Hétérogénéité des préférences

Les deux modèles décrits dans les sections précédentes ont pour hypothèse que les préfé- rences des décideurs sont homogènes. C’est-à-dire que le vecteur β des paramètres à estimer est le même pour tous les décideurs. En revenant à la situation du choix de l’énergie pour le chauffage ou d’un équipement énergétique, l’hypothèse d’homogénéité des préférences implique que tous les ménages ont les mêmes préférences pour l’électricité, le gaz, les équi- pements utilisant des énergies renouvelables ; ont la même sensibilité face aux coûts ; etc. C’est une hypothèse forte qui peut ne pas être vérifiée. Il est possible d’introduire cette hétérogénéité de plusieurs façons. Les plus simples c’est de redéfinir les variables. Soit en croisant les attributs des offres avec des caractéristiques individuelles Zn (par exemple lo-

cataire ou propriétaire). Soit en estimant les coefficients par palier en utilisant l’une des variables individuelles pour caractériser les paliers (p.ex. faire la distinction entre le déci- deur à bas, moyen et haut revenus). L’avantage de cette technique est quelle est relative- ment simple à estimer. Néanmoins c’est au modélisateur de définir quelles caractéristiques individuelles vont expliquer l’hétérogénéité et de quelle façon ce qui peut introduire le biais de modélisation.

Deux autres approches existent pour généraliser l’hétérogénéité des préférences à n’im- porte quel attribut tout en évitant les erreurs dues à la définition de l’hétérogénéité. Tout d’abord nous pouvons supposer que les préférences individuelles sont aléatoires et chacune suit une loi de probabilité dont les paramètres seront estimés par le modélisateur. Il s’agit du Logit Mixte, appelé encore Logit à paramètres aléatoires (Boyd et Mellman,1980,Car- dell et Dunbar,1980). Concernant la deuxième approche, le Modèle des Classes Latentes, elle suppose que les décideurs peuvent être regroupés en classes avec des préférences ho- mogènes (Greene et Hensher,2003). Il est possible de combiner les approches afin d’avoir une distribution des paramètres estimés à la fois discrète pour former les classes et conti- nue à l’intérieur des classes. Dans cette sous-section nous présentons séparément les deux approches.

1.3.3.1 Logit Mixte à paramètres aléatoires

Le modèle Logit Mixte, ou encore le modèle à paramètres aléatoires, a été proposé pour la première fois par Boyd et Mellman (1980) et Cardell et Dunbar (1980), mais sa véri- table utilisation commence au début des années 2000. Le Logit mixte propose d’utiliser les densités des lois pour estimer les paramètres du modèle afin de capter l’hétérogénéité des préférences, en tenant compte de la corrélation de l’utilité inobservée ou des différents schémas de substitution. Dans notre étude nous sommes intéressés par l’hétérogénéité des

préférences. La forme générale du Logit Mixte reste la même que dans l’équation (1.1), mais la définition du paramètre β change :

Unj = βn|Xnj+ ξnj (1.24)

Où les Xnj sont les attributs de l’offre j présentée au décideur n, le vecteur des paramètres

βnà estimer est maintenant spécifique à chaque décideur n et ξnj est l’utilité inobservable

iid. Le paramètre à estimer varie selon le décideur avec une densité de probabilité f (β | θ) où θ sont les paramètres de la densité. Par exemple si on suppose que β est distribué selon la loi normale, le vecteur des paramètres θ va contenir l’espérance et la variance associées à la densité. Les βn sont connus des décideurs, mais non observables par le modélisateur.

Par conséquent la probabilité de choisir l’alternative i est conditionnée par la valeur des paramètres individuels βn : Pni| βn= eβ|nXni P je β_nj| Xnj (1.25)

Les β_nne sont pas observables par le modélisateur, la probabilité s’écrit comme l’intégrale sur tous les βn :

Pni = Z _eβ|nXni P je β_nj| Xnj ! f (β | θ)dβ (1.26)

Le modèle a une densité mixte : d’une part ξnj − ξni, ∀j 6= i suit une loi Logit, d’autre

part β suit une loi définie par le modélisateur à paramètres θ. Autrement dit le modèle est une moyenne des modèles Logit individuels. On cherche l’estimateur ˆβ de la densité des préférences individuelles βn. L’estimateur ˆβ est obtenu en utilisant la méthode de

Maximum de Vraisemblance Simulée. Notons R le nombre total des tirages aléatoires et βr – le r-ième tirage simulé pour le paramètre individuel à partir de la densité f (β | θ), alors on pourra calculer l’estimateur non biaisé de la probabilité P_ni sur l’ensemble des tirages :

ˆ Pni= 1 R R X r=1 Lni(βr) (1.27)

Les probabilités ainsi simulées sont insérées dans la fonction de Log-Vraisemblance Simulée (SLL) :

SLL = N X n=1 J X j=1 ynjln ˆPnj (1.28)

Où ynj représente la variable indicatrice qui vaut 1 si l’individu n a choisi l’alternative

j, 0 sinon. Comme dans le cas de la méthode standard du Maximum de Vraisemblance, l’estimateur des paramètres ˆθ de la distribution des préférences f (β | θ) est obtenu en trouvant le maximum de la fonction SLL.

Le modèle Logit Mixte est apprécié pour sa flexibilité et la possibilité de rapprocher n’im- porte quel modèle de choix discrets, y compris MNL et Logit Emboité (McFadden et Train,

2000). Quelques exemples des lois paramétriques utilisées pour estimer l’hétérogénéité des paramètres β_n :

• Normale — est la plus utilisée comme la densité des paramètres β_n.

• Lognormale — si on sait que le signe du paramètre à estimer est le même pour tous les individus. Par exemple on sait que les coefficients associés aux prix et aux coûts ont en général un impact négatif sur le choix des individus. Grâce à la loi Lognormale on peut forcer les coefficients à être négatifs.

• Uniforme — si on veut borner les valeurs de βnentre deux valeurs en supposant que

sur cet intervalle les préférences ont une distribution uniforme.

• Triangulaire — si on veut borner βn et supposer que leur valeur augmente linéai-

rement avant un certain seuil et diminue linéairement après. Les pentes des côtés peuvent être différentes.

Toutefois il est conseillé au modélisateur de laisser un des paramètres du modèle être égal à une constante (Train,2009). Le choix de la loi de probabilité pour décrire l’hétérogénéité est critique pour les résultats du modèle et peut donner lieu à une estimation fallacieuse. Par exemple si le modélisateur pose que les β sont distribués selon la loi normale, alors que dans la réalité l’hétérogénéité est uniforme, ou une mixture des lois, ou homogènes.

Nous estimons les modèles Logit Mixte en utilisant STATA et BIOGEME. STATA pro- pose un package mixlogit pour estimer Logit Mixte et mixlbeta qui permet d’obtenir la distribution des paramètres individuels (Hole, 2007b). BIOGEME3, quant à lui, permet de paralléliser le processus d’estimation et par conséquent d’augmenter la vitesse de cal- cul (Bierlaire, 2003). En plus le programme propose des algorithmes d’optimisation plus performants que ceux implantés en STATA.

1.3.3.2 Modèle des classes latentes

Le modèle Logit Mixte, présenté dans la section précédente, a pour hypothèse que l’hété- rogénéité des préférences peut être décrite par une loi de probabilité continue (loi normale, loi triangulaire, etc.). Cette configuration pourrait être inappropriée, si les préférences sont discrètes ou sont un mélange de plusieurs lois. Par exemple prenons le cas du choix de l’électricité comme l’énergie utilisée pour le chauffage et l’ECS (Eau Chaude Sanitaire). Imaginons qu’il y a 3 groupes d’individus : 1/3 qui aiment l’électricité, 1/3 qui ne l’aiment pas et 1/3 qui sont indifférents. Si les préférences dans les groupes sont homogènes, alors il y aura trois valeurs des paramètres réels β associés à l’électricité pour décrire le choix du chauffage ou de l’ECS. Si les individus dans chacun des groupes ont des préférences très variées, on pourra approcher l’hétérogénéité globale des préférences par une loi uniforme. Mais si les paramètres individuels sont concentrés autour d’une valeur dans chaque groupe, alors utiliser une loi continue n’a pas de sens.

Les modèles des classes latentes viennent en réponse à cette problématique en proposant de regrouper les décideurs en classes avec des préférences homogènes et d’estimer les para- mètres propres à chaque groupe de décideurs. La classification est non-supervisée, c’est-à- dire la composition des groupes et les déterminants qui permettent de faire la classification ne sont pas connus à l’avance. L’analyse des classes ou variables latentes est connue depuis les années 60-70 :Lazarsfeld et al.(1968) etGoodman(1974).Dempster et al.(1977) a in- troduit l’algorithme d’Espérance-Maximisation (EM) qui est très utilisé pour les modèles des classes latentes.Greene et Hensher (2003) proposent son adaptation pour les modèles de choix discrets à utilité aléatoire.

Prenons comme hypothèse que les décideurs pourront être rangés en Q groupes à l’intérieur desquelles les préférences sont homogènes. Le modèle de choix discrets utilisé est Logit. La probabilité que l’individu n choisisse l’alternative i sachant que l’individu appartient à la classe q est donnée par :

P(Uni > Unj, ∀i 6= j | q) = eβq|Xni PJ j=1eβ | qXnj (1.29)

Nous ne savons pas à priori à quelle classe appartient le décideur n. On dérive la probabilité que l’individu n appartienne à la classe l en tenant compte des caractéristiques Z_n du décideur : Pnl = eα 0 lZn PQ q=1eα 0 qZn, ∀l 6= q (1.30)

La fonction Log Vraisemblance s’écrit alors comme4 : ln L = N X n=1 ln   Q X q=1 PnqPn|q   (1.31)

Pour des raisons mathématiques (voir le dernier paragraphe de la section 1.2) on estime Q−1 vecteurs des paramètres βq, en égalisant à 0 l’une des classes qui servira de référence à

laquelle on comparera les autres classes. Comme dans le cas du modèle Logit Multinomial et Logit Emboité, on trouve l’estimateur des βqen maximisant la fonction Log Vraisemblance.

Le nombre des classes est définit à priori par le modélisateur. Pour choisir le nombre optimal des classes, il est conseillé d’estimer plusieurs modèles avec des nombres de classes différents : par exemple 9 modèles en commençant par le modèle à 2 groupes et allant jusqu’à 10 groupes. On utilise les critères d’information, expliqués dans la section suivante, pour choisir le meilleur modèle.

Les modèles sont estimés en utilisant STATA : lclogit (Pacifico et Yoo, 2013) qui est la commande pour trouver les coefficients de départ et gllamm (Rabe-Hesketh et al.,2002)) qui est celle pour estimer le modèle final.