Discussions et Conclusions

Nous avons détaillé différentes façons d’accéder à la répartition énergétique d’un signal en fonction du temps et de la fréquence. De cette synthèse, il est important de noter qu’il n’a pas été mis en avant une décomposition ‘magique’ qui ne posséderait que des avantages sans qu’aucun inconvénient n’ait été détecté. Si les temps de calculs que nous consacrons à nos traitements n’étaient pas un obstacle, chacune des décompositions temps-fréquence présentées ci-dessus devraient être calculées à chaque fois que nous cherchons à caractériser un signal. Les informations apportées par chacune des décompositions en terme d’identification et de séparation des différentes phases ainsi qu’en terme d’estimation de leur contenu fréquentiel devraient être mises en commun de manière à profiter des avantages offerts par chacune des décompositions.

Ici, nous choisirons une décomposition particulière qui nous semble être la plus adaptée à nos besoins. Il faut alors commencer par clairement les définir.

q 1er objectif : nous attendons d’une décomposition temps-fréquence d’être capable de séparer des

phases sismiques qui interférent à des temps de propagation proches.

q 2ème objectif : nous attendons également de cette décomposition d’identifier, avec précision, la

fréquence dominante de chacune de ces phases.

Contrairement aux décompositions atomiques du signal, les distributions d’énergie et plus particulièrement la distribution de Wigner-Ville ne nécessite pas d’hypothèse de stationnarité locale sur le signal. D’autre part, il a été montré pour cette distribution que l’encombrement temps-fréquence gouverné par l’inégalité de Heisenberg-Gabor était deux fois moins grand que l’encombrement minimum du Spectrogramme (Flandrin, 1998 ; Claasen et al., 1984). Cependant, il est clair que cette distribution n’est pas directement applicable à nos signaux dans son état originel. Les sismogrammes que nous cherchons à décrire sont justement caractérisés par une grande complexité et la présence d’un

grand nombre de composantes ondulatoires. La présence massive des termes d’interférences dès que plus d’une phase compose le signal rend une interprétation directe difficile. Des versions lissées de la distribution de Wigner-Ville, en temps ou en fréquence, permettent alors d’atténuer ces termes mais il faut accepter de perdre en résolution de localisation de l’énergie. La pseudo-distribution de Wigner- Ville lissée, qui utilise un lissage séparé, en temps et en fréquence, permet alors de rendre indépendant la résolution temporelle et fréquentielle, au détriment de la perte d’un certain nombre de propriétés théoriques qui rendaient la distribution de Wigner-Ville si attrayante. D’autre part, tout lissage efficace nécessite d’avoir une bonne connaissance de la structure des termes d’interférences de manière à introduire des lissages assez forts, capables de réduire suffisamment ces termes, et à être certain de ne pas les interpréter comme du signal utile. Un a priori sur les connaissances de la géométrie des termes d’interférences doit donc être fait et le type de lissage utilisé, directement adapté à cette géométrie. D’un autre coté, un lissage aura pour effet de délocaliser fortement l’énergie, ce qui ne permettra pas de répondre à notre deuxième objectif. Nous abandonnons ainsi les distributions d’énergie pour nous concentrer sur les décompositions linéaires, même si nous savons qu’en théorie, ces dernières ont un pouvoir de résolution plus faible.

La transformée de Fourier à court-terme, et donc le Spectrogramme, présentent l’avantage d’être très simples à mettre en œuvre. L’utilisation d’une fenêtre d’observation à court-terme nécessite cependant qu’une hypothèse de stationnarité locale soit faite sur le signal. Les caractéristiques de cette fenêtre d’observation sont fixées au début du traitement et une même fenêtre d’analyse est donc utilisée, quel que soit le contenu fréquentiel des composantes ondulatoires en présence. Nous nous intéressons dans cette thèse aux ondes régionales dont le contenu fréquentiel peut varier entre 1 et 10Hz. Nous pensons alors que la gamme de fréquence étudiée est trop large pour pouvoir la décrire correctement en utilisant une fenêtre d’analyse dont les caractéristiques sont fixes. L’approche ‘multi- résolution’, dont le principe est d’adapter continuellement la fenêtre d’analyse aux différentes fréquences permet d’aller plus loin dans l’analyse de l’information. Une analyse en ondelettes sera plus adaptée à caractériser les non-stationnarités rapides présentes dans les signaux. D’un autre côté, nous savons que le pouvoir de résolution fréquentiel du Scalogramme diminue lorsque la fréquence augmente, ce qui réduit la capacité du Scalogramme à séparer des composantes haute fréquence ayant des temps de propagation voisins. Cependant, les phases que nous identifierons à partir de la décomposition temps-fréquence du signal seront ensuite décomposées dans l’espace des nombres d’onde. Nous verrons alors que dans cet espace, la séparation en nombre d’onde est d’autant plus facile que le contenu fréquentiel des ondes est grand. Si plusieurs ondelettes interférent à très basse fréquence et qu’elles n’ont pas été séparées par une analyse temps-fréquence, il y a peu de chances pour quelles le soient par une décomposition en nombres d’ondes.

Nous préférons donc privilégier la séparation des ondes à basse fréquence ainsi que la bonne localisation et la séparation temporelle des phases sismiques plus haute fréquence.

Notre deuxième objectif est d’estimer précisément la fréquence dominante de chacune des phases suffisamment énergétiques et identifiées dans le plan temps-fréquence. Nous avons montré que l’utilisation d’une fenêtre d’observation à court-terme induisait un étalement de l’énergie dans le plan temps-fréquence. La recherche des lignes de crêtes permet de se focaliser directement sur les zones du plan temps-fréquence les plus énergétiques sans pour autant que soit retenues celles dues à l’utilisation d’une fenêtre d’analyse à court-terme. Nous ne gagnons rien en terme de résolution mais nous gagnons énormément en terme d’extraction du signal utile.

La décomposition en lignes de crêtes répond donc à notre deuxième objectif, qui est une estimation précise de la fréquence des différentes composantes ondulatoires contenues dans le signal.

La décomposition temps-fréquence que nous utiliserons pour nos traitements sera donc celle qui présente le signal selon ses lignes de crêtes. Ces lignes de crêtes seront calculées à partir du Scalogramme, calculé dans le domaine fréquentiel.

L’algorithme permettant de retrouver les lignes de crêtes ainsi que son processus de mise en œuvre seront détaillés dans le paragraphe 2.3.1 de ce chapitre.