4.2 Caractérisation du transistor sous agression électromagnétique
4.2.2 Calcul des variations de la valeur moyenne du courant
4.2.2.3 Fonctionnement en zone saturée
Le phénomène de redressement est modélisé à partir des caractéristiques non linéaires du transistor MOSFET. Pour calculer la valeur moyenne du courant de drain redressé, noté ID, il faut réaliser un développement en série de Taylor du courant de drain statique ID, puis calculer la valeur moyenne de ce développement. D’après [24], lorsque le transistor est polarisé dans sa zone de saturation, la valeur moyenne du courant de drain redressé est uniquement issue d’un développement en série de Taylor à une variable de la commande d’entrée ID − VGS. Cette approche mathématique est développée ci-dessous :
ID(VGS+ ˆVGS· sin(ωt)) = ID(VGS) + ˆVGS· sin(ωt) · ∂V∂ID
GS VDS +Vˆ 2 GS 2! · sin(ωt)2· ∂ 2ID ∂V2 GS VDS +Vˆ 3 GS 3! · sin(ωt)3· ∂ 3ID ∂V3 GS VDS + · · · +Vˆ n GS n! · sin(ωt)n· ∂ nID ∂Vn GS VDS (4.2) Avec,
VGS, la tension de polarisation de la grille du transistor.
ID(VGS), qui représente le courant de polarisation sans agression EM. ˆ
VGS, la valeur crête du signal alternatif.
vGS = VGS+ ˆVGS· sin(ωt), l’expression du signal alternatif.
Nous pouvons remarquer que la valeur moyenne de sin(ωt)n est nulle pour n impair. Ainsi, dans ce cas et pour des faibles amplitudes de ˆVGS nous pouvons négliger les termes supérieurs au second ordre de l’équation 4.2. De plus, en posant
gm = ∂ID ∂VGS VDS , nous obtenons : ∆ID ≈ ID − ID(VGS) ≈ Vˆ 2 GS 4 · ∂gm ∂VGS VDS (4.3)
Dans cette zone de fonctionnement saturée, nous remarquons d’après l’équation 4.3, que l’augmentation du courant de drain est proportionnelle à la variation de la dérivée de la transconductance et à la valeur crête au carré du signal HF.
A l’issue de cette étape, une confrontation entre notre calcul analytique semi empirique et nos simulations électriques du courant redressé avec les résultats ex-périmentaux va être faite. L’appellation semi empirique réside dans le fait que les variations de la transconductance gm et les coefficients ∂gm
∂VGS VDS issus du déve-loppement en série de Taylor sont extraits expérimentalement à l’aide des mesures précises du réseau de caractéristiques I − V . Le paramétrage de l’appareil Keith-ley 4200est réalisé dans le but d’avoir un faible pas entre chaque point de mesure, afin d’extraire au mieux les dérivées premières et secondes. La valeur crête du signal HF ( ˆVGS) est mesurée à l’aide de la sonde active haute impédance et visualisée à l’oscilloscope.
La figure 4.7 représente la transconductance gm et sa dérivée ∂gm
∂VGS VDS en fonction de la tension continue de grille VGS pour une tension de drain constante VDS = 2 V.
D’après la figure 4.7, dans la zone sous-seuil, le courant de drain est d’allure exponentielle en fonction de la tension de grille VGS [64]. Dès lors que cette tension augmente, dans un régime de forte inversion et en zone saturée, le courant ID évolue de manière quadratique avec la tension VGS. Ainsi la transconductance gm doit croître linéairement par rapport à VGS suivant l’équation ci-dessous :
gm = W
LµCox(VGS− VT)
Cette évolution linéaire (zone saturée) de gm se produit jusqu’à une tension VGS = 2 V (droite en pointillée). Mais dès lors que la tension VGS se situe entre VGS = 2 V et VGS = 3,6 V, les électrons dans la couche d’inversion sont attirés de plus en plus près de l’interface substrat/oxyde. Ce qui entraîne une baisse de la mobilité µ des porteurs, comme vu au chapitre 3 à la partie 3.2.2.
Pour VGS = 3,6 V, la transconductance atteint sa valeur maximale gm ≈ 20 mS, ce qui correspond à une valeur nulle de sa dérivée.
Nous pouvons remarquer que dans cette zone saturée, la dérivée ∂gm
∂VGS VDS (co-efficient du développement en série de l’équation 4.3) est toujours de signe positif. Ceci explique l’augmentation du courant de drain redressé et un ∆ID > 0 dans cette
Figure 4.7 – Extraction expérimentale de la transconductance gm (trait plein) et de sa dérivée ∂gm ∂VGS VDS
(pointillé) en fonction de la tension de grille VGS, à différents régimes et différentes zones de fonctionnement pour une tension de drain constante VDS = 2 V.
zone saturée, observée à la figure 4.5. De plus, toujours d’après la figure 4.7, la va-leur de la dérivée ∂gm ∂VGS VDS
diminue lorsque la tension de grille VGS augmente. Ceci explique également la diminution du ∆ID observée à la figure 4.5 quand la tension de grille augmente.
En utilisant les valeurs des dérivées ∂gm
∂VGS
VDS
extraites et l’équation 4.3, nous calculons le rapport |∆ID |
ID
(%) pour plusieurs puissances du signal HF (Pien dBm) à quatre valeurs de tension de grille VGS. Ensuite, nous confrontons nos calculs et nos simulations avec les résultats expérimentaux, comme représentés à la figure 4.8. Quel que soit le point de polarisation choisi, la variation du courant de drain ∆ID augmente lorsque la puissance du signal d’entrée augmente également. D’après la figure 4.8 nous réalisons que cette variation du courant de drain redressé dépend
Figure 4.8 – |∆ID | ID
(%) en fonction de Pi (dBm) pour quatre tensions de pola-risation de grille avec un signal HF à 10 MHz injecté à la grille du transistor. La tension de drain est fixée à VDS = 2 V. Mesures (trait plein) ; formulation analytique (pointillé avec marqueurs) et simulations (marqueurs).
fortement du point de polarisation statique du transistor. Pour des tensions de grille VGS = 1,5 V, VGS = 2 V et VGS = 2,5 V les résultats calculés et mesurés sont en bon accord jusqu’à une puissance de 5 dBm.
Néanmoins pour des puissances supérieures du signal HF, autour de 10 dBm, ce qui correspond à une valeur crête ˆVGS = 2 V, une différence entre les courbes apparaît. Cette différence notoire révèle la limitation d’un développement en série de Taylor. En effet, la variation de la dérivée ∂gm
∂VGS VDS
doit rester relativement constante par rapport au niveau atteint par l’excursion du signal HF. La prédiction du courant de drain redressé sera d’autant meilleure si les non-linéarités sont faibles avec une excitation HF de faible, voire moyenne, amplitude.
Pour une faible valeur de tension de grille VGS = 1,5 V (zone sous-seuil) nous observons à la figure 4.7 une forte variation de la transconductance, indiquant un comportement fortement non linéaire du transistor. En conséquence la limitation de la formulation analytique apparaît pour des puissances plus faibles. Il est alors possible d’augmenter le domaine de validité en terme de puissance, en augmentant l’ordre n dans le développement en série de Taylor.
Ceci est vérifié avec les résultats de la simulation électrique. En effet, avec la méthode de calcul numérique (« harmonic balance ») nous avons choisi un ordre de calcul élevé (ordre 100). Le temps de calcul reste très faible (quelques secondes). Les fonctions non linéaires du modèle sont bien définies, puisque les résultats simulés et mesurés sont en très bon accord jusqu’à une puissance de 10 dBm.
Lorsque le transistor est polarisé dans sa zone non saturée pour une tension de grille VGS = 4 V, la formulation analytique n’est plus assez précise pour prédire la bonne valeur de la variation du courant de drain redressé. Même en faisant tendre l’ordre n → +∞ la prédiction du courant de drain sera faussée, puisque l’écart avec la mesure est constant sur toute la plage de puissances.
Dans la sous-section suivante, une amélioration de l’expression analytique sera présentée, permettant de prédire la valeur du courant de drain redressé dans la zone non saturée et linéaire du transistor.