fonction de la profondeur de potentiel

Nous reprenons ici brièvement la discussion du

_§III.3

sur la

quantification

des

degrés

de

liberté

_atomiques

externes dans le cas d’une mélasse

_optique

1D

lin|lin,

en

envisageant

cette fois

le cas d’une transition

_{atomique =J+1 ge~JgJ}

de moment

_{cinétique Jg}

> 0 entier. Nous nous

plaçons

à nouveau dans la situation où la

partie dissipative

du

couplage atome-champ

de refroidissement est

_négligeable

devant la

_{partie hamiltonienne,}

et où la base d’états la mieux

adaptée

à l’étude des

_{propriétés physiques}

de la mélasse est celle des _{états propres} du Hamiltonien

H

(0)

avec :

Le

_premier

terme de

_{(III.8.1-1) correspond}

à

_{l’énergie cinétique}

du centre de masse

_atomique,

tandis que le second est associé aux

_{déplacements}

lumineux de l’état fondamental. Nous avons vu au

§III.3

_{que dans le} cas d’une transition

_{atomique Jg=1/2~Je=3/2,}

ce dernier terme est

_diagonal

dans

_l’espace

des variables

_internes,

ce

_qui

_permet de ramener la

diagonalisation

de

H(0)eff

à celle

d’une

_particule

se

_déplaçant

dans un

_{potentiel (lumineux)}

_{bien défini. Cette}

_propriété

_repose sur la

particularité

propre aux transitions de moment

_{cinétique Jg}

<

_1,

_pour

_lesquelles

les sous-niveaux

Zeeman ne sont _pas

_couplés

_{par les}

_composantes

de

_{polarisation 03C3}+

et 03C3-du

_champ

_pompe. Or

dans le cas considéré ici d’une transition

_atomique

de moment

_{cinétique Jg}

> 0 entier où le niveau fondamental

_{comporte plus}

de deux sous-niveaux

Zeeman,

tous les niveaux de nombres

quantiques magnétiques

de même

_parité

sont

_couplés

entre eux _par le

_champ

_{pompe. Le} second

terme de

_{(III.8.1-1) comporte}

donc des termes non

_diagonaux

dans

_l’espace

des variables internes, de telle sorte _que la notion de

_potentiel

lumineux n’est

_plus

aussi immédiate. Nous allons toutefois

montrer _que le

_spectre

de

_H(0)eff

_peut

être caractérisé en bonne

_{approximation}

à l’aide d’un modèle

de

_particules

se

_déplaçant

dans un

_potentiel.

Nous utilisons tout d’abord le _{fait que les sous-niveaux} Zeeman

_couplés

entre eux _par le

champ

pompe se

_{répartissent}

en deux familles distinctes _que nous

_désignons

_par

_{l’indice ~ prenant}

la valeur +1

_{(resp. -1)}

_pour les niveaux de nombre

_{quantique magnétique pair (resp. impair) (nous}

emploierons également

le terme de famille

_"paire"

ou

"impaire").

Le Hamiltonien

H(0)eff

prend

donc

la forme :

où

_V~

est un

opérateur agissant

sur les variables

_atomiques

internes et externes des éléments de la

famille ~.

Considérons la base

_{diagonalisant l’opérateur V~(z)}

au

_point

z.

_Compte

tenu de l’existence de termes non

_diagonaux

dans

_V~,

les éléments

_{> M|03C8}

de cette

_{base, d’énergie}

_vM, sont

de la forme :

où la somme

_porte

sur les sous-niveaux Zeeman de nombre

_{quantique magnétique}

_03BC

_appartenant

à la _{famille ~. Nous définirons l’indice} M des états

_{|03C8M> par le}

fait

_{qu’au point}

z = 03BB/4 où le

on a alors par continuité au

point

z=0 où le

champ

laser est

_{polarisé 03C3}- :

Ceci reflète à nouveau l’existence d’un ordre

_{anti-ferromagnétique}

à l’échelle de 03BB/4 dans la

mélasse 1D lin||in

_{[Rq.III-34]. L’opérateur V~}

_s’exprime

alors

_{[Rq.III-35] :}

et

_permet

de transformer

_{l’expression (III.8.1-3)}

selon :

On voit alors _que le Hamiltomen

H(0)eff

a la même structure _{que dans le} cas d’une transition

atomique _{Jg=1/2~Je=3/2} (Eq. (III.3-9)).

Il existe toutefois une différence

_importante

entre les deux situations

_puisqu’ici

les états

_{|03C8M> dépendent explicitement}

de

_{l’espace (Eq. (III.8.1-4)).}

Il

n’est donc

_{possible d’interpréter}

le

_spectre

de

_H(0)eff

comme celui d’une

_particule

se

déplaçant

dans le

_potentiel

_vM

_{qu’au prix}

d’une

_hypothèse

de suivi

_adiabatique

_{des états propres}

_{|03C8M> par la}

fonction d’onde

_atomique.

Cette

_{approximation}

revient à

_négliger

le

_couplage

motionnel induit _par

l’opérateur impulsion

P entre les états

_|03C8M>

d’une même famille

_[Rq.III-36].

Notre but étant ici d’insister sur les

phénomènes physiques,

nous nous

_placerons

dans la suite de ce

_paragraphe

dans

le cadre de cette

_{approximation,}

et nous _{renvoyons le lecteur} intéressé à l’annexe A.III, où le

principe

d’une

_{approche plus rigoureuse}

est

_exposé.

[Rq.III-34] L’existence d’une telle structure

_{anti-ferromagnétique}

est en fait très _générale dans une mélasse 1D

lin|lin. Elle est liée à l’invariance du _{système par la transformation de symétrie} T(voir annexe A.III).

[Rq.III-35] On voit alors _{que le} choix d’indice M évite de _préciser la famille _{d’appartenance} de l’état

|03C8M>.

[Rq.III-36] On _peut montrer _que cette _{approximation} est _{valide pour} les états _d’énergie les _plus bas. Pour un

FIG. III.8.1-1 : _Dépendance des _{potentiels vM} en fonction du paramètre sans dimension z/03BB (les

grandes valeurs de M _{correspondent} aux _potentiels de basse _{énergie). (a)} Cas d’une transition

J

g

=1~J

e

=2.

Noter l’existence d’un _potentiel

_{(v0) parfaitement}

_plat, associé au sous-niveau Zeeman

|g,0>.

(b) Cas d’une transition

_{e=5. =4~JgJ}

Le fond du

_potentiel

M = 2 _est situé à l’intérieur du

puits de _potentiel M = 4. Les différents _potentiels

v

Mont des courbures _(et donc des _fréquences

Nous avons

_représenté

sur la

_Fig.

III.8.1-11a

_{dépendance spatiale}

des

_potentiels

_vMdans

les cas d’une transition

_{atomique Jg=1~Je=2 (Fig. III.8.1-1(a))}

et

_Jg=4~Je=5

(Fig. III.8.1-1(b)).

Nous constatons immédiatement sur cette

_figure

_{que les}

_potentiels

lumineux

v

M ont une

_{périodicité}

03BB/4. Cette

_{propriété, toujours}

vérifiée dans le cas d’une transition de

moment

_{cinétique Jgentier,}

est liée à l’invariance du Hamiltonien

_H(0)eff

_par la transformation de

symétrie T (Eq. (III.7.1-3)). Compte

tenu de cette

_propriété

d’invariance _{par translation} de 03BB/4

des

_potentiels lumineux,

on s’attend comme au

_§III.3

à ce _{que le}

_spectre

de

H(0)eff

associé au

potentiel

vMait une structure de bande

_EM,n,q

décrite au _{moyen d’un} indice de bande n

discret,

et

d’un indice de Bloch _q continu situé dans la

_première

zone de Brillouin -2k <

_{q ~}

2k. On pourra donc considérer en

première approximation

_que le Hamiltonien

H(0)eff

est de la forme :

où l’indice M fait référence à l’état interne

|03C8M> de

l’atome.

Comme au

§III.3,

il est

_possible

de montrer

_qu’à

la limite

séculaire,

la matrice densité

stationnaire du

_{système atomique}

est _purement

_diagonale

dans la

_{base |M,n,q> [Rq.III-37],}

et _que

les

_populations

stationnaires de ces niveaux s’obtiennent par résolution d’une

_équation

de taux du

type

de

(III.3-10).

Ces

_{populations dépendent}

alors

_uniquement

du

_paramètre

sans dimension

V

0

/E

R

.

Nous allons à

_présent

étudier cette

_dépendance

en

distinguant

les cas des transitions

atomiques _Jg=4~Je=5

et

_Jg=1~Je=2.

a.

Cas

d’une transition

_{atomique Jg=4~Je=5}

Nous avons

_représenté

sur la

_Fig.

III.8.1-2 la

_dépendance

des

_populations

des

_cinq

premiers états de bande de la famille

paire

en fonction du

_paramètre

sans dimension

_V0/ER

[Rq.III-38].

La

_comparaison

avec le cas d’une transition

_{atomique Jg=1/2~Je=3/2 (Fig.} 111.3-2)

appelle

les remarques suivantes :

2022 _La

Dans le document Spectroscopie Raman et Rayleigh stimulie d'atomes refroidis par laser : dynamique des mélasses optiques unidimensionnelles (Page 186-190)