Inégalité de Hölder

Cette section est dédiée à la preuve de l’inégalité de Hölder et à deux de ses

« réciproques » qui montrent que cette inégalité ne peut être améliorée. La pre-mière « réciproque », la proposition 10.18, servira dans la preuve de l’inégalité de Minkowski dans la section 10.3; elle intervient dans de nombreuses preuves

« par dualité » en analyse fonctionnelle. La deuxième « réciproque », la proposi-tion10.19, intervient également dans des preuves d’analyse plus avancée, comme celle du théorème d’interpolation de Riesz-Thorin.

Commençons par une définition essentielle dans ce contexte.

10.16 Définition(Exposants conjugués). Les nombresp, q P r1,8ssont conju-gués(ouexposants conjugués) si et seulement si 1

p `1

q “1.^{† ‡}

10.17 Théorème(Inégalité de Hölder). Sip,qsont conjugués, alors

}f g}L¹ ĺ }f}L^p}g}L^q, @f, g(inégalité de Hölder). (10.2) En particulier, nous avons

}f g}_L¹ ĺ }f}L²}g}_L², @f, g(inégalité de Cauchy-Schwarz). (10.3) Les inégalités s’entendent pour des fonctions ou pour des classes d’équi-valence.

10.18 Proposition(Formule de dualitéL^p–L^q(I)). Soientp, qexposants conjugués.

†. Notons que nous ne pouvons pas avoir en même tempsp“ 8etq“ 8. Si, par exemple, pă 8, alorsq“p{pp´1q. Si nous avons en même tempsqă 8, alors, par symétrie,p“q{pq´1q.

‡. qest désigné comme le conjugué dep(et réciproquement).

EspacesL^p 10.2 Inégalité de Hölder

a) Si1ĺpă 8, alors nous avons }f}L^p “sup

"ż

f g; g PL^q, }g}_L^q ĺ1

*

, @f P L^p. (10.4)

De plus, nous pouvons remplacer dans (10.4) le sup par max et considérer uniquement des fonctionsg telles quef g ľ0.

b) Siµestσ-finie, alors l’égalité (10.4) reste vraie pourp“ 8. ˛ 10.19 Proposition (Formule de dualité L^p–L^q (II)). Soient p, q exposants conju-gués.

Soitf :XÑRtelle quef gsoit intégrable pour toutg P L^q. a) Sip“1, alorsf PL¹.

b) Siµestσ-finie et1ăpĺ 8, alorsf P L^p.

En particulier, sous ces hypothèses nous avons (10.4). ˛ Exercices

L’inégalité suivante, classique, sert dans la preuve de l’inégalité de Hölder.

Elle généralise l’inégalité élémentairea²`b² ľ2ab.

10.20 Exercice(Inégalité de Young). Soient1 ă p, q ă 8exposants conjugués. Montrer que

a bĺ a^p p `b^q

q , @a, bP r0,8r. (10.5)

Indication. Étudier, pourbfixé, la fonctionaÞÑ a^p p `b^q

q ´ab. ˛

L’inégalité de Hölder a des variantes à plus de deux facteurs.

10.21 Exercice. Soient1ĺp₂, . . . , p_k ĺ 8tels queř_k

j“11{p_j “1. Montrer que

}f1f2. . . fk}_L¹ ĺ }f1}L^p1}f2}L^p2 . . .}fk}L^pk, @f1, f2, . . . , fk:XÑR. ˛ Nous savons déjà que, siµestfinie, alors L^r Ă L^p sip ăr. L’exercice qui suit donne permet d’estimer^†}f}L^pen fonction de}f}L^r.

10.22 Exercice. Nous supposonsµfinie. Si1ĺpĺr ĺ 8, alors }f}L^p ĺ pµpXqq^1{p´1{r}f}L^r, @f.

Ceci implique en particulier la conclusion de l’exercice10.14a). ˛

†. Estimer: donner un ordre de grandeur. En analyse, le sens est plutôt :majorer.

190

Petru Mironescu Mesure et intégration

L’inégalité qui suit est un exemple simple d’inégalité d’interpolation.^† 10.23 Exercice. Soient1ĺp₀ăpăp₁ ĺ 8.

a) Montrer qu’il existe un uniqueθPs0,1rtel que1 p “ θ

p₀ `q´θ p₁ .

b) Montrer que}f}L^p ĺ }f}^θ_L^p0}f}^1´θ_L^p1,@f. ˛ Démonstrations

Démonstration du théorème10.17. Il suffit de travailler avec des fonctions (voir la remarque 10.5).

Sip“1etq “ 8, nous devons montrer que ż

|f g| ĺesssup|g|

ż

|f|,

qui est vraie (vérifier). Argument similaire sip“ 8etq“1.

Supposons maintenant que 1 ă p, q ă 8. Nous pouvons aussi supposer que 0 ă }f}L^p ă 8et0ă }g}L^q ă 8(justifier). Dans ce cas, nous avons|f| ă 8p. p. et|g| ă 8p.

p. (justifier) et donc nous pouvons travailler avec des fonctions finies en tout point (voir aussi la remarque6.22). Pour de telles fonctions et pour A Ps0,8r, l’inégalité de Young donne

|fpxqgpxq| “ rA|fpxq|s rA^´1|gpxq|s ĺ A^p|fpxq|^p

p `|gpxq|^q

A^qq , @xPX. (10.6) En intégrant (10.6), nous obtenons

ż

|f g| ĺ A^p

p }f}^p_Lp` 1

A^qq}g}^q_Lq. (10.7)

En choisissant, dans (10.7), la valeur deAqui minimise le membre de droite de (10.7), à savoir

A“ }g}^q{pp`qq_Lq

}f}^p{pp`qq_Lp

,^‡

nous obtenons (10.2) (vérifier). CQFD

Démonstration de la proposition10.18. Il suffit de travailler avec des fonctions deL^p au lieu de classes deL^p(justifier).

L’inégalité de Hölder implique «ĺ» dans (10.4). Il suffit donc d’établir «ľ».

†. Du verbeinterpoler, utilisé enphilologie: « introduire un texte dans une œuvre à laquelle il n’appartient pas ». Enmathématiques, l’un des sens est : « intercaler des valeurs ou des termes in-termédiaires dans une série de valeurs ou de termes connus ». En analyse, l’interpolation consiste à estimer (donc majorer) des valeurs d’une fonction entre deux valeurs connues. Dans notre cas, nousconnaissons}f}L^p0 et}f}L^p1, et nousestimons}f}L^p.

‡. Faire une étude de fonction pour justifier ce choix deA.

EspacesL^p 10.2 Inégalité de Hölder X_nq (vérifier). Par théorème de la suite croissante, pournsuffisamment grand nous avonsµpAXXnq ą0. Pour un teln, posonsgn:“hn{µpAXXnq, de sorte que}gn}_L¹ “

Nous concluons en faisantεÑ0dans (10.8). CQFD

La preuve de la proposition10.19repose sur le résultat auxiliaire suivant.

10.24 Lemme. Soient1ăp, q ă 8exposants conjugués.

Soitpa_kqkune suite de nombres réels positifs telle queř

kpa_kq^p “ 8.

Alors il existe une suitepα_kqkde nombres réels positifs telle queř

kpα_kq^q ă 8

Ainsi, le lemme10.24prouve (par contraposition) la proposition10.19dans le cas de la mesure de comptage surN.

Démonstration du lemme10.24. Soient0“k1 ăk2ă ¨ ¨ ¨ tels que

†. Rappelons la définition de la fonction « signe » : sgnptq “

$

Petru Mironescu Mesure et intégration

(justifier l’existence desk_j). Le choix α_k :“ pa_kq^p´1

jpS_jq^p´1, @j ľ1, @k_j ĺkăk_j`1´1,

donne une suitepαkqkavec les propriétés désirées. En effet, nous avons ÿ

Démonstration de la proposition10.19. Il suffit de travailler avec des fonctions mesurables au lieu de classes d’équivalence (justifier).

a) Soitg:“sgnf PL⁸. Nous avons ż

|f| “ ż

f g ă 8, et doncf PL¹.

b) Supposons, par l’absurde, que f R L^p. Pour un tel f, nous allons construire une fonction g P L^q telle que f g ľ 0 et

ż

f g “ 8– ce qui constitue la contradiction recherchée.

Étape 1. Construction degsi1ăp ă 8etµest finie.SoitB :“ tx PX;|fpxq| “ 8u. Si µpBq ą0, alorsg :“sgnf χB convient. Ainsi, nous pouvons supposer queµpBq “0, ce qui revient à|f| ă 8p. p. Nous pouvons donc supposerf finiepartout(justifier).

SoitkPZ. PosonsA_k:“ txPX; 2^k ĺ |fpxq| ă2^k`1u, de sorte que lesA_ksont d. d. d.

De (10.10), nous avons soit

8 exami-nons le premier cas ; l’autre est similaire. Nous supposons donc

8

EspacesL^p 10.2 Inégalité de Hölder

Le lemme10.24combiné avec (10.11) montre que l’on peut trouverαktels que ÿ8

Pour de telsα_k,ga toutes les propriétés désirées.

Étape 2. Construction degsi1ăpă 8etµestσ-finie.SoitpY_nqnĂT une suite d. d. d.

telle queX “ \nYnetµpYnq ă 8,@n. Notonsfnla restriction def àYn, de sorte que fnest mesurable et

ÿ

0 a les propriétés souhaitées.

Nous pouvons donc supposer que ż Nous définissonsg:“ř

nα_ng_nχ_An avecα_n ľ0à déterminer de sorte queg PL^qet ż

f g “ 8. Comme dans l’étape 1, ces propriétés sont vraies si nous choisissons (via le lemme10.24), desαntels queř convient (vérifier). L’étape 3 est donc complétée siµpBq ą0.

Ainsi, nous pouvons supposer queµpBq “ 0, d’où|f| ă 8p. p. Posons A_j “ tx P X;j ĺ |fpxq| ă j`1u, @j P N^˚. Notons que les A_j sont d. d. d. Commef R L⁸, il existe une infinité de j tels que µpAjq ą 0 (justifier). Soient 1 ĺ j1 ă j2 ă ¨ ¨ ¨ ă j_k ă ¨ ¨ ¨ tels queµpAj_kq ą 0, @k ľ 1. Soit f_k la restriction def àAj_k, de sorte que

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Petru Mironescu Mesure et intégration

f_k PL⁸pA_jkq. De la preuve de la proposition10.18b), il existeg_kPL¹pA_jkqtelle que }gk}_L¹_pAjkq“1,fkgkľ0et

ż

A_jk

fkgkľ p1{2q }fk}L⁸pAkqľ p1{2qjkľ p1{2qk.

Si nous posonsg:“ř

kľ1p1{k²qg_kχ_Ajk, alors par calcul direct}g}_L1 “ř

kľ1p1{k²q ă 8(d’oùgPL¹) et

ż f g ľ

ÿ

kľ1

p1{2kq²}f_k}L⁸ ľ ÿ

kľ1

j_k 2k² ľ

ÿ

kľ1

Dans le document Mesure et Intégration (Page 189-195)