2.7 Détermination des AMF à partir des rayons
3.1.1 Interpolations et extrapolations verticales
Adaptation des interpolations et extrapolations au ray-tracing 81 3.1.2 Interpolations horizontales. . . 83 3.2 Détermination des dérivées spatiales de l’indice de réfraction 84
3.2.1 Dérivées verticales . . . 84 3.2.2 Dérivées horizontales . . . 85
Au chapitre 2, nous avons vu que, dans Horizon, les données météorologiques expri-mées aux points discrets du volume de travail doivent être interpolées ou extrapolées lors de l’intégration du système différentiel issu de l’équation Eikonale afin d’obtenir l’indice de réfraction et ses dérivées spatiales au point où sont calculées les approximations des dérivées premières du RK4. Ce point situé sur la trajectoire du rayon, sera appelé point courant dans la suite. L’objet de ce chapitre est de décrire la manière dont sont retrouvés l’indice de réfraction et ses dérivées dans la base géocentrique, base dans laquelle l’intégra-tion est effectuée. Nous supposerons ici connus les 8 points discrets du volume de travail, les plus proches voisins du point courant, où s’expriment les données de l’ECMWF.
Initialement,Gegout et al. [2011] effectuaient des interpolations horizontales sur une discrétisation régulière en longitude et latitude calculée à partir de la grille Gaussienne réduite avant l’intégration du système différentiel. Pendant cette thèse, un autre choix a été fait : les points de la grille Gaussienne réduite sont conservés tels quels. On s’affranchit ainsi d’une conversion entre grille Gaussienne réduite et grille régulière, lourde en temps
calcul, ainsi que des erreurs d’interpolation dues à cette conversion qui diminuent la qualité des paramètres météorologiques disponibles aux points discrets. Cependant, du fait des pas irréguliers en longitude et latitude, l’interpolation sur une grille Gaussienne réduite et la détermination des dérivées horizontales de l’indice de réfraction nécessitent de prendre quelques précautions.
Verticalement, comme les niveaux modèle ne sont constants ni en altitude ni en pres-sion (cf. section 2.2.3), il est également nécessaire de prendre quelques précautions afin d’éviter des erreurs d’interpolation. De plus, le développement d’une extrapolation des pa-ramètres météorologiques sous l’orographie est inévitable lorsque les calculs sont effectués directement à partir des niveaux modèle. En effet, l’orographie qui est la limite inférieure de l’atmosphère telle qu’elle est représentée dans l’IFS (cf. section 2.2.4), diffère de la topographie. La différence entre ces deux surfaces est en général de quelques mètres à quelques dizaines de mètres mais peut atteindre plusieurs centaines de mètres dans les ré-gions montagneuses. La couche atmosphérique située entre orographie et topographie est une couche dense de l’atmosphère terrestre qui peut contenir beaucoup d’humidité. Cette couche atmosphérique a donc un impact important sur les délais troposphériques, néces-sitant ainsi d’être prise en compte dans la modélisation des délais de manière aussi précise et réaliste que possible. Initialement, Gegout et al. [2011] effectuaient des interpolations et extrapolations exponentielles à partir des 4 profils verticaux de réfractivité entourant le point courant. Cependant, interpoler ou extrapoler la réfractivité exponentiellement en altitude est basé sur l’hypothèse que la réfractivité varie exponentiellement entre les niveaux modèle. Or, comme l’ont notéHobiger et al. [2008a], cette hypothèse pourrait ne pas être valide compte tenu du fait que la réfractivité est fonction de plusieurs paramètres météorologiques (Éq. 1.46) dont la dépendance en altitude est différente et que la réfrac-tivité n’est pas une combinaison linéaire de ces paramètres. Il semblerait donc préférable d’interpoler séparément chacun des paramètres météorologiques pour tenir compte des variations spécifiques à chacun d’eux afin de se ramener au point courant puis de calculer l’indice de réfraction du point courant avec les paramètres météorologiques interpolés.
Ainsi, ici, une nouvelle formulation continue du champ de réfractivité est proposée, basée sur la variation à l’intérieur des volumes élémentaires de la grille native de l’IFS de chacun des paramètres météorologiques conformément à leur loi physique respective en s’efforçant de rester le plus cohérent possible avec ce qui est fait dans l’IFS.
3.1 Détermination de l’indice de réfraction
Dans chacun des quatre profils verticaux entourant le point courant, les paramètres météorologiques sont interpolés ou extrapolés pour se ramener à la même coordonnée verticale que celle du point courant, puis, interpolés horizontalement pour se ramener au point courant (cf. figure 3.1). Enfin, avec ces paramètres interpolés, la réfractivité puis
Figure 3.1 – Illustration des interpolations successives des paramètres météorologiques : ver-ticales (en rouge) puis horizontales (en vert).
l’indice de réfraction de ce point sont calculés en utilisant les équations (1.43) et (1.36).
3.1.1 Interpolations et extrapolations verticales
Le travail présenté dans cette section reprend les résultats d’une publication acceptée dans le volume 142 des International Association of Geodesy Symposia Series, disponible en annexe E page241 et suivantes.
Cette section a pour vocation de présenter les interpolations et extrapolations verti-cales développées, basées sur les lois physiques de chacun des paramètres météorologiques nécessaires pour reconstruire la réfractivité précisément au point courant. De plus, afin de prendre en compte au mieux, la portion d’atmosphère comprise entre l’orographie et la surface terrestre au cours du ray-tracing, les extrapolations des paramètres physiques au-dessous de l’orographie sont également étudiées.
Dans un premier temps, nous allons décrire comment les variables météorologiques i.e. le géopotentiel, la température, l’humidité spécifique, le contenu spécifique en eau liquide et le contenu spécifique en glace, nécessaires pour calculer la réfractivité sont interpolées et extrapolées dans l’IFS [ECMWF 2013] en fonction de la pression à partir de leurs valeurs aux niveaux modèle. Puis, nous détaillerons comment adapter cette interpolation au contexte du ray-tracing.
Interpolations et extrapolations verticales faites dans l’IFS
Avant de continuer, il est important de noter que toutes les interpolations et extra-polations verticales décrites ici sont effectuées le long d’un profil vertical j de la grille Gaussienne réduite.
Le géopotentiel ΦPj,j à une pression donnée Pj située dans la couche d’atmosphère entre les niveaux modèle k et k+ 1, est obtenu à partir de sa valeur aux niveaux modèle en utilisant le profil de température de l’International Civil Aviation Organization(ICAO)
[ICAO 1993, ECMWF 2013]. La température de l’atmosphère standard ICAO TICAO
son géopotentiel ΦICAO
p sont calculés dans un premier temps à tous les niveaux modèlep. Ensuite, l’intégration de l’équilibre hydrostatique (Éq. A.43) permet d’obtenir la quantité ∆ΦICAOk,j représentant la différence entre le géopotentiel du niveau modèle k du profil vertical j et le géopotentiel de ce même niveau dans l’atmosphère standard ICAO :
∆ΦICAOk,j = k+1 X p=NL " RdTv,p,j −TpICAO ln Pp+1/2,j Pp−1/2,j # + ∆Φk,jRdTv,k,j−TkICAO(3.1) oùTv,p,j est la température virtuelle (cf. section A.4) du niveau modèlepdu profil vertical j et ∆Φk,j est donné par l’équation (A.51). En procédant de même pour le niveau modèle k+ 1, la quantité ∆ΦICAO
k+1,j est calculée. Puis, la différence ∆ΦICAO
Pj,j de géopotentiel entre atmosphère réelle et atmosphère ICAO à la pression Pj est obtenue par une interpolation linéaire en fonction du logarithme de la pression entre ∆ΦICAO
k+1,j et ∆ΦICAO
k,j . Après avoir calculé ΦICAO
Pj le géopotentiel dans l’atmosphère standard ICAO de la pressionPj et ΦICAO s,j celui à la pression de l’orographie du profil vertical j, le géopotentiel ΦPj,j à la pression Pj est donnée par :
ΦPj,j = Φs,j+ ∆ΦICAOPj,j + ΦICAOPj −ΦICAOs,j (3.2) où Φs,j est le géopotentiel de l’orographie du point j de la grille Gaussienne. Au-dessus du niveau modèle le plus haut, le géopotentiel est extrapolé avec la même procédure que ce qui est fait pour l’interpolation en posant ∆ΦICAO
Pj,j = ∆ΦICAO
1,j . En dessous de l’orographie, le géopotentiel est calculé par :
ΦPj,j = Φs,j− RdTs,j Γ · Pj Ps,j !Γ −1 (3.3) où Γ = ΛRd g0 , (3.4)
Ts,j est la température de l’orographie du point j de la grille Gaussienne
Ts,j = " 1−ΛRd g0 Ps,j PNL−1,j −1 !# ·TNL−1,j , (3.5) Λ =−0.0065 K·m−1 est le gradient constant de température de l’ICAO etg0 est la gravité standard (cf. section 2.2.1).
La température est interpolée linéairement en pression entre ses valeurs aux niveaux modèle l’entourant, ici k etk−1.
TPj,j =Tk−1,j+ Tk,j−Tk−1,j Pk,j−Pk−1,j
(Pj−Pk−1,j) avec Pk−1,j ≤Pj ≤Pk,j (3.6) Au-dessus du niveau modèle le plus haut, la température est supposée constante et égale à sa valeur au niveau modèle le plus haut T1,j. Entre le niveau modèle le plus bas et l’orographie, la température est interpolée linéairement en pression entre Ts,j et TNL,j.
En dessous de l’orographie, la température est extrapolée par un polynôme du troisième degré en fonction du logarithme de la pression (Éq. 3.7).
TPj,j = 1 + Γ ln Pj Ps,j + 1 2 Γ ln Pj Ps,j !2 +1 6 Γ ln Pj Ps,j !3 ·Ts,j (3.7) L’humidité spécifique est interpolée linéairement en pression entre ses valeurs aux niveaux modèle l’entourant, ici k etk−1.
qv,Pj,j =qv,k−1,j+qv,k,j−qv,k−1,j Pk,j−Pk−1,j
(Pj −Pk−1,j) avecPk−1,j ≤Pj ≤Pk,j (3.8) Au-dessus du niveau modèle le plus haut et en dessous du niveau modèle le plus bas, l’humidité spécifique est supposée constante et égale respectivement à qv,1,j etqv,NL,j.
Les contenus spécifiques en eau liquide et en glace sont considérés avoir le même comportement avec la pression que l’humidité spécifique [ECMWF 2013].
Adaptation des interpolations et extrapolations au ray-tracing
Dans l’IFS, les interpolations et extrapolations sont faites en coordonnées pression tandis qu’Horizon effectue ses calculs en coordonnées géocentriques. Il est donc nécessaire d’adapter les interpolations et extrapolations réalisées dans l’IFS au ray-tracing tel qu’il est fait dans Horizon. Pour cela, nous avons choisi de rester le plus proche possible de ce qui est fait dans l’IFS en interpolant les paramètres météorologiques en pression. Il faut alors convertir le rayon géocentrique en hauteur ellipsoïdale puis en géopotentiel et enfin en pression avant de pouvoir interpoler ou extrapoler verticalement la température, l’humidité spécifique, le contenu spécifique en eau liquide et le contenu spécifique en glace en fonction de la pression comme décrit dans le paragraphe précédent.
Premièrement, le géopotentiel Φ du point courant est calculé à partir de la hauteur el-lipsoïdale avec l’inverse de la fonction de conversion qui a permis d’obtenir la hauteur des niveaux modèle en fonction du géopotentiel à l’étape 2 d’Horizon (cf. sections2.3et2.5.2). Ensuite, sur chacun des quatre profils verticaux entourant le point courant, la pression correspondant à la valeur du géopotentiel du point courant est obtenue en utilisant l’in-tégration de l’équation hydrostatique. Puis toutes les coordonnées météorologiques sont ramenées, avec les équations (3.6) à (3.8), sur la surface iso-géopotentielle passant par le point courant i.e. de valeur Φ où vont pouvoir ensuite être effectuées les interpolations horizontales.
Pour un des quatre profils verticaux j entourant le point courant, la pressionPj cor-respondant à la valeur du géopotentiel du point courant sur ce profil vertical est donnée par :
Pj =Pk+1/2,jexp Φk+1/2,j−Φ RdTv,k,j
!
Figure 3.2 – Variation azimutale du délai troposphérique pour la station GPS d’Arequipa au Pérou le 1er mai 2013 à 9 h UTC en utilisant la méthode d’interpolation verticale exponentielle de Gegout et al. [2011] (à gauche) et la méthode développée dans le cadre de cette thèse (à droite).
L’équation (3.9) reste valide au-dessus du demi-niveau modèle le plus haut. Cependant, en dessous de l’orographie, elle n’est plus valide. Dans ce cas, la pression Pj est donnée par l’équation (3.10) obtenue à partir de la formule d’extrapolation du géopotentiel sous l’orographie (Éq. 3.3). Pj = 1 + Φs,j−Φ RdTs,j Γ !1 Γ Ps,j (3.10)
Pour analyser l’impact du changement d’interpolation et d’extrapolation verticales, le schéma développé ici et celui d’interpolation exponentielle deGegout et al. [2011] ont été comparés. La différence entre les deux méthodes peut être significative notamment dans les régions montagneuses où les différences entre orographie et topographie sont importantes et donc où l’extrapolation sous l’orographie joue un rôle majeur. Par exemple, à Arequipa au Pérou où la différence entre topographie et orographie est de 520 mètres, la différence en terme de délais zénithaux entre les deux méthodes est de 5 mm, ce qui représente plusieurs centimètres à basse élévation. De plus, les délais obliques à 5◦ d’élévation obtenus avec la méthode exponentielle ont une anisotropie azimutale plus importante que ceux obtenus avec la méthode développée ici comme le montre la figure 3.2. Au contraire, à Toulouse où la différence entre topographie et orographie est de 30 mètres, la différence de délais zénithaux entre les deux méthodes est inférieure à 0,1 mm et il n’y a pas de différence sur l’anisotropie azimutale des délais obliques à 5◦. Ainsi, le schéma développé ici avec ses interpolations et extrapolations basées sur les lois physiques de chacun des paramètres météorologiques pourrait contribuer à améliorer la précision des délais troposphériques, notamment dans les régions montagneuses.
Figure 3.3 – Interpolation horizontale bilinéaire sur une grille Gaussienne réduite.