Fonctions objectifs et variable d’optimisation

Variable d’optimisation Notre objectif est d’évaluer l’influence d’une ouverture sur la paroi non chauffé du canal. Il existe deux paramètres caractérisant cette ouverture : sa position d et sa taille b. On fixe donc ici le nombre de paramètres d’entrée k égale à deux et les points x_i ∈ D sont tels que x_i = (d_i, b_i). On définit des bornes supérieures et inférieures pour d et b. Ainsi d est compris entre 0.25 et(R f_c−1.25). b est compris entre 0.25 et 1.25. L’espace des paramètres E est ainsi définit E= [0.25; R f_c−1.25] × [0.25; 1.25].

Fonctions objectifs On définit 4 fonctions objectifs {Y₁, Y2, Y3, Y4}. Ce sont ces fonctions que l’on cherche à minimiser ou à maximiser dans le cadre du processus d’optimisation. Les valeurs Y_l(x_i)sont calculées grâce à la fonction coûteuse qu’est la simulation numérique directe.

La première fonction objectif concerne le nombre de Nusselt moyen à la paroi chauffée du canal. On cherche à maximiser cette fonction afin d’avoir un transfert thermique maximum. Elle s’écrit :

Y₁ : E → R

x 7→ Nu₁ ^(11.12)

La deuxième fonction objectif est le débit entrant par l’interface basse du canal. On sou-haite maximiser cette fonction :

Y₂ : E → R

x 7→ G_in(y=0) (11.13)

La troisième fonction objectif est le débit entrant par l’interface haute du canal. On souhaite minimiser cette fonction :

Y3 : E → R

x 7→ G_in(y= R f_c) (11.14)

La quatrième fonction objectif est la température débitante à l’interface haute du canal. On souhaite maximiser cette fonction :

Y₄ : E → R

x 7→ T_bulk(y=R f_c) (11.15)

On applique ici la méthode d’optimisation par krigeage à chacune des fonctions Y_l de manière indépendante.

Remarque 11.1 La représentation graphique des valeurs de ˜Y_l (prédicteur associé à Y_l) est dans notre cas simple puisqu’il n’y a que deux paramètres d’entrée. On peut grâce à une représentation 2D obtenir une lecture facile de l’influence de d et b sur ˜Y_l.

11.3.2 Méthodes numériques

La méthode numérique pour l’optimisation du canal vertical repose sur le couplage de deux codes de calcul : un code volumes finis pour la simulation numérique directe des équa-tions 2D instationnaires de Navier-Stokes afin de calculer les foncéqua-tions objectifs Y_l; et un code pour le krigeage basé sur la librairie Fortran Kriging (ForK) développée parLoockwood (2012).

Simulation numérique directe Pour calculer les fonctions objectifs Y_l, on effectue une si-mulation numérique directe des équations 2D instationnaires de Boussinesq. On considère ici une approche de résolution où le domaine de calcul est restreint aux limites géométriques du canal (présenté dans la partieIII). Les interfaces haute et basse du canal ainsi que l’ouverture du côté de la paroi non chauffée doivent donc être modélisées. On fait ici le choix de retenir des conditions limites de type Bernoulli local au niveau des interfaces et de l’ouverture. Ce choix est motivé par une simplicité de mise en place de ces conditions limites, ainsi que les bons accords qu’il existe entre ce type de modélisation et le canal plongé dans un environ-nement infini sur la vitesse verticale et le débit entrant par l’interface basse. Les conditions limites aux interfaces ainsi que pour l’ouverture s’écrivent alors :

       si le fluide entre V·n<0 : T=0, P= −(V·n)² 2 ^{, V×n=0, ∇V·n=0,} si le fluide sort V·n>0 : ∇T·n=0, P=0, V×n=0, ∇V·n=0. (11.16)

Remarque 11.2 Nous avons ici choisi de modéliser les interfaces du canal par des conditions limites de type Bernoulli. Il faut noter que ce choix est effectué en première approximation. Un autre choix de modélisation aurait pu être effectué. Par exemple, nous aurions pu modéliser les interfaces avec des conditions de type Robin pour la pression motrice. Cependant, ce type de modèle nécessite de connaître ou de calculer le paramètre L (distante à partir de laquelle la pression motrice peut être considérée comme uniforme). N’ayant pas de connaissance a priori de L au niveau de l’ouverture, l’étude a été menée avec des conditions de type Bernoulli plus simples à mettre en oeuvre mais dont nous sommes conscient que l’écoulement proche des interfaces n’est pas correctement représenté.

Le code de calcul utilisé ici est un code de calcul séquentiel. Les équations sont discréti-sées avec un schéma semi-implicte d’ordre deux en temps et sur un maillage décalé avec des schémas centrés d’ordre deux pour la discrétisation spatiale. Pour des raisons de temps de calcul on considère ici un maillage 64×256. La résolution de l’équation de l’énergie est dé-couplée du problème vitesse-pression par explicitation des termes non-linéaires. Le couplage vitesse-pression est résolu par une méthode de prédiction-projection incrémentale.

Les résultats sont obtenus pour un nombre de Rayleigh égale à 5.10⁵pour lequel l’écoule-ment au sein du canal sans ouverture tend vers un état stationnaire. Après différents tests, on observe que quelque soit la taille et la position de l’ouverture l’écoulement dans le canal tend toujours vers un état stationnaire. Ainsi les valeurs de Y_l sont les valeurs obtenues lorsqu’un état stationnaire est atteint.

Méthode de krigeage Le code utilisé pour la méthode de krigeage est basé sur la librairie Fortran Kriging (ForK) (Loockwood 2012). L’estimation des paramètres de la fonction de cor-rélation K_θainsi que la recherche du minimum du prédicteur ˜Y sont effectuées en utilisant une méthode de type Pattern Search (Hooke et Jeeves 1961). Le plan d’expérience initial est com-posé de 8 jeux de paramètres répartis de manière uniforme dans l’espace. On limite le nombre d’éléments maximum dans le plan d’expérience final à 30 jeux de paramètres. Cette limitation s’explique par les temps de calcul : avec 30 jeux de paramètres le processus d’optimisation dure environ 5 jours.

11.4 Résultats

Nous présentons les résultats obtenus pour un nombre de Rayleigh Ra = 5.10⁵ et un nombre de Prandtl Pr = 0.71 (le fluide considéré est de l’air). On définit la configuration de base comme la configuration du canal vertical sans ouverture du côté de la paroi non chauffée. Pour cette configuration de base un écoulement de type couche limite avec une zone de recirculation en forme de V du côté de la paroi non chauffée est observé. Les grandeurs caractérisant la configuration de base sont présentées dans le tableau11.1.

On compare nos résultats numériques avec les résultats expérimentaux obtenus par Aze-vedo et Sparrow (1986) après une étude paramétrique. Ils ont étudié l’écoulement au sein d’un canal vertical asymétriquement chauffé à température constante avec une ouverture du côté de la paroi non chauffée. Les résultas sont présentés pour un nombre de Prandtl Pr =5 (le fluide considéré est de l’eau) et pour un nombre de Rayleigh Ra_T pour lequel il existe un régime de type couche limite (voir figure11.2).

On présente d’abord l’évolution du nombre de Nusselt et du débit entrant par l’interface basse du canal en fonction du positionnement d de l’ouverture et de sa taille b. Ces résultats sont obtenus grâce au prédicteur construit par la méthode de krigeage. On s’intéresse ensuite aux configurations optimales obtenus par minimisation des prédicteurs ˜Y_l associés à chacune

des fonctions objectifs Y_l. Ces configurations optimales sont comparées avec la configuration de base.

Nu₁ G_in(y =0) G_in(y= R fc) T_bulk(y= R fc)

Configuration de base 6.68 0.083 0.017 6.82 10⁻²

Tableau 11.1 – Grandeurs caractéristiques de la configuration de base

Remarques générales Pour toutes les simulations effectuées la présence d’une ouverture sur la paroi non chauffée n’a jamais un effet déstabilisant pour la couche limite. On n’observe aucune instabilité de celle-ci. De plus, il est important de noter que quelque soit le posi-tionnement et la taille de l’ouverture, le fluide traversant celle-ci provient toujours du milieu extérieur pour entrer dans le canal vertical et non l’inverse. Comme évoqué parAzevedo et Sparrow(1986) et montré par la figure11.2, la présence d’une ouverture au niveau de la zone de recirculation ne permet pas de jouer sur l’existence ou non de celle-ci. La zone de recir-culation existe toujours et garde sa forme en V quelque soit le positionnement et la taille de l’ouverture. Une partie du fluide entrant par l’ouverture descend alors dans le canal pour ali-menter la couche limite thermique en fluide froid. Sur ce point la figure11.2met en évidence le bon accord entre nos résultats numériques et les résultats expérimentaux de Azevedo et Sparrow(1986) même si les deux configurations d’études sont différentes.

Figure 11.2 – Visualisation de l’écoulement dans le canal en présence d’une ouverture au niveau de la zone de recirculation. A gauche : résultat expérimental (Azevedo et Sparrow 1986), à droite : résultat numérique issu d’une simulation numérique directe