Eet de la géométrie gaussienne

L'utilisation du facteur correctif en 1

v s'explique en supposant que tous les atomes ont une probabilité de uorescence indépendante de leur vitesse, le temps passé dans la zone de détection étant inversement proportionnel à la vitesse, d'où la plus grande contribution des atomes lents.

Cependant, comme nous allons le voir, ceci présuppose que le prol spatial d'intensité soit uniforme dans la zone d'interaction, ce qui n'est pas exactement vrai dans notre cas vu le prol gaussien du faisceau dans la cavité.

En eet, les atomes les plus rapides ont été excités dans une région de plus faible intensité lumineuse, et donc avec une probabilité moindre (voir g. 4.14, p.139). Ils contribuent donc moins au signal que dans le modèle en 1

v. Nous allons calculer cet eet, qui est à l'origine d'un déplacement systématique de la raie.

L'extension de la zone de détection le long de l'axe de la cavité de surtension xd est d'environ 6,5 mm, tandis que la longueur de Rayleigh zR est de 35 mm. Pour des atomes lents, l'approximation d'une densité de photons UV, et donc d'une probabilité de transition à deux photons uniforme ne pose pas problème. Néanmoins, pour des atomes rapides (5 km/s

Figure 4.13: A gauche : uorescence totale intégrée (n=3, σ=1.55 km/s) en champ nul (trait plein) et à 181 G (pointillés). A droite : contributions des deux sous-niveaux Zeeman 1S à 181 G. La contribution en trait plein est celle de mF = 1 tandis que le trait pointillé représente

m_F = −1, couplé au niveau 3P . Le zéro des abscisses est toujours la position à vitesse nulle. par exemple), le temps de transit dans la zone d'interaction est de 2,6 µs, et devient donc comparable au temps passé par l'atome dans l'état excité (1 µs). Comme l'eet Doppler du second ordre doit être déterminé avec une bonne précision, il est nécessaire d'évaluer au mieux l'inuence sur les atomes rapides du temps de transit.

Le taux de transition à deux photons s'écrit sous la forme [9] : Γ_2ph = ^n2ω2 ²2 0~2|^X r < e|D.²|r >< r|D.²|g > ω − ω_er ^| 2 Γ_e (2ω − ω_eg)2+ (Γe 2 )2 (4.11)

où |g > et |e > sont les états reliés par ce taux de transition (avec ~ωeg = E_e− E_g), n est le nombre de photons par unité de volume dans un des sens de propagation, |r > représente n'importe quel niveau relais d'énergie Er (tel que ~ωer= E_e− E_r), Γe est la largeur naturelle du niveau excité |e >, D est l'opérateur associé au moment dipolaire électrique et ² est le vecteur polarisation de l'onde laser incidente de fréquence ω

2π.

Il est donc en un point de l'espace proportionnel au carré de la densité volumique de photons, et décrit une probabilité d'excitation par unité de temps.

La probabilité pour un atome de vitesse v se déplaçant le long de l'axe de la cavité (noté Ox et orienté dans le sens de la vitesse des atomes) d'être excité vers l'état 3S entre les abscisses x et x + dx, où il demeure pendant un temps dt = dx

v vaut donc :

dPx→x+dx= Γ_2ph(^dx

Figure 4.14: Schéma du processus d'excitation et de uorescence pour un atome rapide. Pour un atome lent, l'excitation vers le niveau 3S et l'émission du photon de uorescence se passent presque au même point de l'espace. Si l'extension de la zone de détection utile le long du jet atomique est de 2xd, alors la probabilité de détection Pdet de cet atome est de la forme :

Pdet = a2x_d^Γ2ph

v (4.13)

où a est un facteur rendant compte de l'ecacité de collection et de détection. On retrouve donc la situation habituelle.

Supposons maintenant que l'atome ait une vitesse susante telle que les lieux d'excitation vers l'état excité et d'émission du photon à 656 nm dièrent susamment pour que l'atome explore des régions d'intensités UV diérentes. Ceci sera le cas dès que le trajet eectué dans l'état 3S est comparable à la longueur de Rayleigh zR de la cavité (voir g. 4.14). On peut admettre que jusqu'à des distances de l'axe de la cavité de quelques centaines de microns, la densité volumique d'atomes Nat dans le jet est uniforme, et leur vitesse colinéaire à Ox. On notera nat(v)dvla densité volumique d'atomes dont la vitesse est comprise entre v et v + dv. Le rayon du jet est limité, si l'on néglige sa divergence, par un diaphragme de rayon R (1 mm). On pourra négliger les événements où un même atome subit plusieurs cycles de uorescence, vu la faible probabilité d'en réaliser un seul. On se place en coordonnées cylindriques (r, θ, x), et on aura symétrie de révolution.

I(r, x) = ^I00 w2(x) ^e

− 2r2

w2(x) (4.14) où I00 est l'intensité du faisceau à son col et sur l'axe, tandis que w(x) est le rayon du faisceau à l'abscisse x :

w(x) = w₀

r 1 + ( ^x

z_R⁾² (4.15)

Or la probabilité de transition varie comme le carré de la densité de photons, donc :

Γ_2ph(r, x) = αI(r, x)² (4.16)

où α s'exprime en fonction des autres constantes du problème.

On peut donc calculer la probabilité d'excitation pour les atomes de vitesse v allant de x à x + dx : dPx→x+dx(x, v) = R_+∞ r=0 2πrdr Γ_2ph(r, x)dt πR2 (4.17) dPx→x+dx(x, v) = ^αI 2 00 R2w4 dx v Z _+∞ r=0 2 re^−4r2w2dr (4.18) dPx→x+dx(x, v) = ^αI002 4R2 w2(x) dx v (4.19) dPx→x+dx(x, v) = dPx→x+dx(x = 0, v) 1 + (_z^x R)2 (4.20)

Il faut maintenant se demander d'où proviennent les atomes qui uorescent dans la zone de détection. Le temps passé dans l'état excité 3S étant donné par l'inverse de la largeur naturelle (τe = 1µs), un atome qui émet le photon de uorescence à l'abscisse xF, à dxF près, est passé dans l'état excité en xF − vτ_e, là où sa probabilité d'excitation était dPx→x+dx(x_F − vτ_e, v). On peut donc calculer la probabilité P pour une classe de vitesse v d'émettre un photon de uorescence à l'intérieur de la zone de uorescence. On aura dxF = dxcar lors de l'absorption des deux photons contra-propageants l'impulsion n'est pas modifée :

P(v) = Z _xd −xd dPx→x+dxF(x_F − vτ_e, v) (4.21) P(v) = ^dPx→x+dx_dx^{(x = 0, v)} Z _xd −xd dx_F 1 + (^xF−vτe zR )2 (4.22) P(v) = ^αI00² 4w2 0R2 1 v ^zR[arctan( x_d− vτ_e z_R ^{) + arctan(} x_d+ vτ_e z_R ^)] (4.23)

On retrouve pour les atomes lents (xd, vτ_e ¿ z_R) le facteur en 1

Figure 4.15: Evolution de g en fonction de la vitesse des atomes dans notre conguration expérimentale (zR=35 mm, xd=6,5 mm).

Pdet= aP ' a 2xddPx→x+dx(x = 0, v)

dx ^{= a 2xd}

Γ_2ph(x = 0)

v (4.24)

Examinons enn l'ordre de grandeur de cette correction. On peut réécrire P(v) en utilisant la fonction g(v), c étant une constante :

P(v) = c ^g(v)_v (4.25) g(v) = ^zR[arctan( xd−vτe zR ) + arctan(^xd+vτe zR )] 2x_d (4.26)

Tout d'abord, on remarque que g(0) 6= 0 :

g(0) = ^zR

x_d ^arctan( x_d

z_R⁾ (4.27)

Ceci est dû à la nature gaussienne du faisceau, mais n'a aucune conséquence sur le prol de raie puisque ce facteur s'élimine lors de la normalisation. Par contre, la dépendance vis à vis de la vitesse des atomes est intéressante (voir g. 4.15). On constate que pour les atomes du jet à température ambiante, dont la vitesse est supérieure à 5 km/s, la probabilité de transition est réduite de plus de 2 %. La forme du facteur de correction en 1

v est donc légèrement altérée. Le véritable prol de raie s'obtient donc ainsi :

R(ω, B, σ) = a

Z _+∞

0

g(v)

v ^{fn(v, σ)F (ω, B, v)dv} (4.28)

Nous avons estimé les modications de cet eet systématique sur le déplacement Stark motionnel (voir g. 4.16), qui sont de l'ordre du kHz, et donc pas complètement négligeables au niveau de précision nécessaire. Ce type de modication apparaît dès que le temps de transit

Figure 4.16: Evolution en champ magnétique de la correction à la position de la raie due au caractère gaussien du faisceau, pour n = 3 et σ = 1, 55 km/s. Pour la même distribution de vitesse des atomes, le décalage Doppler est réduit.

n'est plus très grand devant le temps de vie de l'état excité et que la zone d'interaction n'est pas de dimension négligeable devant la longueur de Rayleigh.