d’absorption-émission spontanée, est caractérisée par le taux de pompage optique 03B3 0 = 20393s 0 /

égal

au taux de

_transfert

entre les deux sous-niveaux Zeeman

_|g,+>

et

|g,->,

le taux de diffusion total des

_photons

_{pompes par} l’atome _{étant donné par}

_{[Rq.III-3] :}

La différence entre r’ et _03B30

_provient

du fait

_qu’un

atome

_peut

revenir à son état interne initial au

cours d’un

cycle absorption-émission spontanée,

le facteur

multiplicatif 2/9

entre _03B30 et 0393’

(03B3

0

= 2/9 r’), déjà

rencontré au

§II.4.2,

étant lié aux valeurs

particulières

des coefficients de

Clebsch-Gordan de la transition

_Jg

= 1/2 _~

Je

= 3/2.

Notre but étant de décrire les

_propriétés

des atomes

_localisés,

nous nous restreindrons ici

au cas où la

partie

réactive du

couplage

atome-lasers est

_{prépondérante}

sur la

partie dissipative :

[Rq.III-3] La définition de 0393’ choisie ici diffère d’un facteur 2 de celle _employée au _{chapitre "Rappels".} Elle est en

fait mieux _adaptée à la situation des mélasses _optiques où deux ondes _pompes, et non une seule, sont

et au domaine de faible saturation de _{la transition}

_{atomique :}

qui correspondent

à

_l’optimum

de

_{température [Cas91b].}

La condition

_{(III.3-7) signifie qu’un}

atome effectue

_{classiquement plusieurs}

oscillations au fond des

_puits

de

_potentiel

avant _que son

mouvement ne soit

_interrompu

_par un

_{cycle d’absorption-émission spontanée (condition}

de

_régime

oscillant

_[Rq.III-4]).

A

_profondeur

de

_puits donnée,

cette condition est associée à la limite des

grands

désaccords à résonance.

Dans ce

_régime,

toutes les

_{propriétés physiques}

du milieu

_peuvent

être décrites au _moyen

des _{états propres du Hamiltionien}

_H(0)eff

associé au

_potentiel

lumineux

U(0)±(z):

où P et Z sont les

_{opérateur impulsion}

et

_position

du centre de masse

_atomique.

Ce Hamiltonien contient à la fois le terme

_{d’énergie cinétique}

et la

_partie

réactive du

_couplage atome-lasers,

et est

caractérisé par le seul

paramètre

sans dimension

_U0/ER.

Du fait de la

_{périodicité (03BB/2)}

du

potentiel,

le

_{spectre d’énergie}

des atomes

_possède

une structure de bandes semblable à celles des

électrons dans les solides.

_D’après

le théorème de Bloch

_[Ash76],

_{les états propres associés}

peuvent être indicés sous la forme

|n,q,03BC>,

où n

(entier positif)

est l’indice de

_bande,

_03BC = ±

désigne

l’état interne

_|g,±>,

et _q est l’indice de Bloch. _q est a

_priori

un

_paramètre

continu

appartenant

à la

_première

zone de Brillouin

_(-k

<

_{q ~ k),}

mais

_l’emploi

habituel de conditions aux limites

_périodiques

_pour un échantillon de taille finie

(un

nombre entier de fois la

_{périodicité}

03BB/2 du

potentiel)

conduit à une discrétisation de cet indice

_{[Rq.III-5]. Remarquons}

_{que pour des raisons}

de

_{symétrie évidentes,}

les états

_{propres |n,q,-> et |n,q,+>}

auront même

_{énergie En,q.}

A titre

illustratif,

le

_{spectre d’énergie}

du Hamiltonien

_H(0)eff

est

_{schématiquement représenté}

sur la

Fig.

III.3-1 dans le cas d’un

_potentiel

lumineux de

_{profondeur U0}

= 100

ER.

[Rq.III-4] La condition _(III.3-7) est une condition suffisante _{pour le régime} oscillant. Il est en fait _possible d’avoir

un _régime oscillant au fond des _puits de _potentiel même _lorsque cette condition _{n’est pas} satisfaite, en

raison de _{l’allongement} des durée de vie des niveaux de vibration les _{plus bas par} effet Lamb-Dicke _(voir

§III.5).

[Ash76] N. W. Ashcroft et N. D. Mermin, in Solid State Physics (HRW International _Editions, New York,

1976) ; W.-K. _Tung, in _{Group Theory} in _{Physics (World} Scientific, Singapore, 1985).

[Rq.III-5] Dans toute la suite, les calculs seront effectués dans une boîte de taille 03BB, de telle sorte _{que seuls les}

FIG. III.3-1 : _{Spectre d’énergie} du Hamiltonien

H(0)

_{pour le} cas d’un potentiel lumineux de

profondeur

U0

= 100

E

R

.

On _distingue la _présence de 6 bandes liées de _largeurs croissantes (liées

au taux de transition par effet tunnel à travers les _puits de _potentiel). Le continuum _d’énergie

conserve dans sa _partie basse la mémoire du _potentiel sinusoidal (bande d’énergie interdite au bas du

continuum). Les _disques noirs _{représentent} les _populations stationnaires des _premiers niveaux de

vibration.

L’intérêt essentiel de cette

_approche

est _que dans le

_régime

où la condition

_(III.3-7)

est

satisfaite,

la matrice densité stationnaire du

_{système atomique}

est

_diagonale

dans la base des états

de Bloch

_{|n,q,03BC>.}

En

_effet,

la condition

_03A9v

0393’

_(distance

entre bandes

_grande

devant leur

largeur radiative) permet

d’utiliser

l’approximation

séculaire et de

_négliger

toute cohérence entre

bandes d’indices différents. Seule l’absence de cohérences à l’intérieur d’une même bande n’est

pas évidente. Cette

propriété provient

en fait de l’invariance du

système _(et

donc de la matrice densité

_{stationnaire)}

_{par translation}

_spatiale

de

03BB/2,

et _{par le} fait _que deux états d’indices de Bloch différents se transforment de

_façon

distincte par une telle translation

[Rq.III-6].

L’état du

système

atomique

étant ainsi décrit

_uniquement

en termes des

_{populations 03C0(0)n,q,03BC}

des états de Bloch

|n,q,03BC>,

il est alors

_possible

d’obtenir la matrice densité _{stationnaire par} résolution d’un

_système

d’équations

de taux de la forme

_{[Cas91a] :}

décrivant un état

_{d’équilibre}

entre _processus de

_{départ (premier} terme)

et d’arrivée

_{(second terme)}

entre les différents états de Bloch. La résolution d’une telle

_équation

ne

présente

_{pas de}

difficulté,

et conduit aux

_populations

stationnaires des niveaux de bandes en fonction de la

_quantité

sans dimension

_{U0/ER, unique paramètre}

caractérisant l’état du

_système

à la limite séculaire

_(III.3-7).

Nous avons

_représenté

sur la

Fig.

III.3-2 la

dépendance

des

populations

des

cinq premiers

niveaux de vibration en fonction du

_{paramètre U0/ER.}

On trouve ainsi _que la

_population

des états liés est couramment de l’ordre de 60-80% de la

_{population totale, indiquant}

une forte localisation

Dans le document Spectroscopie Raman et Rayleigh stimulie d'atomes refroidis par laser : dynamique des mélasses optiques unidimensionnelles (Page 103-106)