Inversion des paramètres de propagation

Pour savoir avec quelle précision le milieu de propagation peut être retrouvé à partir de l’ensemble des détections que nous avons obtenu par la décomposition temps-fréquence-nombre d’onde des sismogrammes, nous faisons l’hypothèse de diffraction simple (Aki, 1969). Nous considérerons que l’ensemble des phases diffractées, contenues dans les sismogrammes ne résultent que d’un trajet simple entre la source, une des trois hétérogénéités du milieu et l’antenne sismologique. Avec cette hypothèse, nous sommes capables de relier chacune de nos détections à un point diffractant et de localiser la position du point diffractant. Ce dernier se situe sur une ellipse dont les foyers sont respectivement la source sismique et l’antenne d’observation. Les caractéristiques de cette ellipse sont entièrement déterminées par la vitesse de propagation du milieu et le temps qui s’est écoulé depuis le temps origine de la perturbation sismique. Au fur et à mesure que le temps s’écoule, l’ellipse s’élargit et des points diffractants de plus en plus lointains ont pu participer à la génération du champ d’onde diffracté. La Fig. 3-11 illustre la méthode pour un milieu où la vitesse de propagation est de 1000 m/s. Le lieu des points géographiques potentiellement atteints par le champ d’onde incident est représenté pour des temps successivement égaux à 3sec. (ellipse bleue) et 5sec. (ellipse verte). L’étoile noire représente la position de la source et le point noir celle de l’antenne. On a également représenté deux trajets possibles et quelconques du champ d’onde pour les deux instants 3sec. et 5sec.

Fig. 3-11 : Lieu des points géographiques où sont localisés les points diffractants que peut atteindre le champ d’onde primaire après un temps de propagation T=3sec. (en bleu) et T=5sec. (en vert). Deux trajets quelconques du champ d’onde sont représentés.

Dans le problème que nous avons à résoudre, nous connaissons d’une part le temps d’arrivée de chacune des détections et d’autre part la vitesse de propagation à travers l’antenne des phases relatives à chacune de ces détections (dans notre cas, la vitesse apparente obtenue par l’analyse en nombre d’onde est aussi la vitesse réelle de propagation du champ d’onde dans le milieu puisque ce dernier est plan). La vitesse de propagation obtenue par l’analyse en antenne est celle avec laquelle les ondes diffractées se propagent depuis chaque diffracteur jusqu’à l’antenne. La vitesse de propagation du champ d’onde primaire, depuis la source jusqu’aux diffracteurs, égale toujours 4km/s, puisque uniquement des ondes du type P sont présentes.

Nous sommes donc en mesure de déterminer l’ensemble des points diffractants potentiellement responsable de chacune des détections, autrement dit de construire les ellipses relatives à chaque détection. Chaque ellipse est définie par un ensemble infini de points. Cependant, nous connaissons également la direction de propagation selon laquelle se propage chacune des phases diffractées par les différentes hétérogénéités. L’ensemble de points qui était infini se restreint donc à un seul point diffractant, parfaitement localisé dans l’espace.

Nous avons localisé les points diffractants correspondant à l’ensemble des détections précédemment obtenues par l’analyse temps-fréquence-nombre d’onde. Les résultats sont présentés sur la Fig. 3-12. On a simultanément tenu compte des composantes NS et EO. Nous n’avons pas directement représenté la position des points diffractants mais l’énergie globalement associée à chacun des points localisés. Le milieu de propagation théorique a été superposé à nos résultats.

Fig. 3-12 : Reconstruction des différentes zones hétérogènes du milieu de propagation à partir des détections obtenues lors de l’analyse temps-fréquence-nombre d’onde. Le milieu de propagation reconstruit est superposé au milieu de propagation théorique. L’antenne se situe dans position 1.

La position de la source est correctement retrouvée, ainsi que la présence des trois diffracteurs. On retrouve également un résultat mis en évidence par ailleurs lors de l’analyse temps-fréquence-nombre d’onde qui est que l’hétérogénéité qui diffracte le maximum d’énergie est l’hétérogénéité 3.

On observe cependant de légers biais dans la localisation de l’énergie. Ces écarts, entre la localisation des diffracteurs à partir des détections et leurs localisations réelles, sont de deux types :

q on a des écarts dans la direction orthogonale à celle qui lie les diffracteurs à l’antenne. Ces écarts

viennent principalement des biais qui existent dans la détermination des directions de propagation lors de la décomposition en nombre d’onde. Ces biais sont généralement induits par le fait que plusieurs composantes se propagent simultanément à travers l’antenne. C’est par exemple le cas pour le diffracteur 1 du milieu de propagation, où on observe un biais de 7° vers le nord dans la localisation de sa position, ou le diffracteur 2 où une partie de l’énergie est également mal localisée. Par contre, lorsqu’une phase est seule présente, (c’est la cas avant 11sec., où seul le champ d’onde primaire se propage à travers l’antenne), aucun biais n’est observé par rapport à la localisation théorique.

q on a des écarts de localisation dans la même direction que celle qui lie les diffracteurs à l’antenne.

Ces écarts peuvent avoir plusieurs origines :

(1) chacune des phases qui se propagent à travers l’antenne a une durée fixe, qui ne se réduit pas à une seule détection temporelle. Cette durée a pour conséquence un allongement spatial dans la localisation de l’énergie lors de l’inversion des différentes détections. Par exemple, la localisation étendue de la source sismique autour de sa position théorique (étoile noire, Fig. 3-12) est induite sa durée temporelle (0.2sec.).

(2) dans certain cas, le champ d’onde diffracté par les différentes hétérogénéités ne se traduit pas par une seule phase qui est une réplique plus ou moins réfléchie de la source mais par la présence d’une coda, caractérisée par une certaine durée. C’est cette durée qui peut être à l’origine d’un allongement de l’énergie dans la même direction que celle qui lie les diffracteurs à l’antenne. Si l’ensemble de la coda est caractérisée par des paramètres de propagation stables, l’ensemble des points diffractants se localisent suivant la direction qui relie l’antenne à l’hétérogénéité, sur des ellipses de plus en plus larges. De tels allongements sont observés dans la localisation des hétérogénéités 2 et 3, dans la direction opposée à celle qui lie les diffracteurs à l’antenne.

(3) les diffractions multiples ont été négligées, et l’hypothèse d’une diffraction simple a été faite dans le modèle d’inversion de l’ensemble des détections. Ainsi, l’analyse des composantes NS a montré qu’entre 15 et 17sec., de l’énergie de propage à travers l’antenne dans la direction de l’hétérogénéité 1. Comme il a déjà été discuté, il est fort probable que cette énergie soit le résultat d’artefacts de calcul lors de la simulation numérique des signaux synthétiques. Une autre interprétation possible de ces détections est qu’elles soient le résultat de diffractions multiples. L’énergie diffractée par l’hétérogénéité 3 est renvoyée dans la direction de l’hétérogénéité 1, qui a son tour peut renvoyer de l’énergie dans la direction de l’antenne. Ce processus de diffractions multiples permettrait d’expliquer les arrivées tardives d’énergie, liées à la diffraction par l’hétérogénéité 1.

(3) la propagation de composantes multiples à travers l’antenne peut conduire à une mauvaise estimation des vitesses de propagation. Cependant, nous avons également montré que ce type de détections sont généralement caractérisées par une énergie très faible, et ne contribuent donc que très peu au bilan énergétique ainsi qu’à la localisation spatiale des points de diffraction les plus énergétiques.

3.2.5. Conclusions

Les résultats obtenus sur ce premier cas synthétique :

- valident l’analyse temps-fréquence-nombre d’onde que nous avons développé dans le chapitre II. Les principales directions de propagation ainsi que les vitesses du milieu sont correctement retrouvées.

- montrent la difficulté à caractériser le champ d’onde dès lors que plusieurs phases se propagent simultanément à travers l’antenne. L’algorithme MUSIC a l’avantage de permettre une meilleure séparation des composantes multiples qui interagissent dans les mêmes fenêtres temporelles et aux mêmes fréquences. Nous avons montré comment les paramètres de propagation varient avec le nombre de vecteurs propres utilisés pour caractériser le sous-espace ‘signal’. Nous avons également montré que chercher à caractériser plus d’une phase, dans une fenêtre temporelle donnée pouvait introduire un biais dans l’estimation des paramètres de propagation. Nous montrons ainsi l’utilité d’un critère de vérification a posteriori de la pertinence de ces paramètres.

Le critère de reconstruction du maximum d’énergie a été adopté pour nous guider dans la caractérisation du sous-espace ‘signal’ et dans le nombre de phases que nous pouvons prétendre analyser dans une même fenêtre temporelle et pour une fréquence donnée.

- montrent que la direction de propagation la plus énergétique du sismogramme n’est pas corrélée à celle de la source. Ce résultat a déjà été mis en évidence par ailleurs sur l’analyse de données réelles, comme par exemple sur les données enregistrées lors de l’expérience de Caille (Tressols, 1996) ou celles enregistrées lors de l’expérience d’Annot (voir chapitre IV).

- montrent comment les détections obtenues par notre analyse se traduisent lorsque l’on cherche à retrouver le milieu de propagation. En utilisant une technique simple de reconstruction du milieu, nous avons été capables de localiser la position des différentes hétérogénéités présentes dans le milieu de propagation, ainsi que celle de la source sismique. Des biais sont cependant présents dans la localisation spatiale de l’énergie. Ces biais sont en partie le résultat d’interférences lorsque plusieurs phases se propagent simultanément à travers l’antenne. Les délocalisations d’énergie peuvent également être expliquées par la coda générée par chacun des diffracteurs, coda due aux interactions complexes qui existent entre le champ d’onde primaire et les différentes hétérogénéités. Enfin, les processus de diffractions multiples n’ont pas été

pris en compte dans la reconstruction du milieu de propagation et peuvent également conduire à une délocalisation de l’énergie.