Épaisseur de la lamelle

Dans l’approximation de lubrification les interfaces sont considérées comme planes. La condition de continuité de vitesse à l’interface supérieure peut alors s’écrire sous la forme :

Figure 1.14 – Extrait de [35]. Quotient r∗

v∗ en fonction de t^∗, où r^∗ est la coordonnées radiale et

v^∗ la vitesse mesurée pour des vitesses d’impact de 1m/s, 2m/s, 3m/s et 4m/s. t^∗ est le temps adimensionné. droite d’équation y= t^∗+ 1.

Dh

Dt = vz. (1.4)

Or on peut remplacer vz par son expression pour z= h et aboutir à Dh

Dt = −2h

t + τ^{. (1.5)}

On introduit une variable qui demeure constante avec le temps, notée X. Par intégration, on obtient la décroissance temporelle du profil d’épaisseur selon la fonction H0 qui rend compte du profil spatial d’épaisseur par la variable X.

h(X, t) = ^τ

2

(t + τ )2H0(X).

Il reste à déterminer X, une grandeur qui se conserve dans la lamelle au cours du temps. Physiquement, on a déjà caractérisé que la vitesse du fluide en écoulement libre était de dérivée temporelle lagrangienne nulle. Cependant, on aurait aussi pu introduire l’énergie cinétique avec le carré de la vitesse. On aboutit ainsi à la dépendance communément admise [18, 30, 31, 43, 88] que l’on exprime de manière adimensionnée

h^∗(r^∗, t^∗) = ^A (t^∗+ α)2F _r∗ t^∗+ α  , (1.6) où h^∗ = h/R0 , r^∗ = r/R0, t^∗ = t/τ avec τ = R0

U0. A est un préfacteur déduit des mesures et le terme α rend compte du temps à partir duquel le modèle de lamelle est valide. La fonction

F rend compte des variations radiales d’épaisseur selon la variable de vitesse qui illustre le

caractère autosimilaire du profil. Plusieurs modèles ont été proposés² selon la formule par laquelle on approche le profil d’épaisseur de la lamelle. On peut entre autre citer :

• Eggers :

h^∗(r^∗, t^∗) = ^{2, 16}

(t^∗+ 1)2 · ¹

1 + 0, 625^_t∗^r₊₁^∗

₂^6.

Ici on peut considérer que l’invariant lagrangien introduit dans le profil autosimilaire est l’énergie cinétique traduite par la variable

r∗

t∗₊₁

₂

. Le profil autosimilaire est approché par une fonction du type F(X) = ¹

(1+C·X2)^{6. Ce modèle est issu de simulations d’impacts sur surface} solide sans contrainte tangentielle à la base de la goutte [31]. Les travaux mettent davantage l’accent sur le caractère autosimilaire du profil d’épaisseur que sur la valeur du préfacteur

A. D’ailleurs l’estimation n’est valide qu’une fois le régime d’écoulement libre atteint, c’est

pourquoi le modèle diverge de la valeur physique A= h∗(0, 0) = 2 au moment de l’impact de la goutte sphérique. • Lastakowski : h^∗(r^∗, t^∗) = ^{3, 19} (t^∗+ 1)2 ·  ¹ 1 + 0, 6^_t∗^r₊₁^∗ ₂^6.

Ce modèle mesuré expérimentalement par Lastakowski et al. [35] valide le profil proposé par Eggers et al.. Des mesures de l’épaisseur centrale de la goutte au cours du temps permettent de définir la valeur A= 3, 19. • Roisman : h^∗(r^∗, t^∗) = ^{3, 12} (t^∗+¹₂)2 · exp ⎛ ⎝−2, 34 · r^∗ t^∗+¹_{2 2}^⎞ ⎠_.

Ce modèle s’appuie sur des simulations d’impacts symétriques de deux gouttes afin de s’af-franchir des contraintes de cisaillement [30]. Ici le champ de vitesse suggéré est exprimé selon nos échelles caractéristiques comme v^∗ = _t∗^r₊^∗1

2

, en d’autres termes, α = ¹₂. Cela implique que l’écoulement libre s’instaure plus tôt lors de l’impact, à τ /2 et non τ . Encore une fois, l’inva-riant lagrangien considéré s’apparente à l’énergie cinétique, puisqu’il apparaît comme le carré de la vitesse. Dans ce modèle, le profil autosimilaire de vitesse est approché par une fonction de la forme F(X) = exp (−aX2). Le préfacteur A = 3, 12 est très proche de celui du modèle de Lastakowski puisque l’écart entre les deux préfacteur s’élève à2%.

2. On adapte les préfacteurs des modèles proposés en les multipliant par 8 lorsque les grandeurs caracté-ristiques sont exprimées selon D₀, U₀et t₀= D0

• Wang-Bourouiba :

h^∗(r^∗, t^∗) = ¹

t^∗2 · ⁴

12(^r_t^∗∗)³− 12(r∗

t∗)²+ 9(^r_t∗^∗)^.

Ce modèle s’appuie sur des données expérimentales d’impact sur cible [89] incluant les données issues de [29] aussi réalisées sur cible. Les mesures considérées étant réalisées à des temps longs devant le temps caractéristique τ , le terme α dans l’expression du champ de vitesse est ici négligé et s’écrit alors v^∗ = ^r_t∗^∗. Le profil autosimilaire est approché par une fonction de la forme F(X) = _a1X+a2X¹2+a₃X3. Ce profil, contrairement aux précédents, ne permet pas d’extrapoler directement la valeur du préfacteur A rendant compte de l’épaisseur centrale. En effet, la fonction F n’est pas définie à l’origine. Cela se justifie par ailleurs car la zone d’intérêt du modèle se situe autour de la cible.

Épaisseur centrale

Pour les modèles d’Eggers, de Lastakowski et de Roisman la fonction F est définie au centre de la goutte et F(0) = 1. Cela permet de définir une épaisseur au centre de la lamelle sous la forme h^∗_c = _(t∗_+α)^A 2 où le préfacteur, A, peut être mesuré. On peut comparer ces modèles aux travaux expérimentaux de Lagubeau et al. [37] qui aboutissent à l’expression suivante pour l’épaisseur au centre : h^∗_c = A ·  _r∗ t^∗+ α 2 où A= 3, 936 ± 0, 240 et α = 0, 858 ± 0, 066.

La valeur de l’épaisseur centrale permet de comparer les modèles quantitativement. Comme on l’a dit précédemment, les différentes expressions ne sont pas valables aux temps courts, puisque la description d’une lamelle siège d’un écoulement inertiel n’est pas encore valide et que l’épaisseur suit un profil de chute libre h^∗_c = 2 − t^∗ aux premiers instants de l’impact.

Le modèle d’Eggers donne l’estimation la plus faible, avec F(0) = 2, 16. Pour les modèles de Lastakowski, Roisman et Lagubeau, les mesures d’épaisseur au centre donnent des préfacteurs

A proches les uns des autres ; respectivement 3, 19 ; 3, 12 et 3, 96. Cependant, pour les modèles

de Roisman et Lagubeau, le terme α, qui rend compte du temps à partir duquel le modèle de lamelle est valide, est inférieur à 1. Or les mesures expérimentales de champ de vitesse réalisées par Lastakowski tendent à montrer que α= 1 (voir Figure 1.14).

Le modèle de Roisman, approchant le modèle de Lastakowski, n’a pas été vérifié expéri-mentalement. Le modèle de Wang-Bourouiba s’appuie sur des expériences d’impacts sur cibles ce qui induit des contraintes visqueuses dans la zone centrale contrairement aux impacts en caléfaction. De plus sa plage temporelle de validité est éloignée des temps de l’ordre de τ alors que nous serons amenés à estimer des épaisseurs à des temps comparables à τ . Il ne sera donc pas retenu. Quant à l’estimation de Lagubeau, elle correspond à des impacts mouillants sur une plage temporelle suffisamment restreinte avant que les effets visqueux n’entrent en jeu et qu’une couche limite visqueuse ne se développe, ce qui limite sa pertinence dans notre cas.L’expression

proposée par Lastakowski, qui ne diffère de celle de Eggers et al. que par un pré-facteur, a été vérifiée expérimentalement sur notre montage, dans la gamme de temps correspondant à nos expériences, comme le montre la Figure 1.15. C’est donc celle que nous choisirons ici comme référence.

Figure 1.15 – Courbes extraites de [35]. a)Épaisseur centrale adimensionnée par R0 en fonc-tion du temps adimensionné par τ = R0/U0 en échelle logarithme selon les deux axes. Courbe d’équation _(t∗^3,19₊₁₎₂. b) Profils radiaux d’épaisseur adimensionnée par hc selon l’invariant lagran-gien √r∗

h∗

c

à différents instants. En rouge le profil de Lastakowski, en pointillés bleus le profil de Lagubeau renormalisé par l’épaisseur centrale mesurée par Lastakowski. Les impacts se font à des vitesses entre1 m/s et 4 m/s pour des gouttes d’éthanol de rayons compris entre 0, 8 mm et 1, 8 mm.

Limites à temps courts et à temps longs

On peut par ailleurs citer deux autres modèles d’épaisseur qui correspondent à des déve-loppements à temps longs et à temps courts des modèles précédemment cités :

• Modèle de Rozhkov :

h^∗(r^∗, t^∗) = 0, 304 ^t ∗

r^∗3.

Ce modèle s’appuie sur des simulations [41] et est valide sur une courte plage temporelle, lors de la progression de la lamelle. On note qu’à rayon fixé, le profil d’épaisseur augmente linéairement avec le temps. Il s’agit de l’asymptote à temps courts du modèle de Wang et al..

• Modèle de Villermaux :

h^∗(r^∗, t^∗) = ² 3

1

r^∗t^∗.

Ce modèle théorique [43] correspond à un profil à temps longs du Modèle de Wang et al.. Les deux limites ont été comparées quantitativement à des expériences d’impact sur cible par Vernay et al. [29]