10 .1 Bilan des premières approches
Remarque 10.6 Pour comparer les résultats obtenus dans le cas RBC avec les solutions de référence, il est nécessaire de vérifier que les champs de pression motrice sont bien comparables. Nous rappelons que
pour les solutions de référence, la pression motrice a été fixée comme étant nulle au coin inférieure gauche du réservoir. Ainsi, la pression motrice dans le milieu extérieur au loin de canal est nulle. En prenant la pression motrice du milieu extérieur Pext = 0 pour le cas RBC, nous supposons qu’à une certaine distance au loin du canal la pression motrice est nulle. Les champs de pression obtenus pour le cas LB et les solutions de référence sont donc bien comparables.
Le tableau10.4compare les valeurs de la pression motrice aux interfaces du canal entre le cas RBC et les solutions numériques de référence. Nous observons que l’écart relatif entre ces solutions paraît relativement important au niveau de l’interface basse et cela notamment à bas nombre de Rayleigh. Cependant, la pression motrice moyenne pour le cas RBC est bien plus proche des résultats des solutions de référence que ceux obtenus précédemment (par exemple pour le cas LB). La pression motrice moyenne à l’interface haute est globalement bien prédite quelque soit le nombre de Rayleigh considéré. Nous observons de plus que l’imposition des conditions limites de type Robin sur la pression motrice aux interfaces permet d’obtenir le changement du signe de ∆P lorsque le nombre de Rayleigh augmente. Les modélisations effectuées dans les chapitres précédents ne permettaient pas d’obtenir ce phénomène observé dans le cas CE640.
La figure10.8montre les profils de la pression motrice à différentes hauteurs près de l’in-terface basse du canal pour trois nombres de Rayleigh. Nous observons que le cas RBC permet d’obtenir, quelque soit le nombre de Rayleigh, un profil de pression concave à l’interface basse
CE640 Ra Pbot Ptop ∆P 5.102 −8.357 10−1 −1.698 −8.621 10−1 1.103 −6.247 10−1 −1.152 −5.259 10−1 5.103 −3.319 10−1 −4.536 10−1 −1.218 10−1 1.104 −2.542 10−1 −2.966 10−1 −4.232 10−2 5.104 −1.393 10−1 −1.131 10−1 +2.263 10−2 5.105 −4.395 10−2 −1.886 10−2 +2.509 10−2 RBC Ra Pbot Ptop ∆P 5.102 −12.15 10−1(-45.4 %) −1.670(+1.65 %) −4.550 10−1(-47.2 %) 1.103 −9.495 10−1(-52.1 %) −1.145(+0.61 %) −1.960 10−1(-62.7 %) 5.103 −4.553 10−1(-37.2 %) −4.849 10−1(-6.90 %) −2.960 10−2(-75.7 %) 1.104 −3.382 10−1(-33.0 %) −3.358 10−1(-13.2 %) +2.401 10−3(+43.3 %) 5.104 −1.689 10−2(-15.8%) −1.427 10−1(-26.2 %) +2.620 10−2(+12.2 %) 5.105 −4.495 10−2(-2.28%) −1.895 10−2(-0.48 %) +2.601 10−2(+3.67 %) LB Ra Pbot Ptop ∆P 5.102 −1.221 10−1(+85.4 %) 0 1.221 10−1(+114 %) 1.103 −1.180 10−1(+81.1 %) 0 1.180 10−1(+122 %) 5.103 −1.020 10−1(+69.3 %) 0 1.020 10−1(+184 %) 1.104 −9.148 10−2(+64.0 %) 0 9.148 10−2(+316 %) 5.104 −6.190 10−2(+55.5 %) 0 6.190 10−1(+173.5%) 5.105 −2.484 10−2(+43.5 %) −2.884 10−4 (+98.47 %) 2.455 10−2(+2.15%)
Tableau 10.4 – Comparaison de la pression motrice moyenne aux interfaces entre le cas RBC , le cas LB et les solutions de référence CE640
comme mis en évidence pour les solutions de référence. La pression motrice est ainsi plus éle-vée à l’axe (x = 0) qu’au niveau des parois (x = +/−0.5). Lorsque le nombre de Rayleigh augmente de très bon accords sont observés et le cas RBC peut être considéré comme un bon jeu de conditions limites pour modéliser l’interface basse du canal.
Au niveau de l’interface haute du canal de bon accords sont aussi observés pour le profil de pression motrice (voir figure10.8). Ainsi à bas nombre de Rayleigh (Ra=103), la pression près des parois est plus faible qu’au niveau de l’axe traduisant une légère contraction du jet sortant du canal. Cette contraction est aussi observée pour les solutions de référence. Lorsque le nombre de Rayleigh augmente (Ra= 104), le profil de pression motrice à l’interface haute pour RBC n’est plus symétrique et la pression est plus basse du côté de la paroi chauffée. Cela traduit une orientation vers la paroi chauffée du jet thermique sortant du canal. La figure10.9 montre le champ de pression motrice au sein du canal pour les cas RBC et CE640 à Ra = 5.105. Les deux approches donnent des résultats quasiment identiques au sein du canal. Proche des interfaces du canal, le champ de pression motrice pour le cas RBC montre le même comportement que celui observé pour la solution numérique de référence (cas CE640) Le jeu de conditions limites RBC permet donc de modéliser de manière satisfaisante la pression motrice aux interfaces du canal.
Vitesse horizontale Dans les deux chapitres précédents, nous avons mis en évidence la difficulté liée à la vitesse horizontale à l’interface basse du canal. La figure 10.10 montre que le jeu RBC permet d’obtenir une vitesse horizontale non nulle à l’interface. Celle-ci ne fait ensuite que décroître (en valeur absolue) dans la partie basse du canal. La comparaison des résultats avec les solutions de référence met en évidence une bonne prédiction de la vitesse horizontale à l’interface basse. Cette vitesse est légèrement surestimée à bas nombre de Rayleigh. Lorsque le nombre de Rayleigh augmente, les résultats obtenus sont très bons et
(a) interface haute
(b) interface basse
Figure 10.8 – Comparaison de P à différentes hauteurs près de l’interface haute et basse pour Ra =
1.103, 1.104, 5.105. Interface basse : trait plein : y = 0, trait pointillé : y = 0.12 et trait mixte y = 0.24. Interface haute : trait plein : y=R fc=10, trait pointillé : y=9.88 et trait mixte y=9.76
Figure 10.9 – Comparaison du champ de pression motrice (gauche) et de la pression motrice le long de la ligne médiane x=0 (droite) entre les cas RBC et CE640 pour Ra=5.105
la décélération de la vitesse horizontale est similaire pour RBC et CE640.
De plus la décélération de la vitesse horizontale qui existe dès l’interface basse du canal pour les solutions numériques de référence CE640 est aussi obtenue avec le cas RBC. Cela est particulièrement bien mis en évidence pour la figure10.11.
(a) interface haute
(b) interface basse
Figure 10.10 – Comparaison de U à différentes hauteurs près de l’interface haute et basse pour Ra =
1.103, 1.104, 5.105. Interface basse : trait plein : y = 0, trait pointillé : y = 0.12 et trait mixte y = 0.24. Interface haute : trait plein : y=R fc=10, trait pointillé : y=9.88 et trait mixte y=9.76
(a) x= −0.375 (b) interface basse
Figure 10.11 – Comparaison de U le long de la ligne x = −0.375 et de ∂U
∂y à l’interface basse entre RBC et CE640 pour Ra=5.105.
Bilan L’ensemble des résultats présentés montre que le jeu de conditions limites RBC per-met de correctement représenter l’écoulement de convection naturelle dans un canal vertical plongé dans un environnement infini. De plus, les résultats obtenus sont plus proches des solutions numériques de référence de la partie II que ceux obtenus dans les chapitres pré-cédents. Les difficultés de représentation de la pression motrice et de la vitesse horizontale aux interfaces sont en partie résolus par le jeu de condition limite RBC. Cependant, il est nécessaire d’avoir une certaine connaissance de l’écoulement à l’extérieur du canal afin de choisir au mieux les distances Lbotet Ltop. Ce point constitue une restriction importante pour la simulation numérique restreinte aux limites géométriques du canal.