Géométrie considérée et conditions aux limites

Le domaine est représenté à la figure 2.19. Un demi-cercle représentant la bulle, de dia­

mètre unitaire, est placé au centre d'un domaine semi-circulaire. Le diamètre du domaine est

10 fois plus grand que celui de la bulle.

Entrée du domaine

Nous considérons que le liquide entre par la partie supérieure du domaine. Une vitesse

uniforme verticale dirigée vers les z négatifs est appliquée. Les concentrations adimensionnelles

correspondent à celles du bulk :

û = 0,û = —1 (2.126)

a = a, 6 = 1, c = 1, d = 1 (2.127)

Sortie du domaine

La sortie du liquide est située dans le bas du domaine. Nous considérons que la composante

normale des contraintes adimensionnelles s'annule à cet endroit. Nous écrivons donc ;

^-^-l-^f^ n = 0 (2.128)

où f = ^Vû-l-^Vüj ^ est le tenseur des contraintes visqueuses adimensionnelles, I est le

tenseur unité et n est le vecteur unitaire normal à l'interface délimitant la sortie du domaine.

Nous supposons qu'il n’y a pas de flux diffusif normal à l'interface délimitant la sortie du

domaine. Par conséquent, nous y appliquons les conditions suivantes :

2 . Modélisation du transfert gaz-liquide couplé aux réactions chimiques dans

l’écoulement de liquide autour d’une bulle 39

Surface de la bulle

A la surface de la bulle, seul le CO2 peut diffuser au travers de l'interface bulle-liquide. Sa

concentration est supposée uniforme et en équilibre avec le gaz. Le flux des autres espèces est

nul. Par conséquent, nous appliquons les conditions suivantes à la surface de la bulle :

n • ^{/3c Vc}

a = 1

+ cû =0 n •

Pe

Pe / V

où n est le vecteur unitaire normal à la surface de la bulle.

-|-dû

= 0,

I =0 (2.130)

Du point de vue du transport de la quantité de mouvement, nous pouvons appliquer deux

types de conditions aux limites, selon qu'on considère une interface propre ou complètement

contaminée.

Dans le cas d'une bulle dont l'interface est complètement contaminée, celle-ci se comporte

comme une sphère rigide. Une condition d'adhérence du liquide à l'interface est donc appliquée :

ü = 0 (2.131)

Dans le cas d'une bulle dont l'interface est propre, une condition de glissement est appliquée.

La composante normale de la vitesse et de la contrainte de cisaillement s'annulent à la surface

de la bulle :

n û = 0, t •n = 0 (2.132)

2.5.4 Résolution

Maillage

Un maillage quadrangle concentrique est utilisé. L'orthogonalité des mailles est un critère

de qualité du maillage [49, 50]. Lorsqu'un maillage quadrangle est utilisé, nous observons que

la résolution numérique est plus stable et que la convergence est plus rapide.

Dans la zone près de la bulle, un maillage plus dense que dans le restant du domaine est

utilisé, comme illustré à la figure 2.20.

A cette fin, nous définissons dans un premier temps deux sous-domaines distincts : un sous-

domaine au voisinage de la bulle et un autre correspondant au restant du domaine. L'union

des deux sous-domaines forme le domaine complet.

L'épaisseur du sous-domaine en contact avec la bulle correspond à 0,05 fois le diamètre de

la bulle. Il peut être montré que l'épaisseur de la couche limite de diffusion, normalisée par le

diamètre de la bulle, peut être approchée par l/\/Pë. La plus petite valeur de Pe utilisée pour

les simulations est de 5000. La couche limite de diffusion normalisée ne s'étend donc jamais

au-delà de cette zone où le maillage est plus dense.

Pour générer le maillage, les frontières de la géométrie sont préalablement maillées, comme

représenté à la figure 2.21.

392 points régulièrement espacés sont disposés sur la circonférence du demi-cercle repré­

sentant la bulle. La taille de maille dimensionnelle correspondante est, dès lors, d'environ 4

//m.

2 . Modélisation du transfert gaz-liquide couplé aux réactions chimiques dans

l’écoulement de liquide autour d’une bulle 40

En regard des points sur la bulle, 392 points régulièrement espacés sont également dispo­

sés sur le demi-cercle séparant les deux zones et sur le demi-cercle représentant la limite du

domaine.

Sur l’axe de symétrie, dans la zone en contact avec la bulle, 30 points sont définis au-

dessus de la bulle, ainsi qu'en-dessous de la bulle. Une progression linéaire est appliquée pour

que l'espacement entre les points s’agrandisse en s’éloignant du centre de la bulle. Le facteur

de progression linéaire est de 3.

De même, sur l’axe de symétrie mais à l’extérieur de la zone en contact avec la bulle,

80 points sont définis au-dessus et en-dessous de la bulle, avec une progression linéaire en

s’éloignant du centre de la bulle. Le facteur de progression est de 9.

Ces paramètres conduisent à un maillage comportant 43120 éléments. L’épaisseur adimen­

sionnelle du plus petit élément, qui est en contact avec la bulle, est de 8,3 10“'*.

Ce choix des paramètres de maillage est un compromis. D’une part, il faut que le maillage

soit suffisamment dense pour réaliser une bonne estimation des différentes grandeurs, en parti­

culier dans la zone au voisinage de la bulle. D’autre part, le nombre de mailles ne doit pas être

trop grand pour que le solveur puisse converger et que le temps de calcul reste raisonnable.

Procédure de simulation

Ces systèmes d’équations sont résolus numériquement à l’aide du logiciel COMSOL Multi-

physics 3.4. Les modes Convection et Diffusion et Navier-Stokes Laminaire du module Génie

Chimique sont utilisés.

Nous supposons que le transfert de matière et les réactions chimiques qui l’accompagnent

n’ont pas d’influence sur l’écoulement du liquide. Les équations de transport de la quantité de

mouvement et du transport de matière sont résolues séparément.

L’écoulement est d’abord déterminé en absence de transfert de matière. Seules les équations

(2.107) et (2.108) sont résolues. Le solveur a besoin d’une estimation initiale des champs de

vitesse et de pression de l’écoulement pour pouvoir résoudre ces équations. Nous utilisons

comme estimation initiale la condition suivante :

û = 0,û = 0,p = 0 (2.133)

Une fois l’écoulement résolu, celui-ci est enregistré.

Ensuite, le problème de diffusion-convection est résolu en absence de réaction chimique.

Les équations (2.109), (2.110), (2.111) et (2.112) sont résolues avec n = 0 et r2 = 0.

Le solveur a besoin d’une estimation initiale des champs de concentration pour pouvoir

résoudre ces équations. Nous utilisons comme estimation initiale les champs de concentration

initiaux donnés par les équations en (2.127).

Les termes de transport par convection dans les équations (2.109), (2.110), (2.111) et

(2.112) sont estimés en fonction de l’écoulement déterminé (les champs de û et v) à l’étape

précédente.

Une fois calculés, les champs de concentration, solution du problème de diffusion-convec­

tion, sont sauvegardés.

Enfin, le problème de diffusion-convection-réaction est résolu, en utilisant l’écoulement

déterminé à la première étape et les champs de concentrations déterminés à la deuxième étape

comme champs de concentration initiaux.

2 . Modélisation du transfert gaz-liquide couplé aux réactions chimiques dans

l’écoulement de liquide autour d’une bulle____________________________________ 41

Les équations (2.109), (2.110), (2.111) et (2.112) sont résolues avec ri et f

2

calculés

respectivement par les équations (2.115) et (2.116).

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