Pour décrire l’avancée du bourrelet, nous allons d’abord nous intéresser à sa dynamique à temps courts et essayer d’extrapoler un profil d’avancée valide sur toute la plage temporelle d’étalement de la lamelle. Nous avons vu dans le Chapitre 1 Partie 1.5 différentes estimations de la dynamique à temps courts. Nous avons alors réalisé des impacts en régime de Leidenfrost dynamique pour faire nos propres mesures et comparer nos résultats à la littérature [47, 5, 4, 6]. Nous considérons dans un premier temps l’avancée du col, puis celui du bourrelet, au bord de la lamelle.
2.3.1 Avancée du rayon du col
Les impacts représentés sur la Figure 2.7 ont été filmés en vue latérale avec un éclairage à contre-jour. On rappelle aussi sur les clichés les définitions du rayon du col rn et du rayon de la lamelle r explicitées au Chapitre 1, Partie 1.5.
r
rn
a) b)
1mm
Figure 2.7 – Impact à U0 = 1, 18 m/s et We= 72 avec un intervalle temporel entre images de 33 μs. a) Repérage de rn, l’extension radiale du col. b) Repérage de r, l’extension de l’extrémité apicale de la lamelle.
Riboux et Gordillo tout comme Philippi et al. [4, 5] estiment l’avancée de la ligne de contact lors d’impact mouillant sans viscosité par r∗ =√
3t∗1/2, comme prédit par la théorie de Wagner [2]. On rappelle que Riboux et al. [6] ont montré que le rayon de la zone mouillée d’un impact sur surface lisse est équivalent au rayon du col dans un régime de Leidenfrost. Nous allons donc comparer nos résultats à ces estimations.
Résultats sur notre dispositif en caléfaction
Sur une série d’impacts, on relève le rayon du col, rn, à partir des films présentés en Figure 2.7. Les tracés de r∗n, distance du col adimensionnée par R0, en fonction du temps adimensionné par τ , t∗, sont présentés sur la Figure 2.8. Il existe (comme chez Rioboo et al. [47]) une incertitude conséquente sur le temps du contact de la goutte avec la plaque qui peut s’élever
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
*r
n*We
a/
3
0 100 200 300 0 0.5 1 1.5Figure 2.8 – : distance radiale adimensionnée du col, r∗n = rn/R0 en fonction du temps adimensionné, t∗ = t/τ pour 22 impacts à nombre de Weber variant de 20 à 255. : Ajustement sur l’ensemble des points expérimentaux de la forme y = a√
t∗ avec a= 1, 728 et un coefficient de corrélation r= 0, 986. L’encadré représente les valeurs du ratio a/√
3 pour des ajustements du type r∗n= a√
t∗− t∗
0 sur chaque impact.
jusqu’au temps entre deux images consécutives obtenues lors de l’acquisition (Δt = 33 μs, ce qui représente jusqu’à 0, 08τ pour les impacts aux plus hautes vitesses). Pour quantifier l’écart entre le temps de référence sur les films et le temps de contact effectif, on réalise des ajustements de la forme y = a√
t∗− t0 où a et t0 sont calculés. Ainsi, pour chaque impact, on translate les valeurs temporelles de t0 pour intégrer la correction temporelle aux tracés affichés sur la Figure 2.8. Après vérification, la correction temporelle |t0| s’avère être toujours inférieure à 0, 06τ, ce
qui est cohérent avec un biais temporel dû à l’acquisition. Interprétations des résultats de la dynamique du col
Les courbes d’avancée temporelle du rayon du col, r∗n, en fonction du temps, t∗, se super-posent sur une même courbe maîtresse pour les 34 impacts réalisés sur la plage de nombre de Weber de 20 à 255. Cela atteste du caractère autosimilaire de l’avancée du col et donc que l’on se trouve bien dans un régime cinématique. La courbe maîtresse est en parfait accord avec une équation du type r∗n =√
3t∗, puisque le coefficient, a = 1, 728 est très proche de √
3 ≈ 1, 732. Ainsi la dynamique du col est en parfait accord avec la théorie de Wagner, tout comme les résultats de Philippi et al. [5] ainsi que ceux de Riboux et Gordillo [4]. Cependant, dans nos problèmes d’impacts sur défaut unique, il nous faut considérer non pas l’avancée du col mais
plutôt celle de la lamelle, ce à quoi nous allons maintenant nous intéresser.
2.3.2 Avancée du bord de la lamelle
On a vu au Chapitre 1, Partie 1.5 une estimation de l’avancée de la lamelle selon les travaux de Riboux et Gordillo [4, 85]. Riboux et Gordillo [85] approchent la lamelle par un jet libre éjecté au temps t∗e = We−2/3 et progressant à la vitesse du col correspondante ve∗ = √3
2√
t∗e. Nous présentons nos résultats sur les mêmes trente-quatre impacts balayant la plage de nombre de Weber de20 à 255 sur la Figure 2.9.
0 100 200 300 0.4 0.5 0.6 0.7 We n 0.05 0.07 0.1 0.15 0.2 0.3 1 1.5 2.0 2.5 3 r*(t*=0,05) r* t* 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5 0 .3 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .6 t * r * 2 7 1 9 5 1 7 6 9 8 1 2 2 1 4 0 1 6 0 1 9 3 2 6 0 0,6 0,5 a) b) c)
Figure 2.9 – a) Rayon de la lamelle adimensionné, r∗ = r/R0 en fonction du temps adimen-sionné t∗ = t/τ . Chaque courbe est une moyenne de 2 à 4 impacts autour des valeurs de Weber affichées en légende sur la figure. b) Rayon adimensionné par la valeur du rayon à t∗ = 0, 05 en fonction du temps t∗ en échelles logarithmiques. c) Exposants des lois de puissance obtenus à partir des ajustements réalisés sur chacune des courbes de a) et b).
Interprétations des résultats de la dynamique du bord de la lamelle
On réalise des ajustements à exposant flottant sous la forme y = a (t∗− t0)n où a et n sont calculés tandis que t0 a déjà été obtenu par ajustement sur la dynamique du col. Comme le montre la Figure 2.9 c), l’exposant, n, augmente de 0, 5 à 0, 6 sur la gamme des Weber de 20 à 100 et semble se stabiliser autour de la valeur 0, 6 pour les nombres de Weber supérieurs à la centaine. On peut remarquer que dans les travaux de Riboux et Gordillo [6], le modèle avancé est aussi valide pour les nombres de Weber supérieurs à la centaine. Nos relevés ne semblent pas correspondre à un jet libre dont l’extrémité progresserait à la vitesse constante
ve∗ = √3
2√
t∗e puisque les courbes ne sont pas linéaires après le temps d’éjection théorique de la lamelle, t∗e = We−2/3 variant de 0, 03 à 0, 13. Nos relevés du rayon de la lamelle n’aboutissent
pas non plus à un profil autosimilaire robuste qui correspondrait à une courbe maîtresse sur laquelle les profils d’avancée se superposeraient comme pour la dynamique du col. Cela suggère une dépendance avec le nombre de Weber et donc une influence des effets capillaires. Nous avions déjà souligné cet aspect au Chapitre 1, le régime linéaire avancé par [6] D’un point de vue phénoménologique, une loi du type r∗ ∝ t∗0,6 semble valide pour les nombres de Weber supérieurs à la centaine. Cette loi expérimentale représente un bon compromis entre une avancée d’un régime cinématique du type r∗ ∝√t∗ et un jet libre de profil linéaire avec le temps. Cet ajustement évoque déjà une signature des effets capillaires et c’est pourquoi nous avons essayé d’étendre cette loi d’échelle aux temps plus longs auxquels un bourrelet capillaire se forme à l’extrémité de la lamelle.
Extension du profil d’avancée à temps plus longs
Nous avons vu au Chapitre 1, Partie 1.6.1 qu’à temps plus long (t∗ > 1), on ne peut
plus parler de l’extrémité de la lamelle, mais du bourrelet dont la dynamique est dictée par un équilibre inertio-capillaire. On s’intéresse à la plage temporelle pour laquelle le bourrelet est toujours en progression, donc avant rétractation, et pour laquelle les modèles de champ de vitesse et d’épaisseur dans la lamelle sont valides. Nous allons essayer d’estimer l’avancée du bourrelet par une loi d’échelle du type r∗ = at∗0.6. Nous avons représenté sur la Figure 2.10 le temps de rencontre avec le défaut t∗d en fonction de la position dudit défaut d∗ pour chaque impact traité sur une gamme de nombre de Weber de 30 à 350.
Les temps de rencontre, t∗d, sont relevés à partir de film pris en vue de dessus comme décrit dans la Partie 2.1 et sont systématiquement surestimés lorsque le défaut est masqué par la goutte pour les temps les plus courts. C’est pourquoi les temps de rencontre semblent déviés du modèle que l’on a déduit des expériences à temps courts, particulièrement sur l’encadré en échelles logarithmiques. Malgré une dispersion, dans notre gamme de travail (Weber entre30 et 300), nous pouvons en première approximation approcher l’avancée du bourrelet par une seule courbe maîtresse représentée Figure 2.10. On propose ainsi une estimation expérimentale selon l’équation :
t∗d = 0, 246d∗5/3. (2.1)
La dispersion des points sur cette courbe maîtresse est de l’ordre de±30% pour un nombre de
Weber proche de 100, moyenne géométrique de nos valeurs, et elle est la plus marquée pour les temps proches de l’étalement maximal. C’est pourquoi le fait de négliger l’influence du nombre de Weber pour les temps courts nous semble raisonnable.
2.3.3 Conclusion sur l’avancée de la lamelle
La dynamique d’avancée de la lamelle, à temps courts ( [0; 0, 3τ ]) et extrapolée à temps plus longs ([0; 5τ ]), est en première approximation indépendante du nombre de Weber. Elle est bien décrite par des variables réduites cinématiques (t∗d, d∗) a donc un caractère autosimilaire.