Incertitudes associées au traitement des données

      ς2 11 ^ς11ς12 ^{· · · ς}11ςNiNj ς12^ς11 ... ··· ... ... ... ... ... ς_NiNjς11 ^{· · · · · · ς}N²iNj        (IV.4)

Cette matrice a une taille Ni × N_j et est donc unique pour l’ensemble des cartes analysées. Dans le cas d’un bruit hétéro-scédastique, les termes de la matrice de covariance doivent affecter la pondération associée à l’évolution temporelle de l’écart-type du bruit dont l’Expression IV.5 montre la fonction de coût à utiliser.

Ψ(p) = Pi,j,k(Unum− U_exp)T 1

ς2 xy [Cxy]−1(Unum− U_exp) = PKdim k=1 ^P Nj j=1^PNi=1ⁱ (Uij,k num− Uij,k exp) ¹ ς2 xy(k) 1 [Cxy]ij,ij(Uij,k num− Uij,k exp) ^(IV.5)

Dans ce dernier paragraphe, on a montré l’importance du bruit de mesure lorsque celui n’est pas homogène dans l’espace et/ou dans le temps, spécialement dans le cadre des problèmes inverses dont le comportement évalué est non linéaire. La prise en compte du bruit permet donc de définir une pondération du résidu plus physique et en accord avec les incertitudes expérimentales. Cette pondération permet de prendre en compte la variabilité temporelle et spatiale du bruit, qui se caractérise par une variance et une covariance non constante.

IV.2.2.2 Incertitudes associées au traitement des données

Les incertitudes associées au traitement des données sont celles qui ne dépendent pas directement de la mesure de la réponse mécanique. Elles sont importantes à traiter dans le cas des problèmes inverses comme celui de notre étude, dont les entrées du problème sont des déplacements mesurés et le compor-tement du matériau est l’inconnue à identifier pour la prévision d’une réponse mécanique non linéaire. David [236] recommande d’effectuer les méthodes inverses en utilisant des mesures en pixel afin d’éviter la propagation des erreurs. Lecompte et al. [276] remarquent l’importance du maillage afin de réduire l’incertitude associée à la discrétisation de la mesure de champ cinématique. Ces sources d’incertitude peuvent être classées en deux types : (i) celles associées à l’interprétation d’une mesure ou donnée numé-rique et (ii) celles associées à la convergence numénumé-rique du calcul EF à comparer. Ces deux points sont

brièvement évalués par l’analyse numérique de l’influence du système d’unités comme source des erreurs et d’incertitudes. Enfin, nous soulignons l’importance du maillage sur la comparaison essai-calcul pour minimiser la propagation de ces erreurs et les incertitudes associées.

Mise en évidence des erreurs associées au système d’unités pour la comparaison essai-calcul Concernant la problématique du système d’unités, l’intérêt est d’utiliser les données des champs de dépla-cements avec une sensibilité aux paramètres maximale mais une incertitude minimale issue de l’influence de l’observateur, c’est-à-dire, du rapport de conversion pixel en millimètre. La nature non-linéaire du problème numérique à résoudre dans le cadre des problèmes inverses par EF peut théoriquement induire des erreurs de plus en plus importantes au cours du chargement, au moment de résoudre numériquement l’équilibre local et global des forces et des déplacements selon les équations d’équilibre classiques de la méthode d’éléments finis [277]. A un chargement donné, l’équilibre global du système (F = KU, avec F le vecteur des force extérieures appliquées, K la matrice de rigidité du système et U les déplacements aux nœuds) souligne la dépendance entre les déplacements et la matrice de rigidité du système, qui est définie par la loi de comportement associée aux éléments finis. Comme conséquence, la résolution du problème non linéaire implique qu’une erreur sur la valeur des déplacements puisse avoir une influence non négligeable sur l’identification des paramètres permettant le calcul la matrice de rigidité. Une erreur d’estimation du rapport de conversion pixel en millimètre peut donc contribuer à la propagation des er-reurs en déplacements et induire des erer-reurs d’identification non négligeables, d’autant plus importantes dans le cas d’une méthode inverse. L’Equation IV.6 montre l’influence du rapport de conversion sur les erreurs induites sur les champs de déplacement longitudinal (U₁) et hors plan (U₂).

∆Ui[px] = ∆Ui[mm] · rpx mm

∆( ∆Ui)[px] = ∆Ui[mm] · rpx

mm· r^pxmm avec i = 1, 2 ^(IV.6) avec ∆Ui l’écart (entre deux évaluations différentes du problème) du déplacement considéré, rpx

mm le rapport de conversion de pixel en millimètre, ∆( ∆Ui), l’erreur associée à l’écart du déplacement considéré et rpx

mm l’erreur associée au rapport de conversion.

Dans un cas de flexion, les déplacements longitudinal (U₁) et hors plan (U₂) par rapport à des dimensions de référence dans chaque direction (l’épaisseur h de l’éprouvette et la longueur de la région de calcul L) présentent des ordres de grandeur différents tel que∆U2/h∆Ui/L. Alors, l’expression des écarts soit en pixel ou en millimètre influence a priori le traitement des erreurs dans la démarche d’identification inverse. Au vu de ces remarques, nous avons fait une étude de sensibilité des paramètres d’identification

Gltet Scau rapport de conversion qui nous a permis de vérifier l’influence du choix de l’unité au moment de résoudre notre problème d’identification inverse. La Figure IV.11 sert juste à illustrer l’adaptation des dimensions, conditions aux limites et variables d’identification du problème inverse selon le système d’unités adopté. L’unique hypothèse concerne l’épaisseur de l’éprouvette, qui est parfaitement connue en mm et qui est utilisée comme dimension de référence pour créer les maillages.

L’analyse est faite par rapport à un cas de référence concernant une éprouvette [0]₁₆ à 74◦C - 50 W. Le Tableau IV.1 montre les valeurs obtenues (concernant les paramètres Glt et Sc et leur sensibilité

Rapport de conversion normalisé r/rref G_ltidentifié [N/px2] S_c identifié [N/px2] S^Glt r [-] S^Sc r [-] 1. (Référence) 4.58 · 10-1 2.07 · 10-2 - -0.9 6.37 · 10-1 6.56 · 10-2 3.90 21.68 1.1 3.99 · 10-1 4.95 · 10-3 1.29 7.61

Tableau IV.1 – Comparaison des paramètres obtenus par méthode inverse en pixel et leur sensibilité au

rapport de conversion pixel/millimètre pour une éprouvette [0]16 à 74◦C - 50 W

Rapport de conversion normalisé r/rref G_ltidentifié [MPa] S_c identifié [MPa] S^Glt r [-] S^Sc r [-] 1. (Référence) 2230.3 100.8 - -0.9 2612.3 231.0 1.05 12.93 1.1 2389.4 37.2 0.71 6.31

Tableau IV.2 – Comparaison des paramètres obtenus par méthode inverse en millimètre et leur sensibilité

au rapport de conversion pixel/millimètre pour une éprouvette [0]₁₆ à 74◦C - 50 W

à _rpx

mm) par identification inverse en pixel pour deux valeurs du rapport de convergence différentes. Le TableauIV.2quant à lui, montre les valeurs obtenues lorsque l’identification inverse est faite en pixel. Dans les deux cas, les identifications sont faites sans considérer le bruit de mesure afin de ne se focaliser que sur l’influence du système d’unités sur le processus d’identification. Elles sont comparées par rapport à une même identification de référence (en supposant un « vrai » rapport de conversion r_ref = 69.78 mm/px) tel qu’il est possible d’estimer les sensibilités normalisées des paramètres obtenus au rapport de conversion, en suivant l’ExpressionIV.7.

S^pi r = pi− p_iref piref r− _rref _rref (IV.7) avec pi le paramètre en question (Glt ou Sc) et r le facteur de conversion.

La FigureIV.12 permet de comparer les sensibilités obtenues selon le système d’unité. Nous remar-quons des valeurs plus importantes pour la résistance d’interface Scque pour le module de cisaillement du pli Glt, ainsi que dans le cas des calculs en pixel. Cette analyse a montré que les calculs en millimètre sont moins sensibles aux paramètres que nous cherchons à identifier, Gltet Sc. Ainsi, afin d’avoir le minimum d’influence de part de l’observateur sur les incertitudes de mesure et maximiser la sensibilité des champs mesurés aux paramètres, nous avons décidé de travailler en pixel. Ce travail fait, il est alors important de focaliser sur l’approche de discrétisation du domaine de l’étude. Nous exposons donc brièvement le maillage retenu dans notre étude, issu d’un étude de convergence au maillage en assurant la convergences des résultats numériques dans le but de réduire au maximum les erreurs de projection et la propagation de ces erreurs sur la méthode d’identification inverse.

Incertitudes associées au maillage Concernant le maillage, une erreur systématique est induite par la discrétisation spatiale du maillage EF et par l’erreur de projection afin de comparer avec les données expérimentales obtenues sur une grille régulière avec une discrétisation minimale d’un pixel. Il convient alors de faire une étude de convergence au maillage afin (i) d’assurer la convergence de la réponse numérique et (ii) de réduire les incertitudes issues de la projection des données. La FigureIV.13 montre le maillage retenu, en considérant une région de raffinement progressif autour de la singularité, avec une taille minimale d’un pixel et d’une taille maximale de dix pixels. Le maillage est composé d’éléments quadratiques à intégration complète, avec environ 50 000 éléments et 150 000 nœuds selon le cas à modéliser, soit pour des éprouvettes [0]₁₆ ou [0]₈. Nous remarquons que l’erreur de projection est donc dépendante tant de la taille minimale de convergence au maillage que de la taille de la grille

Figure IV.12 – Sensibilités normalisées des paramètres à identifier (Glt à gauche et Sc à droite) au rapport de conversion normalisé selon le système d’unités retenu

Figure IV.13 – Raffinement du maillage autour la singularité associé à la modélisation locale

Figure IV.14 – Problématique de l’approche mono-objectif : Différence entre un optimum global et des

optima locaux [47]

expérimentale (associé à la résolution de la mesure). Dans notre cas, une solution convergée est donc projetée sur la grille des données expérimentales avec une discrétisation d’un pas égale à un pixel. Au vu des remarques exposées, la prise en compte des erreurs aléatoires et systématiques issues du bruit de mesure et du traitement des données respectivement permet d’une part de définir une fonction de coût la plus adaptée à notre problème et d’autre part, de réduire la propagation des erreurs. Le paragraphe suivant est dédié à la justification de la méthode d’optimisation afin de réduire et quantifier les incertitudes portant sur les variables inconnues.