Sur le choix du modèle de gravité

Dans cette section, nous allons étudier dans SAM (cf. section4.2), comment les délais troposphériques évoluent en fonction du modèle choisi d’accélération de pesanteur qui est indispensable pour convertir le géopotentiel des données des niveaux modèle en hauteur ellipsoïdale. Comme nous travaillons avec une Terre idéalisée sans géoïde, l’ondulation du géoïde et l’anomalie d’altitude sont nulles. Nous supposerons également que la hauteur de l’orographie est égale à zéro. Ces hypothèses impliquent que, dans ce contexte, les hauteurs orthométriques, dynamiques et normales sont égales à la hauteur ellipsoïdale h.

Pour effectuer cette étude, nous avons choisi les modèles de gravité suivants :

- le modèle constant : la gravité est constante et égale àg₀ n’importe où sur et au-dessus de la Terre (Éq. 4.10).

g⁽¹⁾(ϕ, λ, h) =g₀ (4.10)

- le modèleellipsoïdale : la gravité est déterminée sur la surface de l’ellipsoïde de WGS84 par la formule de Somigliana (Éq. 4.12) et est constante avec l’altitude (Éq.4.11).

g⁽²⁾(ϕ, λ, h) =γ_w(ϕ) (4.11) γw(ϕ) =γe 1 +Ksin2(ϕ) q 1−e2sin²(ϕ) (4.12) avec K = ^bγp aγ_e −1, (4.13)

Figure ^{4.10 –} Différences de hauteurs ellipsoïdales en fonction du géopotentiel entre le mo-dèle de gravité EGM2008 et chacun des autres momo-dèles de gravité étudiés pour une latitude géodésique à 45^◦.

γ_e = 9,7803253359 m·s−2 et γ_p = 9,8321849378 m·s−2 la pesanteur normale respective-ment à l’équateur et aux pôles, e2 = 6.69437999014·10⁻3 est la première excentricité au carré de l’ellipsoïde.

- le modèle sphérique dépendant en altitude : la gravité est calculée pour une Terre idéa-lisée, une sphère dont le rayon est le rayon moyen terrestre Re = 6356781,84935 m. La gravité est égale à g0 à la surface terrestre et diminue avec l’altitude. L’équation (4.14) est obtenue analytiquement en utilisant la loi universelle de la gravitation.

g⁽³⁾(ϕ, λ, h) =g₀ ^Re

R_e+h2 (4.14)

- le modèlesphérique dépendant en latitude et altitude : la gravité est calculée de la même façon que le modèle sphérique dépendant en altitude avec un rayon terrestre qui dépend de la latitude (Éq. 4.15).

g⁽⁴⁾(ϕ, λ, h) =g₀ ^Rg(ϕ)

R_g(ϕ) +h2 (4.15)

où R_g est le rayon de la courbure de Gauss (Éq. 4.1).

- le modèle en développement en série de Taylor de WGS84 : la gravité est connue sur la surface de l’ellipsoïde de WGS84 par la formule de Somigliana (Éq. 4.12). La gravité au-dessus de l’ellipsoïde à n’importe quelle hauteur est calculée en utilisant un développement en série de Taylor (Éq. 4.16). Ce développement en série n’est théoriquement valable que quand la hauteur est faible.

g⁽⁵⁾(ϕ, λ, z) = γw(ϕ) " 1− ^2h a 1 +f+m−2fsin²(ϕ)+ ^3h 2 a2 # (4.16) oùf = 0,0033528106 est l’aplatissement de l’ellipsoïde de WGS84 etm = 0,00344978650684. - le modèle de gravité normale exacte de WGS84 : pour calculer la gravité au-dessus de

Figure^{4.11 –}Différences de délais troposphériques en fonction de l’élévation entre le modèle de gravité EGM2008 et chacun des autres modèles de gravité étudiés pour une latitude géodésique à 45^◦.

l’ellipsoïde de WGS84, les composantes normales de la gravité sont exprimées dans un système de coordonnées sphériques puis projetées sur la normale du point voulu. La pro-cédure est détaillée dans NIMA [2000].

- le modèle EGM96 au degré et à l’ordre 70[NIMA 2000].

- le modèle EIGEN-GL04C au degré et à l’ordre 70[Förste et al. 2008]. - le modèle EGM2008 au degré et à l’ordre 120 [Pavlis et al. 2012].

Premièrement, la transformation entre le géopotentiel et la hauteur (Éq.4.6) est faite pour tous les modèles de gravité. La figure 4.10 nous montre l’influence des modèles de gravité sur les hauteurs ellipsoïdales. Une différence de hauteur ellipsoïdale de 1,1 km à l’altitude de 84 km est observée entre les modèles qui dépendent de l’altitude et ceux qui n’en dépendent pas. Les modèles dépendant en altitude produisent des hauteurs ellipsoïdales semblables avec une différence de seulement quelques mètres au sommet de la troposphère. Ensuite, les délais troposphériques pour plusieurs élévations sont calculés en utilisant chacun des modèles de gravité. La figure 4.11 illustre l’influence des modèles de gravité sur les délais troposphériques. Il y a une différence sur les délais troposphériques de 5 cm à basse élévation entre les modèles qui dépendent de l’altitude et ceux qui n’en dépendent pas. La différence en terme de délais obliques à 5^◦ entre les modèles dépendant en altitude, est toujours inférieure à 1,5 mm. Donc, le choix du modèle de gravité n’a pas d’impact sur les délais troposphériques à condition tout de même que ce modèle de gravité ait une dépendance en altitude. De plus, il est utile de remarquer que les modèles de gravité complexes en harmoniques sphériques comme EGM96, EIGEN-GL04C et EGM2008 ne permettent pas d’améliorer significativement la précision des délais troposphériques. Leur utilisation pour le ray-tracing ne paraît pas ainsi actuellement nécessaire.

Acronyme K₁ (K·hPa⁻¹) K₂ (K·hPa⁻¹) K₃ (10⁵ K²·hPa⁻¹) SW53 77,600 77,6000 3,73000 TH74 77,604 64,7900 3,77600 BE94 77,600 70,4000 3,73900 RU02 77,689 71,2952 3,75463 HE11 77,643 71,2952 3,75463

Table ^{4.4 –} Jeux de coefficients de réfractitivité comparés dans cette étude.

la gravité moyenne permettant d’éviter des calculs d’intégrales numériques (cf. section

4.3.2). Les deux premiers modèles qui ne dépendent pas de l’altitude, ne permettent pas d’atteindre la précision millimétrique. Les modèles sphérique dépendant en altitude, sphé-rique dépendant en latitude et altitude et ledéveloppement en série de Taylor de WGS84 permettent de calculer analytiquement la gravité moyenne tout en ayant une précision mil-limétrique sur les délais troposphériques. L’utilisation d’un de ces trois modèles apparaît judicieux pour concilier temps de calcul et précision sur les délais. Comme le modèle de gravité normale en développement en série de Taylor de WGS84 est basée sur une forme ellipsoïdale de la Terre et est cohérent avec le WGS84 et parce que ce modèle permet de s’affranchir des calculs d’intégrales numériques pour obtenir la gravité moyenne, c’est ce modèle qui a été choisi pour être utilisé nominalement dans le logiciel Horizon.