtenons

ż

|f₁g₁| ĺ }f}L²}g}L².

Pour conclure, il suffit de montrer que f₁g₁ est dans la classe def g; or, ceci découle de l’exercice10.10b).

10.6 Remarque.

a) Si1ĺpă 8etf PL^p, alors la proposition6.23(appliquée à|f|^p) et la remarque6.22 montrent qu’il existe, dans la classe d’équivalence def, une fonctiongfiniepartout.

b) Si f P L⁸, soit A :“ tx P X;|fpxq| ą esssupfu. Alors A P T est négligeable, d’oùg “f χA^c est dans la classe def. Notons quegest, par construction, bornée, en particulier finiepartout.

c) Ainsi, lorsque nous travaillons avec une classef deL^p, nous pouvons toujours consi-dérer un représentant finipartout(et, sip“ 8, borné).

d) En particulier, si f, g P L^p alors nous pouvons définir la classe f `g comme celle de f1 `g1, avecf1 (respectivement g1) dans la classe de f (respectivementg) finie partout. Dans l’esprit de la remarque10.5, nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la classef `gobtenue ne dépend pas du choix def₁etg₁. ˛ La remarque suivante montre que l’espaceL^ppX, µqn’est pas, dans un sens à préciser, plus riche que l’espaceL^ppX, µq.

10.7 Remarque. Nous pouvons identifier de manière naturelle les classes d’équivalence des fonctions T-mesurables etT-mesurables. En effet, soit f1 : X Ñ Rune fonction T-mesurable. Alors (proposition4.19a)) il existe une fonctionT-mesurableg₁ :XÑR telle quef1“g1 µ-p. p. (ou, ce qui est équivalent, telle quef1“g1µ-p. p.).

Notons : f la classe de f₁ par rapport à pX,T, µq, g la classe de g₁ par rapport à pX,T, µq,Gla classe deg₁ par rapport àpX,T, µq. Par choix deg₁, nous avonsf “ g.

Par ailleurs, nous avonsGĂg(vérifier). L’applicationf ÞÑGest bien définie et bijective, de réciproqueGÞÑg(vérifier).

186

Petru Mironescu Mesure et intégration

Cette identification naturelle s’étend aux espaces L^p : si f₁ P L^ppX, µq, alors les classes respectives satisfontf PL^ppX, µqetGPL^ppX, µq, ce qui donne une bijection na-turelle,f ÞÑG, entreL^ppX, µqetL^ppX, µq. Cette bijection préserve la norme :}f}_L^p_pX,µq“ }G}_L^p_pX,µq(vérifier).

En particulier, nous pouvons identifierL^ppRⁿ, λnqàL^ppRⁿ, νnq. ˛

Exercices

Cet exercice donne quelques propriétés simples de} }L^p. L’item d) est particu-lièrement important de point de vue théorique.

10.8 Exercice.

a) }tf}L^p “ |t| }f}L^p,@tPR,@f :XÑR(avec la convention0¨ 8 “0).

b) Sif “gp. p., alors}f ´g}L^p “0et}f}L^p “ }g}L^p. c) }f}L^p “0si et seulement sif “0p. p.

d) La définition de}f}L⁸ est correcte, au sens suivant. SoitA :“ tM P r0,8s;|fpxq| ĺ M p. p.u. Montrer queAest non vide et a un plus petit élément,m. Cetmest le plus petit nombreCder0,8savec la propriété|fpxq| ĺCp. p., et doncm“ }f}L⁸. e) }f `g}L<sup>p</sup> ĺ }f}L<sup>p</sup>` }g}L^ppourp“1etp“ 8. (Ici,f, g:XÑR.) ˛

La définition de } }L⁸ est assez absconse. L’exercice suivant donne un cas où }f}L⁸ “sup|f|.

10.9 Exercice. SoitU un ouvert deRⁿ, muni de la mesure de Lebesgue surBU. Sif P CpUq, montrer que}f}L⁸ “sup

U

|f|. ˛

L’exercice suivant montre que la relation „« commute » avec les opérations sur les fonctions.

10.10 Exercice. SoitpX,T, µq un espace mesuré. Nous considérons des fonctionsf, g : X Ñ R(pas nécessairement mesurables). Montrer que la relation d’équivalence «f „g si et seulement sif “gp. p. » a les propriétés suivantes.

a) Sif „f₁etg„g₁, alorsf`t g „f<sub>1</sub>`t g₁,@tPR(à condition que les fonctions soient finies en tout point).

b) Sif „f₁ etg„g₁, alorsf g „f₁g₁.

c) Sif „get siΦ :RÑR, alorsΦ˝f „Φ˝g.

d) Dans cette question,X:“Rⁿetµ:“λ_n. Soitτ_hfpxq:“fpx´hq,@x, hPRⁿ. Sif „g,

alorsτ_hf „τ_hg,@h. ˛

Dans le même esprit, nous mentionnons la propriété suivante, utilisée dans la définition du produit de convolution (dans le chapitre11).

EspacesL^p 10.1L^pversusL^p

10.11 Exercice. Nous munissonsRⁿde la mesure de Lebesgue. Soientf, g, f₁, g₁ :Rⁿ Ñ R, avecf „f1etg„g1. SoitxPRⁿ. Montrer queh„h1, où

hpyq “fpx´yqgpyq, h₁pyq “f₁px´yqg₁pyq, @yPRⁿ. ˛ L’exercice suivant introduit des espacestrès importants, lesespaces`^p.

10.12 Exercice(Espaces`^p).

a) Siµest la mesure de comptage, alors l’égalité p. p. équivaut à l’égalité. Ainsi, nous pouvons identifier naturellementL^petL^p.

SiX“Nmuni de la mesure de comptage surPpNq, alors nous définissons

`<sup>p</sup> “`^ppNq:“L^p “L^p, @1ĺpĺ 8.^†

b) Sipa_nqnest une suite indexée surnPN, montrer que }panqn}`^p “

#` ř

n|a_n|^p˘_1{p

, si1ĺpă 8 sup_n|a_n|, sip“ 8 .

c) Montrer que si1 ĺ p₁ ĺ p₂ ĺ 8, alors`<sup>1</sup> Ă `^p1 Ă `<sup>p2</sup> Ă `⁸. De plus, ces inclusions sont « continues » : si1ĺpĺr ĺ 8, alors}panqn}`<sup>r</sup> ĺ }panqn}`^p.

d) Soitpa_nqnP`<sup>p</sup>, avecpă 8. Montrer que pour toutrąpnous avonslim<sub>sÑr</sub>}pa<sub>n</sub>qn}`^s “ }pa_nqn}`^r.

e) Si1ĺră 8etpanqnest une suite arbitraire, alorslim_sŒr}panqn}`<sup>s</sup> “ }panqn}`^r. ˛ Cet exercice est une suite « concrète » de la remarque « abstraite »10.7.

10.13 Exercice.

a) Nous travaillons danspRⁿ,Ln, λ_nq. Montrer que toute classe d’équivalence contient un représentant borélien.

b) Même propriété si à la place deRⁿnous considérons une partie borélienne deRⁿ.

c) Généralisation ? ˛

Un autre exercicefondamental. Nous le commenterons à sa fin.

10.14 Exercice. Nous supposonsµfinie.

a) Montrer que si1ĺp1 ĺp2 ĺ 8, alorsL⁸ ĂL^p2 ĂL^p1 ĂL¹.

b) Soitf PL^p, avecpą1. Montrer que pour tout1ĺr ă pnous avonslim_sÑr}f}L^s “

}f}L^r. ˛

†. Nous définissons de même`^ppAq, avecAa. p. d.

188

Petru Mironescu Mesure et intégration

10.15 Remarque(Inclusions entre les espaces L^p). En général, il n’y a pas de relation d’inclusion entreL^petL^q, avecp‰q: nous n’avons pasL^p ĂL^q.

Il existe deuxexceptions notables.

a) Si1ĺp₁ ĺp₂ ĺ 8, alors`<sup>1</sup> Ă`^p1 Ă`<sup>p2</sup> Ă`⁸. Les espaces`^pcroissent avecp.

b) Siµest finie et1ĺp₁ ĺp₂ ĺ 8, alorsL¹ ĄL^p1 ĄL^p2 ĄL⁸. Siµest finie, les espacesL^pdécroissent avecp.

Pour l’item a), voir l’exercice10.12c) ; pour l’item b), l’exercice10.14a).

Dans le document Mesure et Intégration (Page 184-189)