Evolution de l’influence des conditions limites en fonction du nombre de Rayleigh

Afin de mieux comprendre l’influence des conditions limites de type Bernoulli sur l’écou-lement, nous proposons une étude pour 10 ≤ Ra≤ 5.10⁷. On considère toujours un nombre de Prandtl égal à Pr=0.71. La pression extérieure Pext est fixée comme étant nulle.

Nombre de Nusselt L’évolution de Nu₁ en fonction du nombre de Rayleigh est présenté sur la figure 9.5. On montre que quelque soit le nombre de Rayleigh considéré, le nombre de Nusselt moyen Nu₁reste quasiment inchangé en fonction des conditions limites retenues. De plus, on observe que lorsque le nombre de Rayleigh est élevé (Ra > 10⁵), quelque soit le jeux de conditions limites, le nombre de Nusselt moyen évolue en fonction de Ra0.2 ce qui correspond à l’évolution du nombre de Nusselt le long d’une plaque plane verticale chauffée à flux constant. Le comportement thermique de la couche limite le long de la paroi chauffée n’est donc pas influencé par les choix de modélisation effectués aux interfaces du canal.

Débit de fluide sortant par l’interface haute Le comportement de la couche limite ther-mique est aussi caractérisé par le débit de fluide sortant par l’interface haute du canal (voir figure9.6). On montre que, quelque soit le nombre de Rayleigh, G_out(y = R f_c)n’est que très peu influencé par le choix des conditions limites. Bien que l’on observe des variations de l’ordre de 10% entre les différentes conditions limites, l’évolution du débit de fluide sortant par l’interface haute est seulement fonction du flux de chaleur imposé à la paroi chauffée.

Figure 9.5 – Evolution du nombre de Nusselt moyen Nu1en fonction du nombre de Rayleigh pour les jeux de conditions limites LB, LB0, GB et GB0

On observe ainsi deux comportements différents. Pour Ra < 10³, Gout(y = R f_c) est quasi-ment constant (cela se rapproche du comportequasi-ment théorique proposé parAung(1972)). Pour Ra>10⁵, G_out(y = R f_c)se comporte comme Ra^−0.3 ce qui correspond au débit d’une couche limite thermique le long d’une plaque plane chauffée à flux constant.

Remarque 9.3 Dans la partieI, on a rappelé que le débit caractéristique G_CL d’une couche limite thermique le long d’une plaque plane chauffée à flux constant évolue en fonction de Ra^0.2. Nos résultats étant adimensionnés avec la vitesse convective α

√

Ra

Lc , le débit G_CL en considérant cet adimensionnement évolue donc en fonction de Ra^−0.3.

Figure 9.6 – Evolution du débit de fluide sortant par l’interface haute du canal Gout(y= R fc)en fonction du nombre de Rayleigh pour les jeux de conditions limites LB, LB0, GB et GB0

On montre ainsi que la couche limite thermique le long de la paroi chauffée (le moteur de l’écoulement) n’est pas influencé par le choix des conditions limites aux interfaces du canal et cela quelque soit le nombre de Rayleigh.

Débits de fluide entrant dans le canal Si l’on s’intéresse maintenant à l’influence des condi-tions limites sur la dynamique de l’écoulement, on montre que celle-ci devient plus importante à haut nombre de Rayleigh. La figure9.7 présente l’évolution du débit de fluide entrant par l’interface basse du canal G_in(y = 0)en fonction du nombre de Rayleigh pour les 4 jeux de conditions limites. A bas nombre de Rayleigh, G_in(y = 0) est quasiment constant avec des valeurs proches du débit théorique proposé par Aung (1972). Cependant, comme l’écart de

pression motrice entre les interfaces est non nul, il existe une légère évolution de G_in(y=0)à bas nombre de Rayleigh. Les différents G_in(y=0)obtenus avec les 4 jeux de conditions limites sont très proches les uns des autres. A haut nombre de Rayleigh, on observe une dispersion des résultats pour G_in(y=0). Pour les cas où la pression motrice est considérée uniformément nulle à l’interface haute du canal (cas LB0 et GB0), G_in(y = 0) prend des valeurs négatives pour Ra > 5.105 pour le cas LB0 et Ra > 107 pour GB0. Le fluide sort ainsi par les inter-faces haute et basse du canal. L’alimentation de la couche limite thermique s’effectue alors exclusivement par l’interface haute du canal. On aboutit ainsi à une situation peu physique.

Figure 9.7 – Evolution du débit de fluide entrant par l’interface basse du canal Gin(y = 0) en fonction du nombre de Rayleigh pour les jeux de conditions limites LB, LB0, GB et GB0

Zone de recirculation Sur la figure9.8, on montre que la profondeur L_p de la zone de re-circulation augmente avec le nombre de Rayleigh quelque soit le jeu de conditions limites. Pour les cas LB0 et GB0, elle devient égale à la hauteur du canal à haut nombre de Ray-leigh traduisant le fait que le fluide entre par l’interface haute du canal et sort par l’interface basse. Comme montré dans par l’étude deSparrow et al.(1984), la profondeur de la zone de recirculation augmente avec le nombre de Rayleigh.

Figure 9.8 – Evolution de la longueur de pénétration de la zone de recirculation Lp en fonction du nombre de Rayleigh pour les jeux de conditions limites LB, LB0, GB et GB0

Bilan On montre ici un bon accord sur le comportement de la couche limite le long de la paroi chauffée quelque soit le jeu de conditions limites retenu. Il existe cependant des situations non physiques où le fluide sort par l’interface basse du canal. Les jeux LB0 et GB0

ne semblent ainsi pas une bonne modélisation des interfaces pour représenter la physique de l’écoulement au sein du canal.

9.2.3 Comparaison des résultats avec les solutions numériques de référence d’un canal