2.3.1
D´efinition
Cette section pr´esente le graphe de Reeb multir´esolution (Multir´esolution Reeb Graph ou MRG) [Hilaga et al., 2001]. L’id´ee est de construire des graphes de Reeb d’un objet 3D `a plusieurs niveaux de r´esolution. Comme pr´esent´ee pr´ec´edemment, pour construire un graphe de Reeb `a une r´esolution donn´ee r, l’objet est partitionn´e en r´egions bas´ees sur les valeurs de la fonction µ. Un nœud du graphe de Reeb repr´esente une composante connexe dans une r´egion particuli`ere, et les nœuds adjacents sont li´es par une arˆete si leurs composantes connexes associ´ees sont en contact avec elle. Le graphe de Reeb au niveau imm´ediatement sup´erieur r+1 est obtenu en re-partitionnant chaque r´egion (en l’occurrence, chaque r´egion est divis´ee en deux).
Soient Gr, r ∈ [0; R], les R + 1 graphes obtenus en faisant varier le niveau de
r´esolution entre 0 et R. Pour passer d’un niveau de r´esolution r (0 ≤ r ≤ R − 1) au niveau r + 1, on re-partitionne chaque intervalle :
2.3 Graphe de Reeb Multir´esolution Ir,k = k 2r; k + 1 2r , k ∈ [0; 2r− 1] (2.9)
du niveau r en deux sous-intervalles ´egaux : Ir+1,2k = 2k 2r+1; 2k + 1 2r+1 et Ir+1,2k+1 = 2k + 1 2r+1 ; 2k + 2 2r+1 . (2.10)
Si on consid`ere un nœud du niveau r, l’image du sous-ensemble de l’objet auquel il correspond par µ est comprise dans Ir,k, donc quand Ir,k est repartitionn´e en Ir+1,2k
et Ir+1,2k+1, les nouveaux sous-ensembles form´es par les classes d’´equivalence forment
une partition du sous-ensemble d’origine. Ainsi, il y a une relation naturelle parent-fils entre le nœud du niveau r et les nœuds du niveau r + 1 (cf. Figure 2.6).
Fig. 2.6 – Passage `a un niveau de r´esolution sup´erieur : les traits ´epais continus repr´esentent les fronti`eres de l’intervalle Ir,k report´ees sur la surface de l’objet. La
surface ferm´ee par ces traits et les traits fins continus est un sous-ensemble connexe de l’objet compris enti`erement dans Ir,k : il correspond donc exactement `a un nœud du
niveau de r´esolution r. Le trait pointill´e repr´esente la nouvelle fronti`ere de µ qu’il faut consid´erer au niveau r + 1 : elle partage Ir,k en Ir+1,2k et Ir+1,2k+1. Ce trait partitionne
le sous-ensemble initial en 4 sous-ensembles connexes : le nœud du niveau r aura donc 4 nœuds au niveau r + 1.
Le graphe de Reeb multir´esolution `a la r´esolution R (niveau de r´esolution maximal pris en compte pour le calcul des graphes discr´etis´es) est constitu´e de l’“empilement” des graphes de Reeb discr´etis´es des niveaux de r´esolution compris entre 0 et R. Grˆace aux relations parent-fils qu’on a mises en ´evidence entre les niveaux de r´esolution voisins, cette construction est coh´erente. Ainsi, un nœud du graphe de Reeb mul- tir´esolution a exactement un nœud-parent (sauf si c’est un nœud du niveau de r´esolution 0, auquel cas il n’a pas de parent) ; et il peut avoir un nombre quelconque de fils ≥ 1.
En r´esum´e, le graphe de Reeb multir´esolution `a la r´esolution R est un graphe dont l’ensemble des nœuds est l’union des nœuds des graphes de Reeb discr´etis´es des niveaux de r´esolutions compris dans [0; R], et l’ensemble des arˆetes est l’union des arˆetes de ces graphes et des arˆetes parents-fils entre deux graphes cons´ecutifs.
2.3.2
Exemple
Nous choisissons un exemple simple o`u la fonction de hauteur est choisie comme fonction de Morse µN. Pour construire un graphe de Reeb `a R niveaux de r´esolution,
µN est subdivis´e en 2Rintervalles `a partir desquels la surface de l’objet est partitionn´ee
au niveau de r´esolution le plus grand. La construction est ensuite effectu´ee de mani`ere hi´erarchique, le passage `a un graphe de r´esolution inf´erieur se faisant par fusion deux par deux des intervalles voisins d´efinis en `a l’Eq. 2.10 [Hilaga et al., 2001]. Un nœud parent est associ´e `a chaque ensemble connexe de chaque nouvel intervalle obtenu et est reli´e `a ces n nœuds fils (n ≥ 1) appartenant au niveau de r´esolution imm´ediatement sup´erieur et dont il est la fusion (cf. Figure 2.7).
Fig. 2.7 – Construction d’un MRG par fusion des intervalles de µN partitionnant la surface de l’objet. Les nœuds d’un niveau de r´esolution r + 1 fusionnent au niveau inf´erieur r en des nœuds parents (de gauche `a droite : r´esolution r = 2, 1 et 0).
2.3.3
Propri´et´es
Le graphe de Reeb multir´esolution a les propri´et´es suivantes :
Propri´et´e 1 : Il existe des relations parents-fils entre les nœuds des niveaux de r´esolution adjacents.
Propri´et´e 2 : En r´eit´erant la subdivision, le MRG converge vers le graphe de Reeb original comme d´efini par Reeb [Reeb, 1946]. Les niveaux de r´esolution plus fins approximent l’objet original avec plus de pr´ecision.
Propri´et´e 3 : Un graphe de Reeb d’un certain niveau de r´esolution contient implici- tement toutes les informations des niveaux plus grossiers. Lorsque le niveau de r´esolution le plus fin a ´et´e choisi, un graphe de Reeb d’un niveau de r´esolution inf´erieur peut ˆetre construit par fusion de nœuds adjacents. La fusion des nœuds conduit `a la relation parent-enfant.
Propri´et´e 4 : Pour comparer deux graphes de Reeb multir´esolutions, il est naturel de comparer d’abord les deux graphes `a des niveaux de r´esolution grossiers, puis de descendre `a des niveaux plus fins si cela a ´et´e concluant. Ajout´e au fait qu’`a un niveau de r´esolution suffisamment ´elev´e, le graphe de Reeb discr´etis´e est une simplification fid`ele de la forme de l’objet, cela explique l’int´erˆet de cette m´ethode