Jeux tests

et´e inclus dans cette cat´egorie), 44 descripteurs constitutifs (majoritairement des comp-teurs d’atomes et de liaisons) et 50 descripcomp-teurs topologiques.

2.4 Jeux tests

Pour effectuer notre analyse des m´ethodes de s´election par diversit´e, nous avons construit 6 jeux diff´erents : 3 jeux de 40 000 mol´ecules et 3 jeux issus de ces derniers dont on a ex-trait les outliers. Pour cela, 3 tirages al´eatoires sans remise ont ´et´e effectu´es dans la base totale des 4 millions de compos´es pour obtenir les jeux distincts J1, J3 et J5. Ensuite les singletons (mol´ecules seules dans leur groupe) d´etect´es par les m´ethodes de s´election par diversit´e (cf. Chapitre 4) sont consid´er´es comme outliers et retir´es des jeux J1, J3 et J5

Jeux Nombre de Compos´es % Drug-like

J1 40 000 90.19

J2 39286 90.75

J3 40 000 90. 78

J4 39293 91.35

J5 40 000 90.48

J6 39279 90.92

Table 2.4: Description des jeux de test

pour obtenir respectivement les jeux J2, J4 et J6. Nous testerons ainsi la robustesse des m´ethodes de s´election. En effet nous pourrons v´erifier si les r´esultats des m´ethodes suivent les mˆemes tendances quelque soit le jeu de donn´ees et qu’il comporte ou non des outliers.

Le tableau 2.4 donne le nombre de compos´es par jeu et le pourcentage de structures drug-like pour chacun des jeux. Comme on peut s’y attendre le retrait des outliers donne des jeux (J2, J4 et J6) avec l´eg`erement plus de produits drug-like que les jeux avec outliers.

Cependant cette diff´erence est faible et il subsite encore des produits non drug-like dans les jeux sans outliers.

Ensuite, afin de d´eterminer si nos jeux de donn´ees sons homog`enement r´epartis dans l’espace des descriptions, nous pouvons les projeter dans un espace `a deux dimensions.Pour cela une ACP a ´et´e r´ealis´ee sur les jeux J1, J3 et J5. Nous avons ainsi obtenu trois espaces de projection en deux dimensions diff´erents. Les jeux J2, J4 et J6 sont respectivement projet´es dans les espaces obtenus pour J1, J3 et J5 (cf. Figure 2.4 et Figure 2.3). Le pourcentage de variabilit´e des jeux de d´eparts expliqu´e par les deux premi`eres composantes des 3 ACP

´equivaut `a un peu plus de 40%. Nous pouvons constater pour chaque jeu avec outliers (J1, J3 et J5) qu’il existe une zone dans l’espace tr`es dens´ement peupl´ee et des zones peu ou pas couvertes par les mol´ecules. Malgr´e une perte d’informations due `a la r´eduction de dimensions, lorsque deux mol´ecules sont ´eloign´ees dans l’espace r´eduit, elles ont de fortes chances de l’ˆetre ´egalement dans l’espace complet. Nous pouvons donc dire que les jeux avec outliers sont dispers´es de fa¸con non homog`ene dans l’espace des descriptions. Nous verrons par la suite (cf. Chapitre 4), que cette information est utile pour l’interpr´etation des r´esultats de s´election par diversit´e. Enfin il semble que le retrait d’outliers que nous avons choisi ait l’effet escompt´e puisque dans cette projection, les jeux sans outliers sont plus concentr´es dans l’espace que les jeux avec outliers.

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(a) JEU5 (avec outliers) (b) JEU6 (sans outliers)

Figure2.3: Projection des jeux 5 et 6 dans un espace obtenu par ACP sur J5

(c) JEU3 (avec outliers) (d) JEU4 (sans outliers)

Figure2.4: Projection des jeux 1 et 2 et 3 et 4 dans des espaces obtenus respectivement par ACP sur J1 et sur J3

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S´ election par diversit´ e : Formalisation

3.1 Notre objectif

On poss`ede un ensemble Mde n mol´ecules (objets, observations, individus, points) :

M={m_i}_i=1...n. On d´efinit l’espace des descriptions comme l’ensemble des descriptions des

mol´ecules que l’on peut faire avec des variables (ou attributs). En chemoinformatique l’es-pace des descriptions est l’esl’es-pace multi-dimensionnel engendr´e par les descripteurs. Celui-ci contient l’ensemble des descripteurs mol´eculaires (physico-chimiques, topologiques, spa-ciaux...) qui sont des variables d´ecrivant la constitution, la conformation et les propri´et´es de chacun de nos objets.

L’espace des descripteurs est donc d´efini par un ensembleVde p variables :V={v_i}_i=1...p tel que vj(mi) d´esigne la valeur de la mol´ecule mi ∈ M pour la variablevj ∈ V. Chaque objetm_iest donc un vecteur soit de r´eels et d’entiers soit de binaires `a p dimensions (selon le type de descripteurs utilis´es, cf. chapitre sur la description des donn´ees).

On souhaite trouver une sous-population C^∗ ⊂ M constitu´ee de k objets : C^∗ = {c^∗_l}_l=1...k (o`u chaque objet est toujours un vecteur de r´eels ou binaires `a p dimensions), refl´etant la diversit´e de M.

Consid´erant l’ensembleMde mol´ecules et l’espace de descriptions qui les caract´erise, on peut d´efinir un ensemble de mol´ecules comme divers s’il correspond `a un ensemble de re-pr´esentants de toutes les descriptions possibles dans cet espace. Extraire un sous-ensemble C<sup>∗</sup> ⊂ Mde Mdivers revient donc `a trouver un bon repr´esentant pour chaque mol´ecule de M.

La difficult´e r´eside alors dans le choix de ces repr´esentants. Souhaitant obtenir une sous-population de taille k, s´electionner de bons repr´esentants de l’ensemble M revient

`

a partitionner l’espace des descriptions de M de mani`ere homog`ene en k parties. Puis un repr´esentant est s´electionn´e dans chacune d’elle. On souhaite que la partition soit un ensemble de parts Ci tels qu’il existe un rayon tel que l’ensemble M soit inclus dans l’union des sph`eres de centre ci et de rayon . L’intersection des psh`eres doit ˆetre vide.

On minimise alors le rayon de telle sorte que chaque centre soit un bon repr´esentant des mol´ecules incluses dans la sph`ere concern´ee. C’est `a dire que les mol´ecules contenues dans une sph`ere doivent toutes ˆetre le plus similaire possible `a leur centre.

3.1.1 D´efinition formelle de la s´election par diversit´e

Rappelons que l’on d´efinit une partition comme un ensemble de parties C_l de M: D´efinition 3.1 Une partition C ={C_l}_l=1...k de M est telle que :

Cl⊂ M ∀Cl∈ C S

l=1..kC_l=M.

et C_l 6=∅

C_lest appel´e cluster ou sous-groupe. On rappelle (cf. d´efinition 1.6.2.1) qu’`a chaque groupe on peut associer un repr´esentant qui peut ˆetre un centro¨ıde ou un m´edo¨ıde. L’ensemble des repr´esentants de la partition C^∗ ={c^∗_l}_l=1...k (avec C^∗ ⊂ M) forme notre sous-ensemble.

Consid´erant la partition pr´ec´edemment d´efinie, on peut alors dire que le repr´esentant d’un cluster Cl sera l’objetc^∗_l ∈C^∗.

Nous notons l’ensemble des objets d’un cluster ainsi : C_l = {m^l_i}_i=1...|Cl| et la distance calcul´ee entre l’objetm^l_i et l’objet m^l_j :d(m^l_i, m^l_j).

D´efinition 3.2 Lerayon relatifd’un cluster not´eρ(Cl|m^l_j), est le rayon de la plus petite sph`ere centr´ee sur m^l_j ∈C_l contenant tous les objets du cluster C_l :

ρ(Cl|m^l_j) = M ax

i=1...|C_l|d(m^l_i, m^l_j)

D´efinition 3.3 Le rayon absolu d’un clusternot´e ρ(Cl) est le rayon de la plus petite sph`ere centr´ee sur un objet de C_l contenant tous les objets du cluster C_l :

ρ(C_l) = M in

Le point c^l_j choisi comme repr´esentant du clusterC_l est celui qui minimise ρ(C_l) soit c^l_j =ArgM in

j=1...|C_l|

i=1...|CM axl| d(m^l_i, m^l_j)

Si plusieurs points r´ealisent ce minimum, on en choisit un au hasard.

D´efinition 3.4 Lerayon absolu de la partition C est alors le rayon de la plus grande sph`ere de cette partition :

ρ(C) = M ax

l=1...k ρ(Cl)

Enfin comme nous l’avons dit pr´ec´edemment, chaque partition de k groupes peut ˆetre associ´ee `a un ensemble de k points repr´esentatifs des groupes. On d´efinit alors la partition associ´ee `a cet ensemble de repr´esentants not´e C^∗ ={c^∗_l}_l=1...k.

D´efinition 3.5 Lapartition associ´ee `a un ensemble de k pointsC ={C_l}_l=1...k est d´efinie par :

Cl ={m_i|d(m_i, c^∗_l)≤d(mi, c^∗_j) ∀ i6=l et ∀ j6=l}

En cas d’´egalit´e (c’est `a dire s’il existe deux affectations possibles), on prend l’un des deux centres au hasard.

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S´election d’un sous-ensemble divers Sachant calculer le rayon absolu d’une parti-tion, s´electionner un sous-ensemble divers de taille k revient donc `a trouver l’ensemble C^∗ ={c^∗_l}_l=1...k satisfaisant l’argument suivant :

O`u C est la partition associ´ee `a l’ensemble C^∗. Nous rappelons que ArgMin (argument minimum) d’une fonction (ici ρ(C)) repr´esente la valeur de la variable pour laquelle la fonction concern´ee atteint son minimum.

Il s’agit donc de trouver le sous-ensemble de mol´ecules qui minimise le rayon maximum obtenu pour la partition correspondante. Ainsi en minimisant le rayon de la plus grande sph`ere, on esp`ere tendre vers un ensemble de sph`eres de taille (rayon) homog`ene. On esp`ere ainsi que les repr´esentants de ces sph`eres soient homog`enement r´epartis dans l’espace de descriptions deMet ainsi que notre sous-ensemble soit repr´esentatif de la diversit´e deM.

Nous avons trouv´e plusieurs probl`emes proches de celui qu’on souhaite r´esoudre : – les techniques de clustering par partitionnement

– les techniques de location/allocation

Parmi les probl`emes de clustering par partitionnement il existek-means et k-medo¨ıds qui est une variante de k-means. Nous avons ´egalement trouv´e k-median (´egalement appel´e p-median) et k-center (aussi not´ep-center) qui sont des probl`emes dit location/allocation optimisant deux crit`eres diff´erents (respectivement MinSum et MinMax). Ces deux der-niers ne sont pas des probl`emes de clustering mais permettent de trouver une partition d’un ensemble d’objets via le jeu de repr´esentants qu’ils fournissent. Enfin le probl`eme de clusteringk-means peut ˆetre vu comme un crit`ere `a optimiser qui permet d’obtenir un en-semble de groupes optimaux. On retrouve ainsi pour les 3 probl`emes (k-means,k-median, k-center) des crit`eres diff´erents `a optimiser que nous pr´esentons par la suite.