Frontière entre régime d’ancrage transitoire et régime d’ancrage permanent 61

d* t* 150⁰ 200 250 300 0.5 1 1.5 2 We h(d,t r ) / a

Figure 2.14 – Gauche : Temps de rencontre entre lamelle et défaut, t^∗_d, temps de recou-vrement du défaut adimensionné, t^∗_r en fonction de la distance radiale d^∗. Droite : Épaisseur de la lamelle au temps de recouvrement, h(t^∗r, d^∗), adimensionnée par l’épaisseur du défaut, a, en fonction du nombre de Weber. valeur moyenne de l’épaisseur adimensionnée égale à1, 06. Les impacts sont en régime d’ancrage transitoire sur un défaut de 88μm.

de recouvrement comprises entre 0, 7a et 1, 7a, où a est l’épaisseur du défaut. Si l’on considère la valeur moyenne, on obtient h(t^∗r, d^∗) = 1, 06a, très proche de a. De plus les résultats n’ont pas l’air de varier avec le nombre de Weber, comme attendu. Notre argument semble donc renforcé par l’étude des temps de recouvrement pour les régimes d’ancrage transitoire. Nous allons donc voir si le modèle d’épaisseur de la lamelle ne parvient pas aussi à expliquer la transition entre régime d’ancrage transitoire et régime d’ancrage permanent.

2.4.3 Frontière entre régime d’ancrage transitoire et régime d’ancrage

permanent

Comme nous venons de le voir, le fait que la lamelle finisse par recouvrir le défaut dans le régime d’ancrage transitoire est associé à une croissance de l’épaisseur pendant le temps d’ancrage. Le dépiégeage vers un recouvrement du défaut par la lamelle intervient alors lorsque l’épaisseur de celle-ci excède la hauteur du défaut. Pour des raisons de conservation du volume, cette croissance temporelle de l’épaisseur à position radiale fixée est nécessairement bornée et il devrait donc y avoir un maximum temporel d’épaisseur. C’est d’ailleurs ce que Vernay [45] a caractérisé expérimentalement dans une situation d’impact sur cibles. Ainsi si un défaut est suffisamment épais, il peut sans doute excéder le maximum d’épaisseur atteignable pour la lamelle de fluide et irrémédiablement bloquer l’avancée de la lamelle dans un régime d’ancrage permanent. Il convient donc de considérer les variations temporelles de l’épaisseur de fluide à distance fixée.

Profil temporel de l’épaisseur de fluide à différentes distances fixées

Nous pouvons tracer l’allure de l’épaisseur de la lamelle de l’Équation 1.8 en fonction du temps pour différentes distances radiales sur la Figure 2.15. Il apparaît ainsi très clairement que

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

h(t*,d*)

t*

Figure 2.15 – Profil d’épaisseur issu de l’expression de type Eggers-Lastakowski (équation 1.8), en fonction du temps adimensionné, t^∗ pour différentes distances radiales, d^∗ : d^∗ = 1,

d^∗ = 1, 25, d^∗ = 1, 5, d^∗ = 1, 75, d^∗ = 2, d^∗ = 2, 25, d^∗ = 2, 5, d^∗ = 2, 75, d^∗ = 3 et maximum temporel de l’épaisseur.

le modèle d’épaisseur que nous avons utilisé présente bien un maximum temporel, dont la valeur dépend de la distance radiale d^∗. De ce fait, lorsque la lamelle rencontre le défaut elle continue initialement à s’épaissir avant de passer par un maximum qui précède une phase ultérieure d’amincissement. Si l’épaisseur maximale de la lamelle est plus fine que celle du défaut, alors aucun recouvrement ne peut être espéré, par analogie avec les considérations déjà présentées sur les conditions de franchissement du défaut.

En revanche si le défaut se trouve dans une gamme intermédiaire, plus épais que la lamelle au moment de sa rencontre avec cette dernière, mais plus fin que le maximum temporel d’épais-seur à la distance radiale du défaut, alors on s’attend à ce que la lamelle finisse par recouvrir le défaut. Nous avons déjà observé cette situation lors de l’étude de l’épaisseur de la lamelle au temps de recouvrement dans un régime d’ancrage transitoire.

Pour déterminer la frontière du régime d’ancrage permanent, il nous reste donc à considérer l’épaisseur maximale que la lamelle peut atteindre à une distance fixée.

Maximum temporel d’épaisseur de la lamelle en fonction de la distance radiale Nous allons désormais expliciter ce maximum. Si l’on dérive l’expression du modèle d’épais-seur selon la coordonnée temporelle, on arrive à une expression du temps auquel l’épaisd’épais-seur atteint son maximum, donnée par :

∂h^∗ ∂t = ^{2 × 3, 19 (t} ∗+ 1)^93r^∗2− (t∗+ 1)^2  0, 6r^∗2+ (t^∗+ 1)^{27 = 0.} (2.2) On aboutit à la relation t^∗_max=√ 3r^∗− 1, (2.3)

de laquelle on déduit l’épaisseur maximale en fonction de la distance :

h^∗_max(r^∗) = ^{3, 19}

3 × 1, 26 r^∗2 ≈ ^{0, 356}

r^{∗2 . (2.4)}

Ainsi, il existe une distance critique d^∗₂pour laquelle l’épaisseur maximale atteinte par la lamelle est égale à l’épaisseur a du défaut considéré. En considérant comme précédemment que le franchissement du défaut par la lamelle ne peut intervenir que quand l’épaisseur de celle-ci est supérieure à la hauteur du défaut, cette distance critique constituerait la limite du régime d’ancrage permanent.

Confrontation aux données expérimentales

Les tracés de hmax/a permettent de comparer le critère théorique de transition de régimes

aux données expérimentales sur la Figure 2.16. Par construction les points suivent la courbe d’équation ^hmax

a = ^R0

a

0,356

d∗2 qui découle de l’Équation 2.4. La distance critique d^∗₂, pour laquelle

h_max(d^∗2) = a est reportée sur la Figure 2.16. Les impacts en régime d’ancrage transitoire se concentrent sur les distances inférieures à d^∗₂, tandis que les impact en régime d’ancrage permanent ont lieu pour des distances supérieures à d^∗₂.

Distance critique d^∗₂

De même que précédemment pour l’épaisseur de la lamelle à la rencontre avec le défaut, on peut reporter la distance critique d^∗₂ sur le diagramme de régimes (Figure 2.17). Ce critère comparant épaisseur maximale de la lamelle et hauteur du défaut apparaît en très bon accord avec la frontière de la transition entre régimes d’ancrages transitoire et permanent, tant sur la valeur de la distance critique à laquelle la transition est observée que sur le fait que celle-ci est indépendante du nombre de Weber caractérisant l’impact.

2.4.4 Influence de l’épaisseur du défaut, a

Comme nous venons de le voir précédemment, nous avons proposé pour les différents ré-gimes d’étalement de la lamelle en présence d’un défaut, des critères fondés sur une comparaison

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

d* ^d*2

h (d*)>a

h (d*)<a

max

h (d*)/a

Figure 2.16 – Rapport entre le maximum temporel d’épaisseur de lamelle de fluide à la position radiale du défaut, hmax(d^∗), et l’épaisseur du défaut a, en fonction de la distance adimensionnée d^∗. Les échelles sont logarithmiques pour l’axe des ordonnées et linéaire pour l’axe des abscisses. La distance critique d^∗₂ est reportée en pointillés noirs. régime doubles paires, régime de

recouvrement, régime d’ancrage transitoire, régime d’ancrage permanent.

entre hauteur de défaut et épaisseur de la lamelle. Pour éprouver plus avant la pertinence et la robustesse de ce raisonnement, il est dès lors naturel d’explorer expérimentalement différentes épaisseurs de défaut. C’est ce que nous présentons ici.

Épaisseur de lamelle à la rencontre avec le défaut

La figure 2.18 regroupe les résultats expérimentaux issus d’impacts sur une série de dé-fauts différents, pour lesquels nous avons déterminé à chaque fois le régime d’étalement de la lamelle. Afin d’éprouver notre critère de transition entre les régimes recouvrant et d’ancrage transitoire, nous présentons les courbes d’épaisseur de lamelle adimensionnées par l’épaisseur de chaque défaut au temps de rencontre avec le défaut (Figure 2.18). On remarque que le critère de transition entre régime de recouvrement et régime d’ancrage transitoire (h(t^∗d, d^∗)/a = 1)

0 50 100 150 200 250 300

0

1