3.2.1 Dérivées verticales
Dans l’IFS, les dérivées verticales, tout comme les paramètres météorologiques, sont constantes dans une maille et calculées par différences finies entre leurs valeurs aux deux nivaux modèles voisins [ECMWF 2013]. Comme la coordonnée verticale dans l’IFS est basée sur la pression, ce sont les dérivées des paramètres thermodynamiques en pression et non en altitude qui sont constantes. Ainsi, ici, comme dans l’IFS, les dérivés partielles en pression seront considérées constantes pour chacun des quatre profils verticaux entourant la maille. En chacun des huit points définissant le volume de la maille, l’indice de réfraction est tout d’abord calculé directement à partir des données fournies par l’ECMWF. Ensuite, le long de chacun des quatre profils verticaux, les dérivées en pression sont calculées par différences finies avec :
∂X ∂P ! k,j = Xk+1,j−Xk,j Pk+1,j−Pk,j (3.14) où ∂X∂P
k,j est la valeur constante de la dérivée, le long du profil vertical j entre les niveaux modèle k et k+ 1, d’une des quantités météorologiques nommée X ici pour la généricité. Pour les dérivées au-dessus et en dessous des limites de l’atmosphère telle qu’elle est modélisée dans l’IFS, les formules (3.6) à (3.8) d’extrapolation de la température, de l’humidité spécifique, du contenu spécifique en eau liquide et du contenu spécifique en glace sont dérivées analytiquement. Enfin, la dérivée de la réfractivité en fonction de la pression est interpolée horizontalement de la même manière que les quantités thermodynamiques (cf. section 3.1.2). Ceci nous permet d’obtenir la dérivée ∂N∂P au point courant.
Cependant, dans le système différentiel (2.47) intégré lors du ray-tracing, la dérivée recherchée n’est la dérivée de la réfractivité par rapport à la pression mais celle de l’indice de réfraction par rapport au rayon géocentrique r. Ainsi, de manière similaire à ce qui a été fait dans la section 2.6.4 en approximant les variations infinitésimales du rayon géocentrique par celles de la hauteur ellipsoïdale, on considère ici que :
∂n ∂r ≈ ∂n
De plus, en différenciant l’équation (2.46) : ∂n ∂h = ∂n ∂H (3.16) puis l’équation (1.36) : ∂n ∂H = 10 −6∂N ∂H (3.17) on arrive à : ∂n ∂r = 10 −6∂N ∂H (3.18)
qu’on peut décomposer en : ∂n ∂r = 10 −6·∂N ∂P · ∂P ∂Φ · ∂Φ ∂H (3.19) Le terme ∂N
∂P est calculé par différences finies et interpolations horizontales par la procédure décrite ci-dessus. Le terme ∂P∂Φ est obtenu par dérivation des expressions de la pression en fonction du géopotentiel données dans la section 3.1.1. Le dernier terme provient de la dérivation de l’équation (2.45) :
∂Φ ∂H =γw(ϕ)· " 1− 2H a 1 +f +m−2fsin2(ϕ)+3H 2 a2 # (3.20)
3.2.2 Dérivées horizontales
Pour les mêmes raisons que celles évoquées à la section 3.1.2, on peut se placer dans un plan pour calculer les dérivées horizontales de l’indice de réfraction.
La dérivée méridienne se calcule aisément par différences finies à partir des quantités météorologiques interpolées pour les besoins de l’interpolation horizontale. En effet, après avoir calculé les indices de réfraction n1 au point (ϕ1, λ) et n2 au point (ϕ2, λ) à partir des quantités thermodynamiques interpolées le long des parallèles de latitudes ϕ1 et ϕ2 (Éq. 3.11 et 3.12), la dérivée en ϕau point courant s’exprime par :
∂n ∂ϕ =
n1 −n2
ϕ1 −ϕ2 (3.21)
De manière similaire à ce qui a été fait précédemment en approximant les variations infi-nitésimales de la colatitude géocentrique par celles de la latitude géodésique, on considère ici que : ∂n ∂θ ≈ −∂n ∂ϕ (3.22) Donc, ∂n ∂θ =−n1−n2 ϕ1−ϕ2 (3.23)
Figure 3.4 – Illustration du calcul des dérivées par rapport à la longitude sur une grille Gaussienne réduite dans le cas où λ1= max (λA, λB) =λB etλ2= min (λC, λD) =λD.
La difficulté de travailler avec une grille Gaussienne réduite se situe, pour le calcul des dérivées horizontales de l’indice de réfraction, au niveau du calcul de la dérivée le long du parallèle. En effet, comme les points aux deux latitudes entourant le point courant ne sont pas situés sur le même méridien, il n’est pas possible de calculer directement la dé-rivée en longitude à partir des quantités météorologiques utilisées pour les interpolations horizontales. L’idée développée ici est d’effectuer plusieurs interpolations linéaires supplé-mentaires de tous les paramètres thermodynamiques pour se ramener à quatre quantités le long de deux méridiens entourant le point courant. Soit λ1 et λ2 les longitudes de ces deux méridiens telles que λ1 ∈[max (λA, λB) ;λ[ etλ2 ∈]λ; min (λC, λD)]. Pour obtenir la dérivée en longitude, des interpolations linéaires sont tout d’abord effectuées, à chaque la-titude, pour exprimer les quantités thermodynamiques aux points de coordonnées (ϕ1, λ1), (ϕ1, λ2), (ϕ2, λ1) et (ϕ2, λ2). Ensuite, à partir de ces valeurs, deux interpolations linéaires le long de chacun des méridiens sont effectuées pour obtenir toutes les quantités thermo-dynamiques aux points (ϕ, λ1) et (ϕ, λ2). A partir de ces quantités interpolées, on calcule ensuite n3 et n4 les indices de réfraction (Éq. 1.43 et 1.36) aux points (ϕ, λ1) et (ϕ, λ2). Enfin, la dérivée de l’indice de réfraction par rapport àλest donnée par différences finies :
∂n ∂λ =
n3−n4
λ1−λ2 (3.24)
On pourrait prendre n’importe quelles valeurs de λ1 et λ2 telles que les conditions λ1 ∈[max (λA, λB) ;λ[ et λ2 ∈ ]λ; min (λC, λD)] soient respectées. Cependant, prendre λ1 et λ2 quelconques nous amène à effectuer six interpolations linéaires dans le seul but de calculer la dérivée de l’indice de réfraction en fonction de la longitude : deux le long de chaque parallèle et une le long de chaque méridien. De manière à diminuer ce nombre d’interpolations linéaires, on a fait le choix de poser :
λ2 = min (λC, λD) (3.26)
La figure 3.4 illustre le calcul de la dérivée en fonction de λ dans le cas où λ1 = λB et λ2 = λD. En choisissant de prendre les latitudes des méridiens sur lesquels se basent le calcul de la dérivée en λ égales aux latitudes des points les plus proches à l’Ouest et à l’Est du point courant, on s’affranchit de deux interpolations linéaires pour chacun des paramètres thermodynamiques. Ce gain est non-négligeable puisque le calcul des dérivés spatiales de l’indice de réfraction est effectué quatre fois par pas d’intégration avec la méthode RK4 utilisée dans Horizon (cf. section 2.6.3).
Géométrie du champ de réfractivité :
quelles alternatives ?
Sommaire
4.1 Sur l’asymétrie de l’atmosphère. . . . 90