Soit u1 la solution de Lu= 0 qui vérifie
u1(a) = sinθ, p(a)u′1(a) = cosθ et soit u2 la solution de Lu= 0 qui vérifie
u2(b) = sinγ, p(b)u′2(b) = cosγ
La relation (1) montre que la fonction [u1, u2] est constante. Comme pest strictement positive sur[a, b], cette constante est nulle si, et seulement si, le wronskienW(u1, u2)est identiquement nul, ce qui équivaut à dire queu1 et u2 sont liées. Dans ce casu1 est dansDLet par suite l’opérateur(DL, L)est non injectif. En revanche, si l’opérateur(DL, L)est supposé injectif, ce qui précède montre que les solutions u1 et u2 sont nécessairement liéairement indépendantes.
On suppose que l’opérateur(DL, L)est injectif, c’est-à-dire que le problème (Lu= 0
u∈DL
n’admet que la solution nulle u = 0. Les fonctions u1 et u2, sont donc linéairement indépendantes.
On va résoudre, par la méthode de la variation des constantes de La-grange, le problème
(Lu=−f u∈DL
(II) où f est une fonction donnée, continue sur [a, b]. La méthode consiste à poser
u(x) =c1(x)u1(x) +c2(x)u2(x)
où les fonctions c1 etc2 vérifient u1c′1+u2c′2 = 0, de telle sorte que l’on ait (p(u′1c′1+u′2c′2) =f
u1c′1+u2c′2 = 0
d’où il vient[u1, u2]c′1 =u2f et[u1, u2]c′2 =−u1f. En tenant compte du fait queuappartient àDL, c’est-à-dire satisfait les conditions à la frontière, on trouvec2(a) = 0etc1(b) = 0et par suite l’intégration du sytème précédent donne
c1(x) =− Z b
x
u2(y)f(y)
[u1, u2] dy, c2(x) =− Z x
a
u1(y)f(y) [u1, u2] dy Ainsi, le problème (II) admet une solution qui s’écrit
u(x) = Z b
a
G(x, y)f(y)dy avec
G(x, y) =
−1
[u1, u2]u1(y)u2(x), si a≤y≤x≤b;
−1
[u1, u2]u1(x)u2(y), si a≤x≤y≤b. (1) On peut donc énoncer
Théorème 5.4.1. On suppose l’opérateur (DL, L) injectif.
(i) Soient f une fonction de C[a, b] et u la fonction définie par u(x) =
Z b a
G(x, y)f(y)dy
alors, la fonction u appartient à DL et vérifie Lu=−f (ii) Soient u une fonction de DL et f =−Lu, alors
u(x) = Z b
a
G(x, y)f(y)dy Démonstration. L’assertion (i) est déjà démontrée. Posons
v(x) = Z b
a
G(x, y)f(y)dy
d’après l’assertion (i) la fonction v appartient à DL et Lv = −f, donc L(u−v) = 0. Comme l’opérateur (DL, L) est injectif, on en déduit que u=v.
Définition 5.4.2. La fonction G(., .) s’appelle la fonction (ou le noyau) de Green8 de l’opérateur (DL, L).
Le théorème 4.1 exprime que si l’opérateur (DL,−L) est injectif, alors il est inversible et que son inverse est l’opérateur intégral à noyau donné par
Gf(x) = Z b
a
G(x, y)f(y)dy
La fonction de Green est caractérisée par les propriétés suivantes qui permettent donc de la construire.
Proposition 5.4.3. Soit Gx la fonction y7→G(x, y).
(a) La fonctionGx vérifie les conditions à la frontière ena et en b, elle est ce classe C2 sur[a, x[ et]x, b] et sur chacun de ces intervalles elle satisfait : LGx = 0
(b) En x la dérivée de Gx est discontinue et le saut en ce point est d
dyGx(x+ 0)− d
dyGx(x−0) =− 1 p(x)
Si δx désigne la masse de Dirac au point x, ces propriétés montrent qu’au sens des distributions,LGx =−δx.
8 George GREEN (1793-1841), est un mathématicien anglais qui, à travers sa re-cherche d’une formulation de la théorie de l’électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de sa profession, il s’initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson.
Exemple 5.4.4. - Soit (DL, L) l’opérateur défini par DL ={ u∈C2[0,1]|u(0) = 0, u(1) = 0}
Lu=u′′, u∈DL Pour trouver soninverse, on doit résoudre
(u′′=−f
u(0) = 0, u(1) = 0 Après deux intégrations par parties, on trouve
u(x) =− Z x
0
Z t 0
f(y)dy
dt+c1x+c2
où c1 et c2 sont deux constantes arbitraires. Intervertissant l’ordre des in-tégrations, on obtient
u(x) =− Z x
0
(x−y)f(y)dy+c1x+c2
Ecrivant que u(0) =u(1) = 0, il vient c2 = 0 et c1 =
Z 1 0
(1−y)f(y)dy et la solutionu s’écrit donc
u(x) = Z x
0
(1−x)yf(y)dy+ Z 1
x
(1−y)xf(y)dy
= Z 1
0
G(x, y)f(y)dy où l’on a posé
G(x, y) =
((1−x)y, 0≤y ≤x≤1; (1−y)x, 0≤x≤y ≤1.
On vérifie facilement que G, ainsi trouvée, est la fonction de Green de l’opérateur (DL, L); on peut la retrouver en appliquant la formule (1).
Exemple 5.4.5. - Soit (DL, L) l’opérateur défini par DL ={ u∈C2[0, π]/u(0) = 0, u(π) = 0 }
Lu=e−2x[(e2xu′)′ +e2xu], u∈DL
Pour inverser cet opérateur, on doit résoudre (Lu=−f
u(0) = 0, u(π) = 0 L’équation différentielle s’écrit
u′′+ 2u′ +u=−f
En posantu=e−xv, l’équation deviente−xv′′ =−f, et sa solution générale est donc de la forme
v(x) = − Z x
0
(x−y)eyf(y)dy+c1x+c2
soit
u(x) =− Z x
0
(x−y)e(y−x)f(y)dy+c1xe−x+c2e−x
Ecrivant que u vérifie les conditions aux bords en 0et en π, on trouve c2 = 0 et c1 = 1
π Z π
0
(π−y)eyf(y)dy La solution u est donc donnée par
u(x) = Z π
0
G(x, y)e2yf(y)dy avec
G(x, y) =
(1/π)(π−x)ye−(x+y), 0≤y ≤x≤π (1/π)(π−y)xe−(x+y), 0≤x≤y≤π
On vérifie que la fonction G, ainsi trouvée, est bien la fonction de Green de l’opérateur (DL, L).
Le théorème 4.1 s’applique à l’opérateur(DL, λI−L), pourvu que celui-ci soit injectif. Dans ce cas,(DL, λI−L)est inversible et son inverse, qu’on notera Gλ est de la forme
Gλf(x) = Z b
a
Gλ(x, y)f(y)dy
où la fonction Gλ est construite de façon analogue au cas où λ = 0. Plus précisément, soit u1(., λ) la solution de λu−Lu= 0 vérifiant
u1(a, λ) = sinθ, p(a)u′1(a, λ) = cosθ et soit u2(., λ)la solution de λu−Lu= 0 vérifiant
u2(b, λ) = sinγ, p(b)u′2(b, λ) = cosγ
Si λI − L est injectif, les solutions u1(., λ) et u2(., λ) sont linéairement indépendantes et par suite [u1(., λ), u2(., λ)] est une constante non nulle qui ne dépend que de λ. On vérifie alors que le noyau Gλ est donné par
Gλ(x, y) =
−1
[u1(., λ), u2(., λ)]u1(y, λ)u2(x, λ), si a≤y≤x≤b;
−1
[u1(., λ), u2(., λ)]u1(x, λ)u2(y, λ), si a≤x≤y≤b. (2) le théorème 4.1 se traduit par
Théorème 5.4.6. On suppose l’opérateur (DL, λI−L) injectif
(i) Soientf une fonction continue sur[a, b]et u la fonction définie par u(x) =
Z b a
Gλ(x, y)f(y)dy
Alors, la fonction u appartient à DL et vérifie λu−Lu=f (ii) Soient u une fonction de DL et f =λu−Lu, alors
u(x) = Z b
a
Gλ(x, y)f(y)dy
La famille des opérateursGλ s’appelle la résolvante de l’opérateur(DL, L).
Dans la suite on pose hf, gi=
Z b a
f(x)g(x)dx, et kfk=p hf, fi
L’espace C[a, b] est ainsi muni d’une structure d’espace préhilbertien dont le complété est l’espace L2[a, b].
Définition 5.4.7. Un nombre complexeλ est une valeur propre de(DL, L) s’il existe une fonction u dans DL, non nulle et vérifiant
λu−Lu= 0
la fonction uest alors appelée une fonction propre de (DL, L) associée à la valeur propre λ.
Théorème 5.4.8. Les valeurs propres de l’opérateur (DL, L) sont réelles.
Les sous-espaces propres correspondant sont de dimension 1 et deux à deux orthogonaux.
Démonstration. La formule (1) du paragraphe précédent se traduit par hLu, vi=hu, Lvi siu etv sont dansDL, de sorte que si u appartient àDL
le nombre hLu, ui est réel. Soient λ une valeur propre de (DL, L) etφ une fonction propre associée
hLφ, φi=λkφk2
la valeur propreλest donc réelle. Siψest une autre fonction propre associée à λ. La formule (1) montre que pW(φ, ψ) est une constante, comme sa valeur en a est nulle, on a W(φ, ψ) = 0 et les fonctions φ et ψ sont donc proportionnelles.
Soient φetψ deux fonctions propres correspondant aux valeurs propres λ et ν
hLφ, ψi=λhφ, ψi=hφ, Lψi=νhφ, ψi d’où (λ−ν)hφ, ψi= 0 et si λ 6=ν, hφ, ψi= 0.
Exemple 5.4.9. - Soit (DL, L) l’opérateur défini par DL ={ u∈C2[0,1]|u(0) = 0, u(1) = 0}
Lu=u′′, u∈DL
on a, avec les notations utilisées, u1(x, λ) = sh√ Les valeurs propres de l’opérateur (DL, L) sont les complexes λ tels que [u1, u2] = 0, on en déduit que les valeurs propres de(DL, L)et les fonctions propres (normalisées) associées sont
λn =−n2π2, φn(x) =√
2 sin(nπx), n≥1
Compte tenu de la formule (2), la fonction de Green Gλ est définie pour λ6=λn par Exemple 5.4.10. - Soit (DL, L) l’opérateur défini par
DL ={ u∈C2[0, π]|u(0) = 0, u(π) = 0 } Lu=e−2x[(e2xu′)′+e2xu], u∈DL
On vérifie que ses valeurs propres et les fonctions propres associées sont λn=−n2, φn(x) = cne−xsinnx, n ≥1
où cn est choisie de façon que φn soit normalisée. On calculera cn et on explicitera l’expression de la fonction de Green Gλ,λ 6=λn, en exercice.
EXERCICES
1. Montrer que siλ etµne sont pas des valeurs propres de l’opérateur (DL, L), Gλ vérifie l’équation résolvante
Gλ−Gµ= (µ−λ)GλGµ Montrer que cette équation se traduit par
Gλ(x, y)−Gµ(x, y) = (µ−λ) Z b
a
Gλ(x, z)Gµ(z, y)dz Montrer que pour toutf dans L2[a, b]
kGλfk ≤ 1
|ℑmλ|kfk
Solution : Montrons cette dernière inégalité. Posons λ = ξ+iη et u=Gλf, nous avons f =ξu+iηu−Lu et donc
kfk2 =hξu−Lu, ξu−Lui+iηhu, ξu−Lui+η2kuk2
=kξu−Luk2+η2kuk2 ≥η2kuk2 d’où on déduit que kGλfk2 ≤η2kfk2.
2. Montrer que siλ0 n’est pas valeur propre de(DL, L), le problème (λu−Lu=f
u∈DL
est équivalent à l’équation intégrale
(λ−λ0)Gλ0u+u=Gλ0f
En déduire que (DL, L)et l’opérateur intégral Gλ0 admettent les mê-mes sous-espaces propres et queλ est valeur propre de (DL, L) si, et seulement si, µ= (λ0−λ)−1 est valeur propre de Gλ0.
3. On considère l’opérateur(DL, L) défini par
DL ={ u∈C2[0, π]|u(0) = 0, u(π) = 0 } Lu=u′′, u∈DL
(a) Montrer que(DL, L)est injectif et trouver, pour toute f continue sur[0, π], la solution du problème
(Lu=−f u∈DL
(b) En déduire la fonction de Green G(., .) de(DL, L).
(c) Déterminer les valeurs propres (λn) de (DL, L) et les fonctions propres associées.
(d) Pour λ6=λn et f continue, trouver la solution du problème (λu−Lu=f
u ∈DL
(e) En déduire la fonction de Green Gλ(., .) et montrer que
λ→0limGλ(x, y) =G(x, y)
Solution :Il suffit de reprendre l’exemple 4.9 dans lequel on remplace l’intervalle [0,1] par [0, π]. D’abord, la solution générale de Lu = 0 étant de la forme u(x) = c1 + c2x, la seule solution appartenant à DL est 0; l’opérateur (DL, L) est donc injectif. La méthode de la variation des constantes montre que toute solution de Lu = −f s’écritu=c1+c2x+Rx
0(t−x)f(t)dt. La conditionu(0) = 0implique c1 = 0, la conditionu(π) = 0donnec2 = (1/π)Rπ
0 (π−t)f(t)dtet par suite la solutionu de l’équationLu=−f, qui appatient àDL s’écrit u=Gf, où G est l’opérateur intégral de noyau la fonction de Green G(., .) donnée par
G(x, t) =
x(π−t)
π , si 0≤x≤t≤π; t(π−x)
π , si 0≤t ≤x≤π.
On remarque que l’expression de G peut être déduite de la for-mule (2). Nous avons répondu aux questions (a) et (b). Comme dans l’exemple 4.9, on montre que les valeurs propres (λn) et les fonctions propres (normalisées) sont données par
λn =−n2, φn(x) =p
2/πsin(nx), n≥1
De même, pour λ 6= λn, ∀n ≥ 1, la solution u ∈ DL de l’équation λu−Lu=f est donnée paru=Gλf, où Gλ est l’opérateur intégral de noyau la fonction de Green Gλ(., .) définie par
Gλ(x, t) =
sh√
λxsh√
λ(π−t)
√λsh√
λπ , si 0≤x≤t≤π; sh√
λtsh√
λ(π−x)
√λsh√
λπ , si 0≤t≤x≤π.
La question (e) s’en déduit immédiatement.
4. L’opérateur (DL, L) étant celui défini dans l’exercice 3, résoudre le problème suivant où k est un réel donné
(λu−Lu= cos(kx) u∈DL
Solution : Si λ 6= −k2, une solution particulière est donnée par la fonction cos(kx)/(λ+k2). La solution générale de Lu−λu = 0 est donc
u(x) = c1ch(√
λx) +c2
sh(√
√λx)
λ + cos(kx) λ+k2
Il suffit alors de choisir les constantes c1 et c2 de façon que u(0) = u(π) = 0, ce qui donne
u(x) = ch(√ λx)
λ+k2 +cos(kx) λ+k2 + sh(√
λx) (λ+k2) sh√
λπ(chkπ−ch(√ λπ))
Si λ = −k2, c’est-à-dire si λ est une valeur propre de (DL, L), on construit une solution particulière u0 de Lu+k2u = coskx à partir des solutions linéairement indépendantes, u1(x) = sinkx et u2(x) = coskx, de Lu +k2u = 0, en utilisant la méthode de la variation des constantes (voir l’exercice 2 du paragraphe 2) ; il vient u0(x) = (1/k)Rx
0 cosktsink(x −t)dt = xsinkx/(2k). La solution de notre problème est donc
u(x) = c2
sinkx
k + xsinkx
2k où c2 est une constante arbitraire 5. Déterminer les fonctions propres normalisées et l’expression de la
fonction de Green Gλ de l’opérateur défini dans l’exemple 4.10.
6. On considère l’opérateur(DL, L) défini par
DL ={ u∈C2[0, π]|u(0) = 0, u(π) +ku′(π) = 0 } Lu=u′′, u∈DL
(a) Montrer que ses valeurs propres (λn) sont les solutions (quand elles existent) de l’équation th√
λπ=−k√ λ
(b) Montrer que si λn est valeur propre, alors une fonction propre associée est de la forme φn(x) =Ansh√
λnx
(c) Montrer queλ= 0 n’est valeur propre que si k=−π et que dans ce cas une fonction propre associée est de la forme φ0(x) = A0x.
7. On considère l’opérateur(DL, L) défini par
DL ={ u∈C2[0, π]|u(0) = 0, u′(π) = 0 } Lu=u′′, u∈DL
Déterminer les valeurs propres et les fonctions propres de (DL, L).
8. Soit l’opérateur (DL, L) défini par : Lu = u′′ et DL l’ensemble des fonctions udans C[0, π] vérifiant les conditions aux bords
(u′(0) + 2u′(π) = 0 u(π) = 0
(a) Montrer que (DL, L) n’est pas symétrique et que si λ est réel, le problème : λu−Lu= 0, u∈DL, n’a aucune solution u non nulle.
(b) Montrer qu’il existe une infinité de valeurs complexes λn pour lesquelles le problème précédent possède une solution un non nulle.
Déterminer les nombres (λn).
Solution : (a) Si l’opérateur (DL, L) était symétrique, le wronskien de deux éléments quelconques de DL serait nul, c’est-à-dire que l’on aurait u(0)v′(π) = u′(π)v(0), quels que soient u et v dans DL. La fonction définie paru(x) = 1 + cosx appartient à DL et la condition précédente impliquev′(π) = 0 et par suitev′(0) = 0pour toutv dans DL. Cela n’est pas vrai puisque, par exemple, la fonction définie par v(x) = −cos(x/2) + sin(x) appartient bien à DL, mais sa dérivée v′ ne s’annule pas en π.
(b) La solution générale de l’équation u′′−λu = 0 est de la forme u(x) = Ach(√
λx) + Bsh(√
λx). Donc une solution u appartient à DL si et seulement si
Ach(√
λπ) +Bsh(√
λπ) = 0 et B+ 2Ash(√
λπ) + 2 ch(√
λπ) = 0 c’est-à-dire si et seulement si ch(√
λπ) = −2. Il est clair que cette équation n’admet pas de solution réelle ; en posant √
λ =µ+iν, on vérifie rapidement que ses solutions sont de la forme
pλn=µ+i(2n+ 1) avec n ∈Z et chµπ= 2.