iii Grandeurs caractéristiques des matériaux pulvérulents

I.3.iii.a. Distributions granulométriques

Bien que l’on parle souvent d’une taille de particules (des particules de 50 µm, de 100 µm), la description d’une population de particule peut difficilement être réduite à un seul nombre. La plupart du temps, une population est composée de particules de tailles très différentes. Pour la caractériser, il est nécessaire de la

Un certain nombre de fonctions mathématiques permettant de représenter les distributions typiquement obtenues et de les caractériser par quelques paramètres ont été développés [121]. On peut par exemple citer la distribution normale (Équation 33) et log-normale (Équation 34). Équation 33 ˆ¯(0) = 9 k√4° /03 [− (™:™±)Z 4kZ ] Équation 34 ˆ¯(0) = 9 ™k√4° /03[− (³v (™) : ³v (™±)) ² 4 (³v(k)) ² ]

xm est l’espérance de la distribution (et la médiane dans le cas de la loi normale), σ est l’écart type. L’espérance définit le mode central de la distribution, et l’écart type son étalement (Figure 69).

Figure 69 : Représentation de lois normales pour différentes espérance et écart-type

Des fonctions ont été spécifiquement développées dans l’industrie du broyage pour décrire les produits issus d’une opération de réduction de taille. Les fréquences mesurées y sont souvent issues de tamisage. On peut par exemple citer les distributions de type Rosin-Rammler (Équation 35 et Équation 36) [121].

Équation 35 ´(0) = 1 − /03 [− }™ rC• i ] Équation 36 ˆ(0) = i r_C±0i:9/03[− }_r™_C• i ]

Avec m un coefficient caractéristique de la dureté et de la nature du matériau, et d1 un degré de finesse correspondant à la taille dont 63,2 % des particules sont

inférieures. La valeur de n est rarement inférieure à 0,6, et pour des valeurs supérieures à 3, une loi normale est généralement plus adaptée [126]. Ce type de fonction peut représenter des asymétries de distribution, souvent rencontrées lors d’un broyage ou suite à une opération de sélection (Figure 70).

Figure 70 : Représentation de distribution Rosin-Rammler pour différentes valeurs de m

La distribution de Harris est parfois utilisée [121]. Elle permet d’ajuster la forme de la courbe dans la région des particules les plus petites et des plus grosses (Équation 37).

Équation 37 ´(0) = 1 − [1 − ( ™

™CEE)

µ_]¯

Avec x100 la dimension donnant une fréquence cumulée de 100, s un paramètre dépendant de la forme

de la courbe dans les faibles granulométries et r dans les granulométries grossières.

Le paramètre le plus utilisé pour décrire ces courbes granulométriques est la médiane, qui divise la distribution en deux populations égales. Elle est souvent notée d50. Dans le cas de distribution normale, la médiane est égale à l’espérance et

correspond au sommet de la courbe. Dans le cas de distribution asymétrique ou multimodale (possédant plusieurs maximas), le d50 ne correspond pas nécessairement

au maximum de la courbe. Le d10 et le d90, sont également souvent utilisés. Ils peuvent

facilement être déterminés sur une courbe granulométrique cumulée (dimension correspondant à 10, 50 et 90 %) (Figure 71).

Une mesure de l’étalement de la distribution est donnée par le RD (Range of the Size Distribution) (Équation 38). Une valeur de RD élevée correspond à un étalement important de la distribution. De la même manière, un coefficient de variation CV peut être défini connaissant la moyenne xm et l’écart type σ de la

distribution (Équation 39).

Équation 38 ¶· =r¸E: rCE

rDE

Équation 39 ¥• = k

™±

Deux autres paramètres permettant de décrire la forme des distributions sont le coefficient de dissymétrie (skewness) et le coefficient d’aplatissement (kurtosis) (Équation 40 et Équation 41 respectivement).

Équation 40 ¹₉ =º[ »p (™p: ™±) \ ]

k\_º»p

Équation 41 ¹₄=º[ »p (™p:™±) ¼]

k¼_º»p − 3

Un coefficient de dissymétrie positif représente une asymétrie à gauche de la distribution (courbe tronquée à gauche du mode principal), un coefficient négatif une asymétrie à droite. Une distribution normale a un coefficient de 0 (pas d’asymétrie).

Le coefficient d’aplatissement reflète une distribution plus ou moins effilée. Un coefficient de 0 correspond à une distribution normale, un coefficient positif à une distribution plus « pointue » et resserrée qu’une gaussienne, et un coefficient négatif à un pic plus étalé.

I.3.iii.b. Descripteurs morphologiques utilisés

Dans la description d’une population de particules, ces dernières sont généralement définies individuellement par une seule dimension. Selon la méthode de mesure utilisée, cette dernière peut par exemple correspondre à la largeur d’un carré équivalent (tamisage), ou au diamètre d’une sphère équivalente (diffraction laser). C’est une description réductrice, les particules réelles étant tridimensionnelles, et possèdent une morphologie souvent irrégulière. Plusieurs paramètres de forme permettant une description plus complète de la morphologie de particules ont été développés.

La taille des particules est souvent décrite par 2 dimensions au lieu d’une, ce qui permet de caractériser son allongement. Les méthodes les plus utilisées pour les définir sont l’ellipse équivalente et les dimensions de Féret. Dans la première, on détermine les dimensions du grand axe dmax et du petit axe dmin d’une ellipse

équivalente ayant la même aire et le même diamètre que la particule (Figure 72). Pour la seconde, le diamètre Féret est défini comme la distance entre les tangentes parallèles à une direction et encadrant la particule [122]. Selon cette définition, un diamètre Féret maximum Fmax et minimum Fmin peuvent être définis (Figure 73).

Figure 72 : Ellipse équivalente d’une particule (rouge), avec son grand axe (bleu) et son petit

axe (vert)

Figure 73 : Diamètre Féret maximal et minimal d’une particule

Le premier paramètre de forme pouvant être calculé à partir de ces données est le facteur d’allongement. Il peut être définit comme le diamètre maximum sur le diamètre minimum, qu’ils soient évalués par la méthode Féret ou elliptique (Équation 42).

Équation 42 ½_¾ =¾±¿À

¾±p€ ou ½r=

r±¿À

r±p€

Un facteur d’allongement élevé traduit une particule allongée. Un autre paramètre de forme intéressant est la solidité ou concavité. Elle est définie comme le rapport entre l’aire réelle de la particule et son aire convexe (Équation 43). Cette dernière correspond à l’aire délimitée par le périmètre convexe (Figure 74).

Équation 43 ` = U

UK

Figure 74 : Enveloppe convexe d’une particule [122]

Une sphère ou un carré ont une solidité de 1. Au fur et à mesure que la particule devient irrégulière, la solidité diminue.

I.3.iii.c. Autres techniques de caractérisation des poudres

Une caractéristique importante des poudres est leur surface spécifique. Il s’agit

d

d

Fmax

Fmin

croît avec la diminution du rayon r. La surface spécifique dépend également de la forme des particules, de leur état de surface et de leur porosité.

Une technique courante de mesure de surface spécifique est la physisorption d’un gaz (souvent le diazote) à sa température d’ébullition (-195,8°C pour le N2). Les

résultats sont traités selon le modèle Brunauer, Emmett et Teller (méthode BET) dans le cas d’adsorption multicouche. Dans cette technique, le volume de gaz adsorbé Va

à la surface d’un échantillon pour une pression P donnée est mesuré. Va et P sont reliés

au volume nécessaire pour obtenir une monocouche d’adsorption Vm par l’équation

BET (Équation 44). Équation 44 9 [Á¿(ÂE_Â:9)]= !:9 Á±!× Ã ÃE+ 9 Á±!

Avec P la pression (Pa), P0 la pression de vapeur saturante (Pa), Va le volume de gaz adsorbé CNTP (ml),

Vm le volume correspondant à une monocouche CNTP (ml) et C une constante.

Le volume Va est mesuré pour plusieurs valeurs P/P0 (en général 5). Le volume

d’adsorption monocouche Vm est obtenu en traçant le membre de gauche de

l’Équation 44 en fonction de P/P0 (pente de la courbe). La surface BET SBET est alors

calculée en considèrent l’encombrement surfacique s des molécules de N2 (Équation

45).

Équation 45 `V$– =Á±Ä¿µ

ÁLi

Avec Na le nombre d’Avogadro, s l’encombrement surfacique du N2, VM le volume molaire du N2 CNTP,

et m la masse de l’échantillon.

La surface spécifique de poudre varie grandement selon leur nature (densité du produit) et leur granulométrie. Elle peut aller de quelques dixièmes de m²/g (particules millimétriques, centaine de microns), à plusieurs centaines de m²/g (nanoparticules).