Le cadre général est celui d’un espace mesurépX,T , µq. Toutes les fonctions de cette partie sontmesurables.
Grâce au théorème de convergence monotone, nous pouvons (enfin !) montrer lalinéarité de l’intégrale.
6.28 Proposition. Sif,g ont une intégrale,λ P R, et si les sommesf `λget ż
f `λ ż
g sont bien définies, alors f `λg a une intégrale et ż
En particulier, si l’une des fonctions f, g prend uniquement des valeurs finies, sif est intégrable etg a une intégrale (ou l’inverse), alors
ż
6.29 Remarque. Expliquons les hypothèses de la proposition.
f`λgbien définie si et seulement si il n’existe pas de pointxPXtel quefpxq “ ˘8 etλgpxq “ ´fpxq. En particulier, cette hypothèse est satisfaite sif (oug) est finie en tout point.
Si f etg ont une intégrale, alors ż
f `λ ż
g est bien définie si et seulement si nous n’avons pas en même temps
ż
f “ ˘8etλ ż
g “ ´ ż
f. En particulier, cette hypothèse
est satisfaite sif (oug) est intégrable. ˛
Le résultat suivant donne plusieurs formes de l’inégalité triangulaire, qui dans le cas des intégrales prend la forme
ˇ
a) Sif a une intégrale, alors ˇ
Avant d’énoncer la très utile inégalité de Markov, introduisons une notation pratique.
Intégrale 6.5 Conséquences du théorème de convergence monotone
6.31 Notation. L’ensemble des points x satisfaisant une propriété Ppxq sera noté rPs.
Exemples :
rf ľ0s:“ txPX;fpxq ľ0u, r|f| ąts:“ txPX;|fpxq| ątu,
rf PAs:“ txPX;fpxq PAu, rf ĺts:“ txPX;fpxq ĺtu, etc. ˛ 6.32 Proposition(Inégalité de Markov). † Sitą0, alors
µpr|f| ątsq ĺ 1
La proposition6.33est une variante du résultat suivant, bien connu :
„
Le résultat suivant permet de permuter série et intégrale.
6.34 Théorème(Intégrale d’une série). Sifn,n ľ0, sont positives, alors ż ÿ
Les résultats suivants sont des variantes de larelation de Chasles żb
Le lien de la proposition6.35b) avec la relation de Chasles pourra être compris une fois établis les résultats de la section6.6.
†. Dans la littérature anglophone, connue plutôt comme l’inégalité de Tchebychev.
‡. Rappelons que les fonctionsfn sont implicitement supposées mesurables. Pas la fonction f :“ř
nfn. Le théorème affirme donc : quef est mesurable, quefa une intégrale, que chaquefn
a une intégrale, et que l’égalité (6.15) est vraie.
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Petru Mironescu Mesure et intégration
6.35 Proposition. On suppose quef :X ÑRa une intégrale.
a) SiAPT , alorsf|Aa une intégrale.
Le théorème de la suite croissante pour les ensembles s’accompagne du théo-rème de la suite décroissante (voir la proposition 4.2). Voici le compagnon dé-croissant du théorème de convergence monotone 6.25 (qui, rappelons-le, porte sur une suite croissante).
6.36 Exercice(Théorème de convergence décroissante). SoitpX,T, µqun espace mesuré.
Soitpfnqnune suite de fonctions mesurables et positives surXtelle quefnŒf. a) Si
f0 “ 8, alors nous n’avons pas nécessairement ż
fnÑ ż
f. ˛
Voici un exercice facile une fois montrée la proposition 6.28. Il est instructif d’essayer de le prouver (même pourn“2) sans faire appel à cette proposition.
6.37 Exercice. Soitfune fonction étagée, de représentationf “řn
i“1aiχAi. SiµpAiq ă 8 pour touti, alorsf a une intégrale et dans ce cas nous avons
ż L’exercice suivant est fondamental en théorie des probabilités. C’est une consé-quence facile de la proposition6.35.
6.38 Exercice(Mesure à densité). SoitpX,T, µqun espace mesuré. Soitf :X Ñ r0,8s
fexiste, d’après l’item a). Entre autres, l’item b) affirme que la somme
f existe. Remarque analogue concernant l’item c).
Intégrale 6.5 Conséquences du théorème de convergence monotone
Montrer queνest une mesure surT. ˛
6.39 Définition(Mesure à densité). La mesureνdéfinie par (6.16) est une mesure
à densitéf par rapport àµ. ˛
Démonstrations
Là où cela n’est pas fait, vérifier, grâce aux outils des sections3.2et3.3, la me-surabilité de toutes les fonctions qui interviennent dans les preuves qui suivent.
Démonstration de la proposition6.28. Prenonsλ“ 1. Le cas oùλest quelconque s’obtient en combinant le casλ“1avec la proposition6.12(vérifier).
Commençons par le casf, gľ0. Soientpfnqn,pgnqndeux suites de fonctions étagées positives telles que fn Õ f et gn Õ g. Alorsfn `gn Õ f `g et donc (en utilisant la proposition6.4b) et le corollaire6.20)
ż
Dans le cas général, nous avons
pf `gq`´ pf`gq´“f`g“f`´f´`g`´g´,
gont un sens, alors ż
pf `gq`´ ż
pf `gq´a un sens (vérifier, en examinant par exemple le cas où
ż
Il est important de retenir le principe de la preuve de la proposition6.28, que nous résumons dans la remarque suivante.
104
Petru Mironescu Mesure et intégration
6.40 Remarque. Pour montrer une propriété des fonctions intégrables (ou qui ont une intégrale)f,g, etc. :
1. Nous commençons par les fonctions positivesf˘,g˘, etc.
2. Les hypothèses sur f, g, etc., permettent de retrancher les formules obte-nues.
3. Si nécessaire, pour montrer, dans le cas des fonctions positives, les proprié-tés demandées, il faut commencer par considérer des fonctions étagées et de passer à la limite en utilisant le théorème de convergence monotone ou sa conséquence, le corollaire6.26.
4. Dans le cas des fonctions étagées, les propriétés demandées sont évidentes ou relativement simples à montrer.
Ainsi, ce schéma permet de ramener la preuve au cas plus facile des fonctions étagées positiveset de lacompléter de manière automatiqueen utilisant les étapes 1–3.
Démonstration de la proposition6.30.
a) découle, via la proposition6.28, de ˇ
Démonstration de la proposition6.33. Montrons d’abord que c) implique a) et b).
« c)ùña) ». Il suffit de prendreg:“0eth:“f.
Intégrale 6.5 Conséquences du théorème de convergence monotone
En combinant (6.19) avec la proposition6.28, nous obtenons ż
prh´rgq “0. (6.20)
Posons k :“ rh´ rg ľ 0. L’inégalité de Markov (6.13) combinée avec (6.20) donne µprk ątsq “ 0,@t ą0. SoitD:“ rk ‰0s P T. CommeD “ Ynrką2´ns(justifier), nous obtenonsµpDq “0(justifier).
Enfin, notons que, surXzpCYDq, nous avonsg“rg“rh“h(vérifier). CommeCYD est négligeable (justifier), nous obtenons queg“hp. p. CQFD
Démonstration du théorème6.34. Posonsgn :“f0`f1`. . .`fn ľ0. Nous avons0 ĺgn Õ ř
nfn, d’oùř
nfnest mesurable. Par convergence monotone, nous trouvons ż
Démonstration de la proposition6.35. f ayant une intégrale, nous avons soit ż
f` ă 8, soit ż
f´ă 8. Supposons, par exemple, que ż
f a un sens (justifier).
b) Nous avonspfAq˘` pfBq˘“f˘, d’où (justifier)
nous obtenons la conclusion en retranchant les deux égalités ainsi obtenues.
c) Il suffit de prouver l’égalité pour f˘ à la place def (justifier) ; ainsi, nous pouvons supposerf ľ0.
Posons Bn :“ A0\A1\. . .\An. Alors Bn Õ X, Bn P T et0 ĺ fBn Õ f. Nous trouvons (justifier, en particulier en utilisant le théorème de convergence monotone 6.25)
d) C’est compris dans le calcul précédent. CQFD
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