Si le milieu extérieur est stratifié en pression motrice (par exemple à cause d’une stratification de température) alors la modélisation proposée est toujours valable avec l’hypothèse que P(x, R f c+

S_U^n,n−1(x, R fc) −_U˜n+1(x, R fc)  dx+ Pr √ Ra Z x 0 ∆ ˜Un+1(x, R fc)dx, (10.31) où ˜Uⁿ⁺¹ =2 Uⁿ−Uⁿ⁻¹+o(∆t2). ˜Uⁿ⁺¹ respecte ainsi la condition d’incompressibilité. Si l’on connaît les valeurs de P_Bⁿ⁺¹(0)et P_Tⁿ⁺¹(0) il est alors possible de calculer la pression motrice aux interfaces du canal. Pour cette approche, une connaissance a priori de la pression motrice en un point de l’interface est donc nécessaire. De plus, il faut remarquer que les valeurs de P_Bⁿ⁺¹(x) et P_Tⁿ⁺¹(x) dépendent fortement des conditions limites sur la vitesse (car elles dépendent directement des valeurs de U et V aux interfaces.

Les tests effectués en utilisant cette approche ont montré qu’elle ne donnait pas de bons résultats au niveau de l’interface haute du canal. Cependant à bas nombre de Rayleigh et si P_Bⁿ⁺¹(0) = 0, le profil de pression motrice obtenu à l’interface basse est proche du cas CE640. Lorsque le nombre de Rayleigh augmente, les résultats se dégradent. De plus, pour que la méthode converge il est nécessaire de prendre des pas de temps très faibles de l’ordre de 10⁻⁵. Cette méthode semble donc peut applicable mais montre que pour modéliser la pression motrice aux interfaces il est nécessaire de prendre en compte les termes convectifs et visqueux.

10.4.3 Condition limite de type Robin pour la pression motrice

Il est difficile de modéliser la pression motrice aux interfaces basse et haute du canal car elle dépend à la fois des effets visqueux et des effets convectifs. Dans la partieII, nous avons montré que la pression motrice proche des interfaces n’est pas égale à la pression motrice du milieu extérieur Pext mais qu’au loin du canal elle reste constante et égale à Pext. Nous supposons donc ici, qu’il existe une certaine distance selon~e_y(notée L_toppour l’interface haute et L_botpour l’interface basse, Ltopet L_botconstantes positives) où le champ de pression motrice peut être considéré comme connu. La figure10.4explique cela de manière schématique. Pour notre cas d’étude comme l’on considère qu’au loin du canal la pression motrice est constante, nous supposons que P(x,−L_top) =P(x, R f_c+L_bot) = P_ext.

Remarque 10.4 Si le milieu extérieur est stratifié en pression motrice (par exemple à cause d’une stratification de température) alors la modélisation proposée est toujours valable avec l’hypothèse que P(x, R f_c+ Ltop) = P(x, L_bot) +S(Ltop+R fc−L_bot)avec S le gradient de stratification de la pression motrice dans le milieu extérieur.

Notre objectif est maintenant de modéliser l’écoulement dans la zone comprise entre l’in-terface (haute ou basse) du canal et une distance L_topou L_botde l’interface. On note cette zone ΩP.

Hypothèse 10.1

1) Le canal est immergé dans un réservoir infini : => ∃ L_toptel que P(x, R f_c+L_top) =P_ext, => ∃ L_bottel que P(x,−L_bot) =Pext. 2) P ne dépend uniquement que de y dansΩP. 3) P évolue linéairement selon y dansΩP.

Sous ces hypothèses, nous obtenons alors l’équation suivante pour l’évolution de la pres-sion motrice dansΩP :

∆yP=0. (10.32)

Figure 10.4 – Schéma de principe pour la modélisation de la pression motrice aux interfaces du canal

Par double intégration de cette équation, d’abord entre la position de l’interface (notée y_I) et une hauteur y située dans ΩP puis entre la position de l’interface y_I et la position y_I+L nous pouvons en déduire une condition limite de type Robin pour la pression motrice aux interfaces Z yI+L yI Z y yI ∆yP(x, y⁰)dy⁰dy= P(x, y_I+L) −P(x, y_I) −L^∂P ∂y(x, y_I) =0. (10.33) On en déduit ainsi les conditions limites de type Robin pour la pression motrice aux interfaces

• pour l’interface haute :

P(x, R fc) +Ltop ^∂P

∂y(x, R fc) =Pext. (10.34)

• pour l’interface basse :

P(x, 0) −L_bot^∂P

∂y(x, 0) =P_ext. (10.35)

Ces conditions de Robin pour la modélisation de la pression motrice aux interfaces du canal font apparaître les distances L_topet L_botqui ne sont a priori pas connues. Ces deux para-mètres dépendent des effets convectifs, visqueux et de la poussée d’Archimède dans la zone ΩP. Ils sont donc à définir a priori soit par des hypothèses de modélisation de l’écoulement soit par une connaissance de l’écoulement dans le milieu extérieur. Dans le cas général, les distances Ltopet L_botsont variables en temps et en espace selon~ex. Par la suite nous notons ce jeu de condition limite RBC (Robin Boundary Condition).

La figure10.5montre la distribution spatiale de L_botet Ltop pour les solutions numériques de référence CE640 établies dans la partie II. Nous observons qu’à bas nombre de Rayleigh L_top est symétrique par rapport à l’axe du canal. Cela s’explique par le fait que l’écoulement lui-même est symétrique. Lorsque le nombre de Rayleigh augmente, Ltop se dissymétrise et diminue. Cette diminution de L_top avec le nombre de Rayleigh peut s’expliquer par la dimi-nution des effets visqueux. Au contraire L_bot est plutôt le même quelque soit le nombre de Rayleigh et quasiment toujours symétrique. Pour Ra = 5.10⁴, la dissymétrie observée s’ex-plique par le fait que pour ce cas de référence l’aspiration n’est pas symétrique en raison d’une circulation globale dans le réservoir.

(a) interface basse (b) interface haute

Figure 10.5 – Profil de L_botet Ltoppour les solutions numériques de référence CE640

L_bot L_top 10² 0.2801 0.9964 5.10² 0.2940 0.7988 10³ 0.3190 0.7382 5.10³ 0.3259 0.6157 104 0.3359 0.5740 5.10⁴ 0.3683 0.5650 5.10⁵ 0.3563 0.2611

Tableau 10.1 – Valeurs de Ltopet L_botobtenues pour les solutions de référence de la partieII

Dans le cadre d’une première approximation et pour simplifier l’implémentation numé-riques des conditions limites, nous considérons par la suite que Ltop et L_bot sont constantes selon x et ne varient pas en temps. Les valeurs de ces deux paramètres sont de plus estimées grâce aux solutions de référence établies dans la partieII. Le tableau10.1 récapitule ainsi les valeurs retenues pour Ltop et L_bot à différents nombres de Rayleigh. On remarque que Ltop

diminue lorsque le nombre de Rayleigh augmente, et que L_botest à peu près constante avec le nombre de Rayleigh.

Implémentation numérique des conditions de Robin Nous développons ici le schéma en espace et en temps nous permettant d’imposer les conditions limites de Robin sur la pression motrice. On cherche ainsi à exprimer P_Tⁿ⁺¹(x)et P_Bⁿ⁺¹(x). Nous souhaitons donc imposer

           P(x, R fc)ⁿ⁺¹+Ltop ^∂P n+1

∂y (x, R fc) = Pextà l’interface haute , P(x, 0)ⁿ⁺¹−L_bot^∂P

n+1

∂y (x, 0) = P_extà l’interface basse .

(10.36)

Après discrétisation spatiale, nous pouvons écrire              P_i,Jⁿ⁺₌¹_{N J}+Ltop P_i,Jⁿ⁺₌¹_{N J}−P_i,Jⁿ⁺₌¹_{N J−1}

∆y ^{= P}extpour 2≤ I ≤ N I−1,

P_i,Jⁿ⁺₌¹₁−L_bot ^P

n+1

i,J=2−P_i,Jⁿ⁺₌¹₁

∆y ^{= P}extpour 2≤ I ≤ N I−1, .

(10.37)

Pour obtenir les valeurs de P_i,Jⁿ⁺₌¹_{N J} et P_i,Jⁿ⁺₌¹₁, nous proposons le schéma en temps suivant              P_i,Jⁿ⁺₌¹_{N J}+L_top ^P n+1 i,J=N J−P_i,Jⁿ_{=N J−1}

∆y ^{= P}extpour 2≤ I ≤ N I−1,

P_i,Jⁿ⁺₌¹₁−L_bot^P

n

i,J=2−P_i,Jⁿ⁺₌¹₁

∆y ^{= P}extpour 2≤ I ≤ N I−1, .

(10.38)

Les conditions limites de type Robin sur la pression motrice se traduisent alors par            P_Tⁿ⁺¹ = L_top ∆y+L_top^P n i,J=N J−1+ 1

∆y+L_top^{Pextpour 2≤ I ≤ N I−1,} P_Bⁿ⁺¹ = L_bot

∆y+L_bot^P

n

i,J=2+ 1

∆y+L_bot^{Pextpour 2≤ I ≤ N I−1,}

(10.39)

Remarque 10.5 Le schéma en temps proposé ici est stable car