Voyons maintenant quelques exemples d’opérateurs linéaires continus d’un espace de Hilbert dans lui-même.
Opérateurs de multiplication et de translation
Exemple 3.2.1. - Prenons E = ℓ2(N) et soit (λn), n ∈ N, une suite bornée de nombres complexes. Pour une suite x = (xn) dans ℓ2(N), on pose Tx= (λnxn). On vérifie immédiatement que
kTxk2 =
∞
X
n=0
|λnxn|2 ≤sup
n |λn|2 kxk2
L’opérateur T est donc continu sur ℓ2(N) etkTk ≤supn|λn|. En fait (voir exercice 1) on a l’égalité kTk= supn|λn|.T est appelé opérateur de multi-plication par la suite λ= (λn).
Exemple 3.2.2. - Prenons E = L2(X,Ω, µ), où (X,Ω, µ) est un espace mesuré σ-fini et soit φ une fonction mesurable sur X à valeurs complexes.
On suppose que φ est essentiellement bornée, c’est-à-dire qu’il existe une constante c ≥ 0 telle que |φ(x)| ≤ c pour presque tout x de X. La plus petite de ces constantes c, notée kφk∞, est appelée la borne supérieure essentielle de φ. Pour f dans L2(X,Ω, µ), on pose T f = φf. On définit ainsi l’opérateur de multiplication par φ et on vérifie que sa norme vaut kφk∞.
Par exemple surL2([0,1], dx)l’application qui àf fait correspondre xf est un opérateur linéaire continu et sa norme est égale à 1.
Remarquons que l’égalitékTk=kφk∞ tombe en défaut si l’espaceX n’est pas σ-fini, comme le montre l’exemple suivant :X = [0,1]muni de la tribu borélienneΩ et de la mesure
∆∈Ω7→µ(∆) =
(m(∆) si0∈/ ∆; +∞ si0∈∆.
où m est la mesure de Lebesgue. La mesure µ n’est pas σ-finie, puisque µ({0}) = +∞. Prenons φ la fonction caractéristique de 0; elle est essen-tiellement bornée et kφk∞ = 1. Pour tout f ∈L2(µ), l’inégalité
Z
|f|2dµ≥ |f(0)|µ({0})
implique nécessairementf(0) = 0et doncφf = 0. L’opérateur de multipli-cation par φ est donc nul alors que φ n’est pas nulle presque-partout.
Exemple 3.2.3. - Pour tout réel a, on désigne par Ta l’opérateur qui, à une fonction f de L2(R), associe la fonction Taf définie presque-partout par
Taf(x) = f(x−a)
C’est un opérateur linéaire continu sur L2(R) et sa norme est égale à 1 ; il est appelé opérateur de translation.
Exemple 3.2.4. - Pour un entier relatif p, on désigne par Tp l’opérateur qui, à une suitex= (xn) deℓ2(Z), fait correspondre la suite
Tpx= (xn−p)
On a là un opérateur linéaire continu sur ℓ2(Z) et de norme 1. Il est de même appelé opérateur de translation.
Opérateur intégral de Fredholm1
Considérons un intervalle fermé borné [a, b] et une fonction k continue sur[a, b]×[a, b]à valeurs dansC. A une fonction f deL2([a, b], dx), on fait correspondre la fonction Kf définie sur l’intervalle [a, b] par
Kf(x) = Z b
a
k(x, y)f(y)dy
1Ivar Fredholm (1866-1927), est un mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Ses travaux sont à l’origine des travaux de Hilbert, sur le même sujet, ce qui allait conduire celui-ci à la notion fondamentale d’espace de Hilbert.
Nous allons montrer queK est un opérateur linéaire continu deL2([a, b], dx) dans lui-même. En effet, une application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz permet d’écrire
|Kf(x)|2 ≤ Z b
a |k(x, y)|2dy
kfk2
Par intégration, on en déduit que kKfk ≤ M(b −a)kfk, où M désigne le maximum de la fonction k sur [a, b] ×[a, b]. Ainsi, on a montré que l’opérateur K est continu et que kKk ≤M(b−a).K est appelé opérateur intégral de Fredholmet la fonctionk est appelée le noyaude l’opérateurK.
Il faut préciser que, pourf dans L2([a, b], dx), la fonction Kf est continue sur [a, b]. En effet, la fonction (x, y) 7→ k(x, y)f(y) est continue en x et pour presque tout y elle peut être majorée indépendamment de x par une fonction intégrable sur [a, b], à savoir M|f|; le théorème de convergence dominée s’applique donc et permet de conclure. Il arrive souvent que l’in-tervalle dans lequel on travaille ne soit pas borné ou que le noyauk ne soit pas continu. Le théorème suivant permet d’envisager des exemples de cette situation.
Théorème 3.2.5. Soit (X,Ω, µ) un espace mesuré σ-fini et soit k une fonction mesurable, définie sur X ×X à valeurs complexes. On suppose qu’il existe deux constantes c1 et c2 telles que
Z
X|k(x, y)|dµ(y)≤c1, µ−presque partout et
Z
X|k(x, y)|dµ(x)≤c2, µ−presque partout Alors pour toute f dans L2(X,Ω, µ), la fonction
Kf(x) = Z
X
k(x, y)f(y)dµ(y)
est définie presque-partout, appartient à L2(X,Ω, µ) et l’opérateur K qui à f fait correspondre Kf est continu dans L2(X,Ω, µ) et sa norme vérifie kKk ≤(c1c2)12.
Démonstration. On doit démontrer que Kf appartient à L2(µ), mais ceci découlera de la démonstration du fait que K est borné. Si f ∈ L2(µ), l’inégalité de Hölder montre que, pour presque toutx,
|Kf(x)| ≤ Z
|k(x, y)| |f(y)|dµ(y)
≤hZ
|k(x, y)|dµ(y)i12hZ
|k(x, y)| |f(y)|2dµ(y)i12
≤√ c1
hZ
|k(x, y)| |f(y)|2dµ(y)i12
donc Z
|Kf(x)|2dµ(x)≤c1
Z Z
|k(x, y)| |f(y)|2dµ(y)dµ(x)
≤c1 Z
|f(y)|2 Z
|k(x, y)|dµ(x)dµ(y)
≤c1c2kfk2.
Cela montre que la fonction Kf est définie µ-presque partout, appartient à L2(X,Ω, µ) et que kKfk2 ≤c1c2kfk2.
L’opérateur décrit par ce théorème est aussi appelé opérateur intégral denoyauk. Le corollaire suivant en fournit plusieurs exemples intéréssants.
Corollaire 3.2.6. Soit ϕ une fonction mesurable surRn et soit la fonction kdéfinie surRn×Rnpark(x, y) =ϕ(x−y). On suppose queϕ est intégrable sur Rn muni de la mesure de Lebesgue, alors l’application
f 7→ϕ∗f(x) = Z
Rn
ϕ(x−y)f(y)dy
définit un opérateur linéaire Kϕ, borné de L2(Rn) dans lui-même. De plus, on a kKϕk ≤ kϕkL1(Rn).
Les opérateurs de ce type, appelés opérateurs de convolution, interviennent dans beaucoup de questions d’analyse. En voici quelques exemples bien connus.
Exemple 3.2.7. - Opérateur de Poisson2 sur R : C’est l’opérateur de convolution associé à la fonction
ϕ(x) = 1 π
1 (1 +x2)
Le coefficient1/π a été ajusté pour que kϕk1 = 1. L’opérateur de Poisson, que nous noterons pour la circonstance par P, est alors défini par
P f(x) = 1 π
Z ∞
−∞
f(y)
1 + (x−y)2 dy, où f ∈L2(R, dx)
2Siméon-Denis Poisson (1781–1840), mathématicien français, abondonna ses études de médecine auxquelles ses parents voulaient l’orienter, pour aller étudier les mathéma-tiques à l’Ecole polytechnique, où il fut élève de P. Laplace et J. Lagrange qui devinrent l’un et l’autre ses amis. Ses travaux portent sur les intégrales définies, la théorie électro-magnétique et le calcul des probabilités. Le nom de Siméon Denis Poisson est attaché à de nombreuses notions mathématiques et physiques (intégrale et équation de Poisson en théorie du potentiel, crochets de Poisson dans la théorie des équations différentielles, rapport de Poisson en élasticité et constante de Poisson en électricité).
C’est un opérateur linéaire borné de L2(R, dx) dans lui-même et de norme égale à 1. On sait l’importance de cet opérateur dans la théorie des fonctions harmoniques ; plus précisément, posons pour t >0
ϕt(x) = 1
tϕ(x/t) = 1 π
t t2 +x2
La fonction ϕt est d’intégrale 1 et l’opérateur de convolutionPt qui lui est associé :
Ptf(x) = 1 π
Z ∞
−∞
tf(y)
t2+ (x−y)2 dy
est continu de L2(R, dx) dans lui-même. La fonction(x, t)7→ϕt(x), définie dans le demi-plan supérieur {(x, t);x ∈ R, t >0} est la partie imaginaire de−1/(πz), oùz =x+it, et est donc une fonction harmonique, c’est-à-dire qu’elle vérifie
∂2
∂x2 + ∂2
∂t2
ϕt(x) = 0, pour x∈R, et t >0
Par dérivation sous le signe d’intégration, qui se justifie facilement à l’aide du théorème de convergence dominée, on voit que la fonction (x, t) 7→
Ptf(x) est harmonique dans le demi-plan supérieur, de plus au sens de la norme de L2(R, dx), on a
t→0lim+kPtf−fk= 0
Ceci est un résultat général qui découle du fait que {ϕt, t > 0} est une approximation de l’identité (voir exercice 1). De là , on peut voir que la convergence a lieu en tout point oùf est continue (et dansLq(R),1≤q <
∞, si f est dans cet espace). Ainsi,Ptf résoud le problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur :
∂2
∂x2 + ∂2
∂t2
Ptf(x) = 0, pour t >0; limt→0Ptf =f, au sens ci-dessus.
Exemple 3.2.8. - Opérateur de Poisson du disque unité: Pour 0≤r <1, on pose
pr(θ) = 1−r2 1−2rcosθ+r2
C’est une fonction 2π-périodique, continue, paire, positive et on a pr(θ) =X
n∈Z
r|n|einθ
En effet, le second membre s’écrit
et il suffit alors de se rappeler la formule donnant la somme d’une série géométrique. Il est clair que
1 2π
Z 2π 0
pr(θ)dθ= 1
L’opérateur de convolution Pr qui est associé à la fonction pr : Prf(θ) = 1
2π Z 2π
0
f(θ′)pr(θ−θ′)dθ′
est un opérateur linéaire continu de L2([0,2π], dx/2π) dans lui-même et sa norme vaut 1. La formule de Parseval (voir le théorème 2.1, section 2, chapitre II) permet d’exprimerPrf, pourf dansL2([0,2π], dx/2π), à l’aide des coefficients de Fourier de pr et ceux de f :
Prf(θ) =X
Rappelons quef étant de carré intégrable, ses coefficients de Fourier (fˆ(n)) sont bornés (en faitfˆ(n)tend vers 0 quand|n|tend vers l’infini) et donc les deux séries ci-dessus ont un rayon de convergence au moins égal à 1. Il est clair que, dans le disque unité, la fonctionv(z)est holomorphe et la fonction w(z) est antiholomorphe. En d’autres termes, les fonctions v et w sont indéfiniment dífférentiables dans le disque unité D = {z ∈ C | |z| <1}
où∆ est l’opérateur de Laplace surR2. Puisque v et wsont dans C∞(D), nous avons∆v = 0 et ∆w= 0, et donc
∆Prf = 0
De plus, si l’on désigne par k k la norme de L2([0,2π], dx/2π), la formule de Parseval donne
kf− Prfk2 =X
n∈Z
|f(n)ˆ |2(1−r|n|)2 et par suite
r→1lim−kf− Prfk= 0
Ainsi, Prf est la solution du problème de Dirichlet dans le disque unité en ce sens que, pour toute f dans L2([0,2π], dx/2π), la fonction Prf, r < 1, est une fonction harmonique à l’intérieur du disque unité et converge versf sur la frontière deD, lorsquertend vers1−(la convergence étant entendue au sens de la norme de l’espace L2([0,2π], dx/2π)).
Exemple 3.2.9. - Opérateur de Gauss3 Considérons la fonction de Gauss : g(x) = 1
√2π exp(−x2/2), pour x∈R
La fonction g est intégrable sur R et son intégrale vaut 1. L’opérateur de convolution G, qui lui est associé :
Gf(x) = Z
R
f(y)g(x−y)dy= Z
R
f(x−y)g(y)dy
est borné deL2(R, dx)dans lui-même et sa norme est majorée par 1. Posons, pourt >0,
gt(x) = 1
√tg x/√ t
La fonctiongtest d’intégrale égale à 1 et l’opérateur de convolution associé, Gtest borné surL2(R, dx); il est appelé opérateur de Gauss et joue un rôle important dans la résolution des équations d’évolution classiques telle que l’équation de la chaleur. En effet, on vérifie aisément que
∂gt
∂t = 1 2
∂2gt
∂x2
3L’œuvre du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un mo-nument d’une ampleur et d’une richesse sans égale : non seulement il y a Gauss ma-thématicien, mais il y a le calculateur, le géodésien, l’astronome sans oublier qu’il a pratiquement consacré les vingt dernières années de sa vie à l’étude du magnétisme.
On estime que c’est presque de trois quarts de siècle qu’il a devancé son temps et ainsi illuminé l’avenir comme nul autre ne l’a fait. Son génie inspirait à ses contemporains une vénération un peu craintive, et nul n’aurait osé lui contester le titre de “Prince des mathématiciens” dont on le désignait communément.
On en déduit que, pour toute f dans L2(R, dx), la fonction qui à (x, t) associeGtf(x)est deux fois continûment dérivable surR×]0,∞[et satisfait
∂Gt
∂t = 1 2
∂2Gt
∂x2
t→0lim+kf −Gtfk = 0
c’est-à-dire que l’opérateur de Gauss permet de résoudre l’équation de la chaleur sur R×]0,∞[.
Opérateur intégral de Volterra4
Soit [a, b]un intervalle fermé borné deRet soitk une fonction continue sur [a, b]×[a, b] à valeurs complexes. Pour toute fonction f dans l’espace L2([a, b], dx), on pose
V f(x) = Z x
a
k(x, y)f(y)dy
On définit ainsi un opérateur linéaire borné deL2([a, b], dx)dans lui-même et on vérifie que
kVk ≤Mb−a
√2 où M = sup
[a,b]×[a,b]|k(x, y)|
Cet opérateur, appelé opérateur intégral de Volterra, diffère de l’opérateur intégral de Fredholm par le fait que la borne supérieure de l’intégrale qui le définit est la variable x, au lieu de l’extrémité b de l’intervalle. Ceci a pour effet d’avoir une meilleure majoration de la norme de V et par suite deVn, avec n∈N. On peut anticiper et voir l’exemple 3.12 du paragraphe qui suit.
EXERCICES
1. Soit λ = (λn) une suite bornée de nombres complexes et soit Tλ
l’opérateur de multiplication dansℓ2(N), par la suiteλ. Montrer que kTλk= supn|λn|.
Solution: Par définition, pour x= (xn)∈ℓ2(N), Tλx= (λnxn) et kTλxk2 =X
n∈N
|λnxn|2 ≤sup
n∈N|λn|2kxk2
4Vito Volterra (1860-1940), est un mathématicien italien dont les travaux portent sur l’Analyse Mathématique et ses applications à la Mécanique Physique et la Biologie.
Il consacra les dernières années de sa vie à l’étude de l’Hérédité et la Théorie de la lutte pour la vie.
On en déduit que kTλk ≤ sup
n∈N|λn|. D’autre part, pour tout élément ek de la base canonique deℓ2(N), on a Tλek=λkek et par suite
∀k∈N, kTλk ≥ kTλekk
kekk =|λk| On en déduit que sup
k∈N|λk| ≤ kTλk, et par suite l’égalité voulue.
2. Approximation de l’identité: Soitϕune fonction positive, intégrable sur Rn et d’intégrale égale à 1. Pour t > 0, on considère la fonction définie par ϕt(x) = t−nϕ(x/t)
(iv) Montrer que sif est une fonction uniformément continue et bor-née sur Rn, alors ϕt∗f converge uniformément sur Rn vers f lorsque t tend vers 0.
Solution : L’assertion (i) résulte immédiatement du changement de variables y = x/ǫ. Pour l’assertion (ii), soit δ > 0 et posons encore y=x/ǫ. Alors
Puisque ϕ est intégrable et δ/ǫ tend vers l’infini lorsque ǫ tend vers 0, la dernière intégrale tend vers 0 avec ǫ. Pour la partie (iii), on remarque d’après (i) que f(x) = R
où1/p+ 1/q= 1. En appliquant l’inégalité de Hölder et en intégrant par rapport à x, on voit quekf ∗ϕt(x)−f(x)kpp est majorée par
En changeant l’ordre des intégrations dans la dernière intégrale (ce qui est justifié car les fonctions sont positives), on obtient
kϕt∗f−fkpp ≤ Z
Rn
ϕt(y)ψ(y)dy
où ψ(y) = kTyf −fkpp, Ty étant l’opérateur de translation défini au début de ce paragraphe. Pour δ >0, on peut écrire
Z
Etant donné η >0, on peut choisir δ de façon que ψ(y) soit stricte-ment inférieur àη dès quekyk< δ; il en résulte que pour toutt >0, At,δ ≤η. De plus, en utilisant l’inégalité de Minkowski, on peut voir quekψk∞est majoré par2pkfkpp et par suiteBt,δ est, à une constante multiplicative près, majorée par R
kyk≥δϕt(y)dy. On conclut grâce à (ii). L’assertion (iv) se démontre de façon tout à fait analogue.
3. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, montrer que l’espace Cc∞(Rn) des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact dans Rn est dense dans Lp(Rn, dx) pour toutp, 1≤p < ∞.
Par exemple k(s, t) = 1/(s+t) possède ces propriétés. Montrer que kKfkp ≤γkfkp, où K est donné par
Kf(s) = Z ∞
0
f(t)k(s, t)dt, (s >0) Solution: On remarque que
Kf(s) =s−1
En utilisant la version intégrale de l’inégalité de Minkowski (voir exer-cice 15, section 1, chapitre I), on peut écrire
kKfkp ≤
Un changement de variables évident montre que le second membre est égal à
L’inégalitée cherchée s’en déduit.
5. (Extension, due à Schur, du théorème 2.5 ) : Soient (X, µ) et(Y, ν) deux espaces mesurés σ-finis et soit (x, y) 7→ k(x, y) une fonction mesurable sur (X×Y, µ×ν). On suppose qu’il existe des fonctions mesurablesp(x)etq(y)positives presque partout sur X etY respec-tivement et telles que
Z
X|k(x, y)|p(x)dµ(x)≤C1q(y), Z
Y|k(x, y)|q(y)dν(y)≤C2p(x) (i) Montrer que l’opérateur intégral de noyau k, défini par
Kf(x) = Z
Y
k(x, y)f(y)dν(y)
est borné de L2(Y, ν)dans L2(X, µ)et que kKk2 ≤C1C2.
(ii) Montrer que dans le cas où X =R+ = [0,∞[ etY =R, l’opéra-teurK est borné deL2(R)dansL2(R+)pourvu que le noyaukvérifie l’inégalité|k(x, y)| ≤C(x2+y2)−12. On construirap(x)etq(y)de fa-çon à pouvoir utiliser (i).