Classes particulières de mesures

Démonstrations

Démonstration de la proposition4.19. Nous considérons uniquement le cas des fonctions à va-leurs dansR. L’autre cas est similaire.

Commençons par établir une propriété des fonctionsT-étagées. Soitf une fonction T-étagée. Doncf “ ř

na_nχ_An, avecA_n PT,a_n PR, la somme comportant un nombre fini de termes.

SoitB_nĂA_n,B_nPT, tel queA_nzB_nsoitµ-négligeable (justifier l’existence deB_nen utilisant la proposition4.11). Avecg :“ř

na_nχ_Bn, nous avonsf ´g “ ř

na_nχ_AnzBn. Il s’ensuit quef “gen dehors de l’ensembleYnpAnzBnq, qui estµ-négligeable (vérifier).

Conclusion : donnée une fonctionf T-étagée, il existe une fonctionT-étagéegtelle quef “gen dehors d’un ensembleµ-négligeableC.

a) «ùñ» Soitf_nune suite de fonctionsT-étagées telle quef_nÑf. Soientg_nT-étagées etCnµ-négligeables tels quefn“gnen dehors deCn.

En dehors de l’ensembleµ-négligeableYnC_n, nous avonsg_n“f_nÑf. En définissant

A:“ txPX; pg_npxqq_na une limite dansRu

et g :“ χAlimngn, nous avons que g est T-mesurable (voir la proposition 3.34) et g“fen dehors de l’ensembleµ-négligeableYnCn.

«ðù» SoitCun ensembleµ-négligeable tel quef “gen dehors deC. Alors g^´1p8qzCĂf^´1p8q Ăg^´1p8q YC,

ce qui montre quef^´1p8q PT “T.

De même,f^´1p´8q PT etf^´1pBq PT siB PBR(vérifier). DoncfestT-mesurable (théorème3.5).

b) Nous avons (via l’exercice4.21)f T-mesurableðñ DhT-mesurable telle quef “h µ-p. p.ðñ DhT-mesurable telle queg“h µ-p. p.ðñgT-mesurable. CQFD

4.4 Classes particulières de mesures

Dans cette section, nous introduisons les principales classes de mesures : fi-nies, σ-finies,boréliennes, de Radon, et donnons quelques-unes de leurs propriétés fondamentales.

4.22 Définition. Une mesureµdéfinie sur un clan (ou tribu)C est : a) finiesiµpXq ă 8(et alorsµpAq ă 8pour toutAPC).

b) σ-finies’il existe une suitepA_nqnľ0 ĂC telle que : i) X “ Ynľ0A_n.

60

Petru Mironescu Mesure et intégration

ii) µpA_nq ă 8,@n.

c) de probabilité(ou probabilité tout court) siµpXq “1.

Les mesuresσ-finies joueront un rôle important entre autres dans le chapitre 8(mesures produit et leur utilisation). Une première illustration de leur utilité est le résultat suivant d’unicité.

4.23 Proposition. SoientC un clan dansXetµ₁,µ₂deux mesures surT pCq. Si : i) µ1pAq “µ2pAqpour toutAPC.

ii) Il existe une suitepA_nqnľ0 ĂC telle queµ₁pA_nq ă 8,@n, etYnľ0A_n “X,

alorsµ₁ “µ₂. ˛

4.24 Définition. SoitpX, dqest un espace métrique.

a) Une mesureborélienneest une mesureµ:BX Ñ r0,8ssur les boréliens de X.

b) Une mesurede Radon dansRⁿ est une mesure borélienne µdansRⁿ telle queµpKq ă 8,@Kcompact.

Même définition pour une mesure surX, avecX ĂRⁿouvert ou fermé.

Si une mesure est à la fois borélienne et a des propriétés de finitude (voir les hypothèses du théorème 4.25), alors nous disposons de formules « explicites » pour calculer la mesure d’un borélien. Ceci est expliqué dans le résultat suivant, dont à la fois l’énoncé et la preuve sont relativement complexes.

4.25 Théorème. SoientpX, dqun espace métrique etµune mesure borélienne sur X.

a) Siµest finie, alors

µpAq “ suptµpFq; F fermé etF ĂAu

“inftµpUq; U ouvert etU ĄAu, @AP BX, (4.2) µpAq “ suptµpFq; F fermé etF ĂAu

“inftµpUq; U ouvert etU ĄAu, @AP BX. (4.3) b) Siµestσ-finie, alors

µpAq “ suptµpFq; F fermé etF ĂAu, @AP BX, (4.4) µpAq “ suptµpFq; F fermé etF ĂAu, @AP BX. (4.5) c) S’il existe une suitepU_nqnľ0 d’ouverts deX telle queX “ Ynľ0U_net µpU_nq ă

8,@n, alors nous avons (4.2)–(4.3).

Mesures 4.4 Classes particulières de mesures

d) S’il existe une suite pK_nqnľ0 de compacts telle queX “ Ynľ0K_n et une suite pU_nqnľ0 d’ouverts deX telle queX “ Ynľ0U_netµpU_nq ă 8,@n, alors

µpAq “ suptµpKq; K compact etK ĂAu

“inftµpUq; U ouvert etU ĄAu, @AP BX, (4.6) µpAq “ suptµpKq; K compact etK ĂAu

“inftµpUq; U ouvert etU ĄAu, @AP BX. ˛ (4.7) Un cas particulier important du théorème4.25est celui des mesures de Radon dansRⁿ; il s’applique en particulier à la mesure de Lebesgueν_n.

4.26 Corollaire. Siµest une mesurede Radon dansRⁿ, alors µpAq “ suptµpKq; K compact etK ĂAu

“inftµpUq;U ouvert etU ĄAu, @APBRⁿ, (4.8) µpAq “ suptµpKq; K compact etK ĂAu

“inftµpUq;U ouvert etU ĄAu, @APB_Rⁿ. (4.9) Énoncé analogue si nous remplaçonsRⁿpar un ouvert deRⁿ.

Une conséquence immédiate du théorème4.25est le résultat suivant d’unicité.

4.27 Corollaire. Siµ₁, µ₂sont deux mesures de Radon dansRⁿtelles queµ₁pKq “ µ2pKqpour tout compactK ĂRⁿ, alorsµ1 “µ2.

Énoncé analogue si nous remplaçonsRⁿpar un ouvert deRⁿ. ˛ Exercices

4.28 Exercice. Siµestσ-finie, alorsXest une union a. p. d. d’ensembles d. d. d. de mesure

finie. ˛

4.29 Exercice. La mesure de comptage surNn’est pas finie, mais estσ-finie. ˛ L’exercice suivant permet de mettre en place un raisonnement du type : « si une propriété P est vraie pour les mesures finies, alors elle l’est pour les mesures σ-finies ».

4.30 Exercice(Une mesureσ-finie est limite de mesures finies). Soitµune mesureσ-finie sur la tribu T deX. Soit pX_nqnľ0 Ă T avecµpX_nq ă 8, @n et X “ YnX_n. Posons µ_npAq:“µpAX pX₁Y. . .YX_nqq,@APT. Alors :

a)µnest une mesure finie,@n.

b)µnÕµ(c’est-à-direµnpAq ÕµpAq,@APT). ˛

62

Petru Mironescu Mesure et intégration

L’exercice qui suit sera utilisé dans la preuve du théorème4.25.

4.31 Exercice. SoitpX, dqun espace métrique. SoitFun fermé deX. Soit Un:“ txPX;dpx, Fq ă1{nu, @nPN^˚.

AlorsU_nest un ouvert etU_nŒF. ˛

Démonstrations

Démonstration de la proposition4.23. SoitpA_nqnľ0ĂC telle queµ₁pA_nq ă 8,@n, etYnľ0A_n“ X. En remplaçant si nécessaire lesA_nparB_n :“A₀Y. . .YA_n, nous pouvons supposer queAnÕX.

Dans un premier temps, réduisons le problème au cas des mesures finies.

Comme dans l’exercice4.30, posonsµⁿ_jpAq:“µjpAXAnq,APTpCq,j“1,2,nPN.

Pour toutnPN,µⁿ₁ etµⁿ₂ vérifient les hypothèses i) et ii) de la proposition4.23(justifier) et, de plus,µⁿ₁ etµⁿ₂ sont finies (vérifier). Supposons montrée l’égalitéµⁿ₁ “µⁿ₂. Grâce au théorème de la suite croissante, nous obtenonsµj “limnµⁿ_j,j “ 1,2(justifier), et donc µ₁ “µ₂.

Ainsi, pour conclure il suffit de montrer queµ1 “ µ2 sous l’hypothèse i), si,de plus, µ₁, µ₂sont finies.

Soientµ1,µ2 deux mesuresfiniessurC, vérifiant i). Soit U :“ tAPTpCq; µ₁pAq “µ₂pAqu.

Nous avons C Ă U. Pour conclure, il suffit de montrer queU est une classe mo-notone (et d’invoquer le théorème de la classe momo-notone). Ceci résulte en appliquant à µ_j, j “ 1,2, le théorème de la suite croissante, respectivement le théorème de la suite décroissante. (Vérifier l’application de ces deux théorèmes, notamment dans le cas de la

suite décroissante). CQFD

Démonstration du théorème4.25.

a) Posons, pourAĂX,

µ^fpAq:“suptµpFq;F fermé etF ĂAu “suptµpFq;F fermé etF ĂAu, µ^opAq:“inftµpUq;U ouvert etU ĄAu “inftµpUq;U ouvert etU ĄAu.

Nous avons (vérifier)

µ^fpAq ĺµpAq ĺµ^opAq, @APBX, et en particulier

µ^fpAq ĺµpAq ĺµ^opAq,@APBX. (4.10) Nous devons montrer que (*)µpAq “µ^fpAq “µ^opAq,@A PBX et en particulier (**) µpAq “µ^fpAq “µ^opAq,@APBX. Il suffit en fait de montrer (**). En effet, admettons

Mesures 4.4 Classes particulières de mesures

(**). Donné A P BX, soientB_A, C_A P BX tels queB_A Ă A Ă C_A etµpC_AzB_Aq “ 0 (d’oùµpBAq “µpCAq “µpAq). Grâce à (**) (supposée vraie), nous avons

µpAq ľµ^fpAq ľµ^fpBAq “µpBAq “µpAq, µpAq ĺµ^opAq ĺµ^opC_Aq “µpC_Aq “µpAq, ce qui implique (*).

Il reste donc à montrer (**). Soit U :“ tA P BX;(**) est vraieu. Pour établir (**), il suffit de montrer queU est une tribu contenant les fermés (vérifier).

L’axiome i) de la tribu est clair (justifier). Vérifions l’axiome ii). Pour commencer, no-tons que, siAPBX, alors (justifier chaque égalité)

µ^fpA^cq “suptµpFq;Ffermé etF ĂA^cu

“suptµpU^cq;U ouvert etU^cĂA^cu

“suptµpU^cq;U ouvert etU ĄAu

“suptµpXq ´µpUq;U ouvert etU ĄAu

“µpXq ´inftµpUq;U ouvert etU ĄAu “µpXq ´µ^opAq, et, de même,µ^opA^cq “µpXq ´µ^fpAq.

Il s’ensuit que, siAPU, alors

µ^fpA^cq “µpXq ´µ^opAq “µpXq ´µpAq “µpA^cq,

et de mêmeµ^opA^cq “µpA^cq, d’oùA^cPU. L’axiome ii) d’une tribu est vérifié pourU. Soit maintenant une suitepAnqnľ1ĂU. Soitεą0. CommeAnPU, il existe un fermé Fn,εet un ouvertUn,εavec

Fn,εĂAnĂUn,ε, µpFn,εq ąµpAnq ´ε{2<sup>n`1</sup>etµpUn,εq ăµpAnq `ε{2^n`1, d’où

µpAnzFn,εq ăε{2^{n`1</sup>etµpUn,εzAnq ăε{2<sup>n`1}.

PosonsU^ε :“ Ynľ1Un,ε(qui est un ouvert) etF^N,ε“ Y^N_n“1Fn,ε(qui est un fermé pour toutN). Nous avons

µ^opYnAnq ĺµpU^εq “µpU^εz YnAnq `µpYnAnq

“µppYnUn,εqzpYnAnqq `µpYnAnq ĺµpY<sub>n</sub>pU<sub>n,ε</sub>zA<sub>n</sub>qq `µpY_nA_nq ĺ

ÿ

nľ1

µpUn,εzAnq `µpYnAnq ăε`µpYnAnq;

(4.11)

au passage, nous avons utilisé l’inclusion (à justifier) pYiPIBiq z pYiPICiq Ă YiPIpBizCiq.

64

Petru Mironescu Mesure et intégration

En faisant ε Ñ 0dans (4.11) et en utilisant (4.10), nous obtenons (***) µ^opYnA_nq “ µpYnAnq.

De manière analogue au calcul précédent, nous avonsµppY^N_n“1A_nqzF^N,εq ăε, ce qui implique

µ^fpYnAnq ľµpF^N,εq “µpY^N_n“1Anq ´µppY^N_n“1AnqzF^N,εq

ąµpY^N_n“1Anq ´ε, @N PN^˚,@εą0. (4.12) En faisant, dans (4.12), d’abordεÑ0, puisN Ñ 8, nous obtenons, grâce au théorème de la suite croissante, µ^fpYnAnq ľ µpYnAnq. En utilisant (4.10), nous concluons à l’égalité (****)µ^fpYnAnq “µpYnAnq.

De (***) et (****), nous déduisons que U vérifie l’axiome iii) d’une tribu, De ce qui précède,U est une tribu.

Pour compléter a), il reste à montrer que les fermés sont dansU. Soit F un fermé.

Nous avonsµ^fpFq ľµpFq, d’oùµ^fpFq “µpFq.

Par ailleurs, soitpUnqnla suite de l’exercice4.31. Nous avonsµ^opFq ĺµpUnq,@n, d’où µ^opFq ĺ limµnpUnq “ µpFq(carµest finie, ce qui nous permet d’utiliser le théorème de la suite décroissante).

b) Comme expliqué au point précédent, il suffit de montrer queµ^fpAq ľµpAq,@APBX. SoitpAnqnľ0 ĂBX avecYnľ0 An “XetµpAnq ă 8,@n. Quitte à remplacerAnpar B_n:“A₁Y. . .YA_n, nous pouvons supposer queA_nÕX.

PosonsµnpAq:“µpAXAnq,@APBX,@n. La mesureµnest finie (vérifier) etµnpAq Õ µpAq,@APBX (théorème de la suite croissante). Grâce au point a), nous avons

µ^fpAq ľµ^f_npAq “µ_npAq, @APBX,@nPN^˚. (4.13) En faisantnÑ 8dans (4.13), nous obtenonsµ^fpAq ľµpAq, comme désiré.

c) µétantσ-finie, nous avons la conclusion du b). Il suffit donc de montrer queµ^opAq ĺ µpAq,@APBX. Quitte à remplacerU_nparV_n:“U₁Y. . .YU_n, nous pouvons supposer queUnÕX.

Posonsµ_npAq :“µpAXU_nq,@n, qui est une mesure finie. PosonsW₁ :“U₁ et, pour n ľ2,W_n :“U_nzU_n´1, de sorte que lesW_nsont d. d. d.,X “ \nľ0W_netW_n ĂU_n,

@n.

SoitAPBX. SoitA_n:“AXW_n,@n. LesA_nsont d. d. d. etA“ \nľ0A_n. Par ailleurs, nous avonsAnĂUn, d’oùµnpAnq “µpAnq. Il s’ensuit queµpAq “ř

nµnpAnq.

Soitε ą 0. De a), il existe un ouvertV_n,ε tel que V_n,ε Ą A_n etµ_npV_n,εq ă µ_npA_nq ` ε{2<sup>n`1</sup>. L’ensembleWn,ε :“ Vn,εXUnest un ouvert contenant An. Par ailleurs nous avonsµ_npV_n,εq “µpW_n,εq.

Finalement, nous avons µ^opAq ĺµpY_nW_n,εq ĺ

ÿ

n

µpW_n,εq ĺ ÿ

nľ0

pµ_npA_nq `ε{2<sup>n`1</sup>q

“µpAq `ε,@εą0.

(4.14)

Nous concluons en faisantεÑ0dans (4.14).

Dans le document Mesure et Intégration (Page 60-66)