2 Production d’états comprimés du rayonnement à l’aide de diodes laser 99
2.1.4 Fiabilité des mesures
Un
déséquilibre
de la chaîne de détectionéquilibrée peut
avoir troisorigines (cf
fig.2-10):
uneperte optique
entre leséparateur optique
et l’une desphotodiodes (a);
un défaut degain
sur l’un desphotodétecteurs (b);
un défaut degain
surl’un,
ouplusieurs,
des
quatre
coefficients du soustracteur sommateur(c).
Nousentreprenons
d’unepart
de décrire l’incidence de ces troisdéséquilibres
sur la fiabilité de la mesure, d’autrepart
nousexaminons comment les compenser.
A.1 Traitement
semi-classique
de la détectionhomodyne
Nousadoptons
à ceteffet le traitement
semi-classique
bien connu de la détectionhomodyne [14],
où le sépara-teuroptique mélange
les fluctuations du faisceau à mesurer entrant par A avec celles du vide entrantpar B (cf fig.2-10).
Ce traitement est en effetplus
maniable et mieuxadapté
à la démarche suivie ici que le traitement
quantique présenté
auchapitre
I en 1.1.4. Nous ferons la liaison entre ce traitement et le traitementquantique
duchapitre
I.Nous supposerons que le bruit d’intensité de A n’est
jamais beaucoup plus
faible que le bruitquantique
standard. Ceci reflète les situations observéesexpérimentalement,
où le bruit mesuré était soit de l’ordre du bruitquantique standard,
éventuellementlégèrement
comprimé
sous ce dernier(40%
tout auplus),
soitprésentait
un excès de bruitquelconque
(de quelques
dB àplusieurs dizaines).Considérons
unchamp d’amplitude:
Figure~2-10:
Localisation des défauts sur une chaîne de détectionéquilibrée
Ses fluctuations
d’amplitude
03B4E(t)
sontsupposées
très faibles devant sa valeur moyenneE,
et obéissent à unestatistique
stationnaire. Enlinéarisant,
les fluctuations d’intensité 03B4I sont données par:Si E est
réel,
alorsLa fonction d’autocorrélation du bruit d’intensité s’écrit:
Si de
plus E (t)
est dans un étatcohérent,
nous avons montré auchapitre
I(cf.
1.27c’est à dire que la densité
spectrale
de bruit associée aux fluctuationsd’amplitude
03B4E*(t)
+03B4E(t) (pour
Eréel),
estégale,
dans le cas d’un état cohérent à:C03C90.
Nous écrivons les relations d’entrée sortie pour le
séparateur optique:
Nous trouvons:
d’où:
En
comparant
leséquations
2.6 avec leséquations
1.46 et 1.52a duchapitre I,
on voit que les densitésspectrales
de bruit associées à la somme et à la différence des fluctuationsd’intensité sont:
2022 pour la somme:
S03B4I+
=S
IA
,
densitéspectrale
de bruit associée aux fluctuations deI
A
2022 pour la différence:
S03B4I-
=I
A
C
03C90
car le vide est un état cohérentOn note
03C1(IA)
le bruit d’intensiténormalisé,
défini comme lerapport
du bruit d’in-tensité au bruitquantique standard,
mesuré par une détectionparfaitement équilibrée;
ilest donné par le
rapport
de la densitéspectrale
du bruit d’intensité à la densitéspectrale
A.2 Défaut de
gain
sur l’un desphotodétecteurs
Nous supposons que lasépa-ration
optique
des faisceaux estcorrecte,
que legain
en continu desamplificateurs
estidentique,
mais que legain
de la voie hautefréquence amplifiant
le bruit d’intensité du faisceau 2 connaît un défaut degain,
de sorte que le sommateur soustracteur traite en réalité nonplus 03B4I2,
mais03B42
=(1 2014 Rel) . 03B4I2
Le taux deréjection
est donné parR2el/4.
Nous trouvons:
Nous constatons que deux sources d’erreur entachent la mesure: d’une
part
le défaut degain mélange
le bruitquantique
standard et le bruitd’intensité;
d’autrepart,
il fausse d’un coefficient(1 2014 Rel/2)2
le bruitquantique standard,
c’est à direqu’il
introduit une erreur relativeRel.
Lapremière
source d’erreurl’emporte
néanmoins sur la seconde dès que le bruit du faisceau à mesurer est très élevé ou que laréjection
n’est pas très bonne.Ainsi un faisceau
présentant
30 dB d’excès de bruitenvoyé
sur une détectionhomodyne
avec
Rel
=0, 01 (taux
deréjection
de 40dB) permet
encore une estimation correcte du bruitquantique standard, puisque
l’erreur n’est que de10%.
Enrevanche,
si le taux deréjection
n’est que de 25dB,
le bruit mesuré par différence est de 6 dBsupérieur
au bruitquantique
standard et la mesureperd
donc toutesignification.
Le taux deréjection
indique
donc l’ordre degrandeur
de l’excès de bruit d’intensité maximalsusceptible
d’être mesuré par la détectionéquilibrée.
A.3 Défaut de
gain
sur l’un des coefficients du sommateur soustracteur Cecas est en fait très
proche
duprécédent.
Nous supposons trois desquatre
coefficients du sommateur soustracteurégaux
et affectons unléger déséquilibre
auquatrième
que nousdécrivons comme
précédemment
par le facteur 1 2014Rel.
l’une des voies. S’il
s’agit
d’uncoefficient 03B1i(i=1,2), S03B4I+
restecorrect,
et l’on trouveEn
revanche,
s’ils’agit
d’un coefficient03B2i(i=1,2),
on obtient:Ainsi,
toutdéséquilibre,
même trèsfaible,
entre les deux coefficients de la voie sous-tractricepeut
fausser considérablement la mesure du bruit normalisé p si le bruit d’in-tensité de A est assez fort. Enrevanche,
undéséquilibre
entre les deux coefficients de la voie sommatrice n’entraîne sur la mesure de pqu’une
erreur relative de l’ordre deRel.
Cerésultat est satisfaisant dans la mesure où le
déséquilibre
entre les voies sommatrices nepeut
être aussi bien connu, et donc aussi bienminimisé,
que celui entre les voiessoust-ractrices,
mesuré par le taux deréjection. Ainsi,
la connaissance dudéséquilibre
éventuelqui
nous est donnée par lerapport
des courbes degain 03B21
et03B22
et l’assurance que ledéphasage
entre03B21
et03B22 est,
parconstruction,
inférieur à celui entre 03B11 et 03B12,permet
d’estimer avec une
précision
raisonnable l’erreur relative sur la mesure de pimputable
ausommateur. Ceci confirme le rôle
critique
du taux deréjection,
dontdépend
l’essentiel descapacités
de la chaîne de détectionéquilibrée.
A.4 Pertes
optiques
entre leséparateur
et unephotodiode
Cette situation rend notammentcompte
d’un défaut d’efficacitéquantique
d’unephotodiode
parrapport
à l’autre. Ils’agit
en fait de la seuleperte optique possible
sur cettepartie
dutrajet
dufaisceau, puisque
lesphotodiodes
sont directementplacées aprés
leséparateur.
Ce casest donc très
important
àenvisager,
d’abord parcequ’il
est presqueinévitable,
ensuite parcequ’il
affectesystématiquement
le taux deréjection,
enfin parce que lesdéséquilibres
qu’il engendre peuvent
êtresignificativement plus
élevés que ceuximputables
à lapartie
électronique
de la chaîne de détection.L’efficacité
quantique
desphotodiodes
que nous utilisonsprésente
unedispersion
faiblemais aisément
détectable,
et l’on nedispose
pastoujours
d’un lot dephotodétecteurs
suffi-samment fourni pourpouvoir
y sélectionner deux élémentsappariés
defaçon
satisfaisante. Sur lapremière
chaîne de mesure que nous avonsréalisée,
l’écart d’efficacitéquantique
entre les
quelques photodiodes disponibles
était au mieux de5%.
Pour laseconde,
sur unevingtaine
dephotodiodes,
nous avons pu en sélectionner deux dont l’écart était inférieurà 1%.
Le défaut d’efficacité
quantique peut
être dû soit auxqualités intrinsèques
de laphotodiode,
soit à unelégère
différenced’alignement
ou de focalisation du faisceau d’un détecteur à l’autre. Nous supposons que le défaut d’efficacitéquantique
affecte dans la mêmeproportion
lesignal
délivré en continu et à hautefréquence
par lesphotodiodes.
Nous le
modélisons,
comme touteperte optique,
par une lameséparatrice
de transmissiont et de réflection r,
(r2+ t2 = 1, r2 = 2o, tR
=To), placée
sur letrajet
du faisceau 2.Après
lalame,
lechamp E2
s’écrit2;
il réunit les contributions de lapartie
deE2
transmise par la
lame,
et de celle du modeEc
du vide introduite par réflexion:03B4
2
=t2 E2 (03B4E2
+) 203B4E*
+rtE2 (03B4Ec
+) = 03B4E*c (1 - R0)03B4I2
+rt 2EA
(03B4Ec
+03B4E*c) (2.15)
Nous obtenons donc:
On constate que l’écart à la valeur normale
prend
uneexpression légèrement
différente de celle valable dans le cas du défaut degain électronique.
Lemélange
du bruitd’inten-Figure~2-11:
Défaut d’efficacitéquantique
d’unephotodiode
sité du faisceau et du bruit
quantique
standardimplique
les mêmesexigences quant
à laqualité
de laréjection.
Enrevanche,
un termesupplémentaire,
dû au bruit du vide introduit par lespertes optiques, distingue
l’effet despertes optiques
de celui despertes
électroniques.
Ce termeexplique pourquoi
il estimpossible
de compenserparfaitement
des
pertes optiques
par despertes électroniques.
B. Correction des
déséquilibres
dûs à l’écart d’efficacitéquantique
Nous allons examiner trois
façons
de compenser ledéséquilibre
dû à l’écart d’efficacitéquantique
décrit en 2.1.4.A.4 parR0,
de manière à le ramener au niveau desdéséquilibres
dûs à
l’électronique, puisque
c’est ellequi
détermine pour l’ensemble de la chaîne dedétection la meilleure
performance susceptible
d’être obtenue.B.1 Correction par
pertes optiques
Cette correction repose sur unprincipe
trèssimple
desymétrie:
pourrééquilibrer
les deuxvoies,
oncrée, artificiellement,
sur la voie deplus
forte efficacitéquantique
despertes optiques équivalentes
au défautd’efficacité
quantique
de l’autre voie.Chaque
voie se trouve donc affectée du coefficient 1 2014Ro.
Decette
façon
nous obtenons:et le courant reçu par les
photodiodes correspond
à un faisceau d’intensité(1 2014 Ro) IA.
Le bruit
quantique
standard mesurécorrespond
donc exactement à l’intensité lumineusedétectée,
et le bruit d’intensité au bruit d’intensité du faisceau A atténué du facteur(1 2014 Ro).
La détection est doncparfaitement équilibrée,
et en tenantcompte
de l’efficacitéquantique globale
de ladétection,
il est immédiat de remonter à p(IA).
La
façon
laplus rigoureuse
de compenser un défaut d’efficacitéquantique
de l’une des voies consiste donc à introduire despertes optiques
sur l’autre voie. Mais cette solution est peupraticable, puisqu’elle complique
considérablement laprocédure
deséparation
optique.
Eneffet,
laséparation
des deux faisceaux est faite en contrôlant directement le courant émis par lesphotodiodes
et non lapuissance qui
leur estenvoyée;
la correction parpertes optiques exige
doncd’équilibrer préalablement
laséparation optique
en mesurantla
puissance
danschaque
voie successivement. Deplus
alorsqu’on
s’efforce de focaliserchaque
faisceau de la même manière sur le détecteurconcerné,
ilfaudrait,
pour créer despertes optiques
défocaliser oudésaligner,
cequi
doit être faitsoigneusement
etcomporte
toujours
lerisque
d’introduire un excès de bruit peu contrôlable etsusceptible
de faussergravement
les mesures. Ceci est donc peucompatible
avecl’usage
habituel de la détectionéquilibrée, qui implique
defréquents rééquilibrages
de laséparation optique
dûs auxlégers
désalignements
ou rotations depolarisation,
intervenant en amont duséparateur.
B.2 Correction par
pertes électroniques
Par ailleurs commel’indique l’équation
2.17,
laprincipale
source d’erreur que l’on cherchegénéralement
àcorriger
est cellere-présentée
par l’intrusion du bruit d’intensitéSIA
du faisceau sur la voie soustractrice oùl’imperfection
de laréjection,
secorrige
aussi bien parcompensation électronique
que parcompensation optique.
Lacompensation électronique
consiste à diminuer legain
encontinu et à haute
fréquence
de la voie deplus
haute efficacitéquantique
d’un facteur(1 2014 Rel) = (1 - Ro)
où(1 2014 R) o exprime
le défaut d’efficacitéquantique
de l’autre voie parrapport
à cette dernière. On obtient ainsi:Le courant total
apparemment
mesuré par les deuxphotodétecteurs
vaut:IA (1 2014 Ro).
C’est cette valeur
qu’il
fautprendre
encompte
pour définir l’erreur commise sur la mesure du bruit d’intensité relativement au bruitquantique
standard. Pour l’intensitéIA (1 2014 Ro)
et pour une détection
parfaitement équilibrée
lerapport
p du bruit d’intensité au bruitquantique
standard vaut:En
réalité,
on mesure:L’erreur relative commise sur la mesure de p s’écrit donc:
Si l’excès de bruit est très
fort,
nous avons ainsi limité l’erreur relative àR0/2. Ainsi,
pour un défaut d’efficacité
quantique
de5%,
celle-ci n’estplus
que de2,5%.
Deplus,
lorsque
le bruit mesuré estprès
du bruitquantique standard,
l’erreur relative se réduitstandard,
avec un défaut d’efficacitéquantique
de5%
sur l’une desphotodiodes,
l’erreur relative n’estplus
que de0,6%.
Lacompensation électronique
donne donc d’excellents résultats pour le domaine de mesure deschamps légèrement comprimés
en intensité. Elleexige quelques manipulations électroniques
relativementsimples, puisqu’il s’agit
seule-mentd’ajuster
desgains
sansproblème
dedéphasage. L’avantage particulier
à cetype
de
compensation
réside dans le faitqu’il
fournit unepaire
dephotodétecteurs
dont lesréponses
sontidentiques
en continu et diffèrent à hautefréquence
dans desproportions
semblables à celles définies par l’erreur relative
évoquée
en(2.24).
Pour des taux de
réjection
convenables(inférieurs
à3%)
lesimperfections
dues à la correctionélectronique
se réduisent donc àquelques
termes dont l’incidence est d’autantplus
faible sur la mesure de l’excès de bruit que ce dernier est faible. Enoutre, ajuster
les
gains
relatifs dechaque voie, optiquement
ouélectroniquement
est une solutionqui
rencontre ses limites
lorsque,
comme c’est le caslorsque
les taux deréjection
sontfaibles,
le
déphasage d’origine électronique
entre les voies devient sensible. Pour de tels taux deréjection,
lacompensation électronique
est donc enpratique largement préférable
à lacompensation
parpertes optiques.
B.3 Correction par
déséquilibrage optique
Ce troisièmetype
de correction est leplus simple
à réaliser. Il consistesimplement
àégaliser
les courants débités parchaque
photodiode
endéséquilibrant
lepartage optique.
Les coefficients r et t de la lamesépa-ratrice sont modifiés afin de compenser exactement le défaut d’efficacité
quantique
de laphotodiode 2,
caractérisé par le facteur(1 2014 R0).
Onaugmente
la transmission et onOn trouve:
L’efficacité
quantique globale
des deuxphotodiodes
est(1 2014 Ro/2).
Il nous faut donc comparer lerapport 03C1(IA (1 2014 Ro/2))
du bruit d’intensité au bruitquantique
standard mesuré dans ces conditions avec lerapport 03C1eq (1 2014 R(IA o/2))
que donnerait une détectionparfaitement équilibrée
détectant l’intensitéIA (1 - Ro/2) .
L’erreur relative sur p s’écrit:
Cette
formule,
dont lacomparaison
avec(2.24)
estimmédiate,
montre que cetype
de correction est encore
plus
efficace que lacompensation électronique, puisque
l’erreur relative évolue désormais commeR2
et nonplus
commeR,
tout en diminuant dans les mêmesproportions qu’en (2.24) lorsqu’on
serapproche
du bruitquantique
standard.Ainsi,
un défaut d’efficacitéquantique
de5%
setraduit,
pour un faisceau dont le bruit d’intensité estcomprimé
de20%
sous le bruitquantique standard,
par une erreur relative sur p de0,016%.
Ledéséquilibrage optique
est donc une méthode de compensa-tionplus
efficace etplus pratique
que la méthode despertes électroniques.
Enrevanche,
elle est
intrinsèque
à la détectionéquilibrée
et la correctionqu’elle apporte
n’estpossible
que
lorsque
les deuxphotodétecteurs
sont insérés dans la chaîne de détectionéquilibrée.
compen-sation par
déséquilibrage optique
la chaîne estéquilibrée globalement.
Aucontraire,
dans le cas de la correction parpertes électroniques,
on s’attache à rendre lesréponses
des deux détecteurs aussi semblables quepossible,
de sorte que l’on pourra notamment lesutiliser pour une détection directe calibrée à référence simultanée.
C. Phénomènes
perturbant
la détectionéquilibrée
Ainsi que nous l’avons
évoqué
en(2.1.3),
il n’est pastoujours possible
d’utiliser unedétection
équilibrée.
Nous l’avons constaté dans deux situations. L’une d’elles estévoquée
en introduction
(2.1.3).
Il ne semble pas que l’excès de bruitrajouté
par une lame doive être attribué à une réflexionqui perturberait
ladiode,
dans la mesure où cephénomène
se
produit
même loin de l’incidence normale du faisceau sur lalame,
et ne seproduit
pas
lorsque
le faisceau traverse un cubepolariseur
tout aussi réfléchissant. Une autrehypothèse
consiste à attribuer l’excès de bruit au bruit dephase
dufaisceau,
transforméen bruit
d’amplitude
par l’effetFabry-Pérot
de la lame.C.1 Modes de
polarisation orthogonale
au modeprincipal
émis par une diode laser L’autrephénomène susceptible
de fausser les mesures réalisées par une détectionéquilibrée
est mieuxcompris.
Ilapparait lorsque
l’on mesure le bruit en sortie de la diode laser sansplacer
d’élémentpolariseur
avant la détectionéquilibrée.
Or laséparation
du faisceau est réalisée au moyen d’élémentspolarisants.
Dans ce schéma de détectionhomo-dyne,
onpeut
considérer que le vide entre par la lamedemi-onde, porté
par lapolarisation
orthogonale
à celle du faisceau à mesurer. Ce sont donc les fluctuationsd’amplitude
de la lumièrequi
entrent par cette voie duséparateur,
que noushomodynons
avec lechamp
moyen
qui
entre par l’autre voie.Aussi,
il estimportant
d’éliminer toute lumière sur la voie définie par lapolarisation orthogonale
à lapolarisation
du faisceauprincipal.
C’estd’autant
plus
nécessaire que la diode laserpossède
despetits
modesbruyants,
de très faible intensité et dont lapolarisation présente
descomposantes orthogonales
à celle du modeprincipal.
Au lieu du bruitquantique standard,
c’est le bruit de cescomposantes
Figure~2-12:
Rotation de lapolarisation
par une lame03BB/2
que nous mesurerons si nous ne prenons pas de
précautions.
Nous pouvonsdécomposer
lechamp E
émis par la diode en unchamp pEep
selon la direction depolarisation principale
e
p
et un autreEoeo
selon la direction depolarisation eo orthogonale
à cette dernière . La lame demi-onde tourne lespolarisations
de sorte que, pour unangle 03B8
de la lame(cf.fig.2-12),
lechamp E03B8 après
celle-ci s’écrit:avec
Lorsque
la lame demi-onde est utilisée devant un cubepolariseur
pour réaliser laFigure~2-13: Séparation
despolarisations
par un cubepolariseur
deux
champs E1ep
eteo2E
depuissance égale,
selon les directionsep
eteo.(fig.2-13)
Si la diode laser émettait un
champ parfaitement polarisé
selon la directionprincipale
e
p
il suffirait deremplacer Eo
par le vide pour retrouver ladescription semi-classique
de la détectionhomodyne présentée
en(2.1.4.A.1). Or,
si depetits
modes oscillent sur lapolarisation orthogonale,
ce sont les fluctuations03B4Eo
de ces modesqui
sonthomodynées
avec la
composante
depolarisation principale.
Le traitementsemi-classique
montre alors que:La densité
spectrale
de bruitSI1+I2(03A9)
mesurée par la somme desphotocourants
est donccelle, SIP ,
du bruit d’intensité de lacomposante Ep
duchamp
émis par la diode.Nous pouvons l’écrire en fonction de la densité
spectrale
de bruit relative aux fluctuationsd’amplitude
deEp: SIp (03A9)
=IS
Ep
(03A9),
où I =E
2
pest
l’intensité du faisceau émis par la diode laser(l’intensité
de lacomposante orthogonale
estsupposée négligeable
devantcelle de la
principale).
En
revanche,
la densitéspectrale
de bruitSI1-I2(03A9)
mesurée par la différence desphotocourants
s’écrit:ISEo(03A9),
oùSEo(03A9)
est la densitéspectrale
de bruit relative au bruitd’amplitude
deEo.
Cette densitéspectrale
vautC03C90
dans le cas du vide ou de tout autre état cohérent. En fait cespetits
modes depolarisation orthogonale
ont des fluctuationsd’amplitude plus
élevées que celles duvide, qui expliquent
la surestimationimportante
du bruitquantique
standard donné par la détectionhomodyne
fonctionnantsous ces conditions. Il est donc
indispensable
deplacer
unpolariseur
avant la détectionéquilibrée
afin de les éliminer.C.2 Mesure du bruit des modes de
polarisation orthogonale
Nous avons puégalement
obtenir par détection calibrée une estimation de l’excès de bruitprésent
dansces modes. Pour
cela,
nous avonsplacé
une lame demi-onde à la sortie de la diodelaser,
devant un élément
polarisant qui
ne laisse passer que lacomposante
selonep (fig.2-14).
Pour un
angle 03B8
de lalame,
lechamp après
l’élémentpolarisant
s’écrit:L’intensité
I1
duchamp
s’écritI cos2 (203B8), puisque
l’onnéglige
l’intensité de lacom-posante
depolarisation orthogonale.
Les fluctuations d’intensité mesurées par détection directes’écrivent,
dans cetteapproximation,
et ensupposant Ep
réel:Figure~2-14:
Mesure du bruit des modes depolarisation orthogonale
La densité
spectrale
de bruit est donc:
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Réduction du bruit dans les lasers : application aux lasers à semi-conducteur et aux minilasers solides
(Page 128-145)