D : moi, par contre, je ferais comme ça : comme il est codé ici un angle (le codage de

l’angle droit), l’intersection des diagonales, nous avons les diagonales qui sont

perpendiculaires (données de l’énoncé), alors nous pouvons vérifier, par les critères

d’isométrie des triangles, si elles (les diagonales) se coupent vraiment dans leur milieu. Moi, je vais marquer que les diagonales sont perpendiculaires

12. V : mais attends, DE est une corde. Maintenant nous avons tout ce qu’il nous faut, la seule chose que nous manque est DE, mais on peut trouver, par les critères d’isométrie des triangles, que le triangle AOD est superposable au triangle ODE.

Soit le théorème « pilote » de l’intervention [8] (nous définirons dans le paragraphe 1.1.3.2 le terme « théorème pilote »), soit le théorème « pilote » de l’intervention [9] permettent de définir un projet de pas de déduction qui, à partir de certaines prémisses (données de l’énoncé ou informations recueillies par des pas de déduction), illustre un plan d’enchaînement de pas déductifs nécessaires pour aboutir à la conclusion.

Comme on vient de le dire, la verbalisation du théorème: « Pour un losange il suffit que tous les quatre cotés soient égaux » (intervention [8]) en jouant une fonction de guide, assigne aux informations recueillies le statut de prémisses : « AO=r », « OE=r » et « AO=OE ». Cela permet la comparaison entre l’ensemble des prémisses issues de l’appréhension opératoire sur le dessin et l’ensemble des prémisses du théorème à vérifier, car les propositions ont toutes le même statut opératoire potentiel. Dès lors, on pourra cerner l’ensemble des prémisses du théorème qui sont encore à vérifier (dans le cas, AD=DE).

C’est à cette étape que se dégage le projet correspondant au théorème pilote de l’intervention [8] par un méta-discours en [10]. Les critères qui nous permettent de relever ce projet sont la modalité « falloir », au temps conditionnel, accompagnée par le verbe « démontrer »⁷. Dès que l’on a trouvé la prémisse encore à vérifier pour que le théorème pilote soit utilisable, l’élève propose un autre énoncé tiers nécessaire pour aboutir à la vérification de la prémisse manquante, dans le cas précédent, un des critères d’isométrie des triangles [12]. De même, la verbalisation du théorème: « [Pour un losange il faut] que les diagonales soient perpendiculaires et se coupent dans leur milieu» (intervention [9]) en jouant une fonction de guide, assigne à la donnée de l’énoncé « les diagonales sont perpendiculaires » le statut de prémisses. Il découle à ce moment le projet de vérification de la prémisse manquante (« les diagonales se coupent dans leur milieu ») et l’élève propose un des critères d’isométrie des triangles comme un autre énoncé tiers pour aboutir à la vérification de cette prémisse [11]. Parfois, il arrive qu’un projet soit superposé à un autre par la vérification de la dépendance directe de l’un à l’autre. C’est pourquoi nous l’appellerons « projet dominant ». Dans les extraits suivants le projet dominant est celui qui permet de montrer que les diagonales sont perpendiculaires. En général, le projet dominant est celui issu de la verbalisation correcte et

7 On reconnaît des autres exemples de la fonction de planification mises en évidence par la modalité « falloir », par exemple, aux interventions [36], [97] et [142] du protocole K/J. Voir annexes.

complète d’un théorème pilote. C’est pourquoi, les projets qui sont substitués par des projets dominants dans les deux extraits suivants, sont issus de la verbalisation non complète d’un théorème pilote [19] ou [47] :

9. G: ça est égal ça (en indiquant AO et AD) ça c'est un parallélogramme AO égal OE égal AD donc ça fait un parallélogramme…

16. G: En fait ce côté c'est le même que celui là (AD et OE), hein, il faut dire qu'elles sont parallèles aussi …t'as jamais utilisé le triangle rectangle dans le cercle? Je ne sais plus (elle trace le segment BE)

19. C: mais oui, mais….. enfin …ce n'est pas la peine de dire qu'elles sont parallèles à partir du moment qu'on sait que c'est un quadrilatère où les diagonales se coupent dans leur milieu et perpendiculairement, dans ce cas là c'est évident qu'elles sont parallèles, non?

42. J : les cotés opposés sont parallèles, et ça c'est un rayon (OE)

On sait que c'est un parallélogramme, il faut prouver que c'est un losange justement, c'est un parallélogramme spécial. Bon alors, pour prouver que ces cotés sont parallèles …

Bien AD égal AO, AO c'est le rayon et EO c'est un rayon du cercle donc forcement AD il est parallèle

47. K : mais tu n'as pas besoin de prouver que c'est un parallélogramme, tu dis que c'est un quadrilatère dont les diagonales se coupent dans leur milieu et elles sont perpendiculaires, et c'est un losange

Remarquons que, dans le protocole du binôme C/G, les interventions [9] et [16] n’expriment pas la verbalisation complète d’un théorème pilote, et, par conséquent, elles n’expriment pas un projet dominant. De même, dans l’intervention [42] du protocole de K/J, la seule caractérisation du losange en terme d’un parallélogramme « spécial » ne suffit pas pour en tirer un projet dominant.

1.1.2.1 Comment s’exerce la fonction de planification du langage

La fonction de planification du langage s’exerce à la suite de la verbalisation de l’énoncé d’un théorème et consiste d’un projet de vérification des prémisses manquantes du théorème. Dés que les prémisses à vérifier sont reconnues (fonction de guide), la fonction de planification du langage permet la construction d’un projet des pas de déduction nécessaires pour vérifier chaque prémisses.

Remarquons que la planification de la vérification des prémisses manquantes n’implique pas nécessairement le déroulement strict des pas de déduction.

Par exemple, la planification des pas de déduction nécessaires pour conclure que les diagonales du quadrilatère se coupent dans leur milieu, peut démarrer par la vérification que AH = HE (H point d’intersection des diagonales) en supposant que les triangles AHO et OHE soient isométriques (ou que A soit le symétrique de E par rapport à la droite (OD)) ou bien procéder au sens contraire : après avoir vérifié que les triangles AHO et OHE sont isométriques (ou bien avoir montré que le point A est symétrique du point E par rapport à la droite (OD)) conclure que AH=HE.

De l’analyse des protocoles, nous avons constaté que la verbalisation de l’énoncé du théorème relève la fonction de guide et permet de reconnaître les prémisses à démontrer. Par conséquent, la re-verbalisation des prémisses au cours du processus peut activer un processus de planification. La re-verbalisation des prémisses au cours du processus est souvent mis en acte par une question directe posée par le camarade

Or, pour ce qui concerne la question directe, nous avons remarqué qu’elle peut induire l’explicitation d’un méta-discours à propos d’un projet de résolution et cela confirme que le choix de l’interaction verbale entre les élèves constitue un apport essentiel pour l’avancée dans la résolution. À ce propos citons deux extraits du protocole de Kévin et Jérémie (Problème A1) :

107. J : moi je ne comprends pas ce que tu veux faire avec les angles ! [question implicite] 108. K : si on prouve que celui là est égal à celui là (DAI et IAO) et si on prouve ça on sait que

c'est le milieu donc la droite là c'est une bissectrice de l'angle aussi, prouver que les angles ici sont égaux, comme ça on sait que c'est le milieu [projet]

24. K : t'es sûr qu’ils se coupent dans leur milieu? [question directe]

25. J : non, ça faudrait prouver ça, mais perpendiculaires ça c'est sur ! [projet]

Ou encore, l’extrait du protocole de Camille et Gaëlle (Problème B1) montre comment un projet peut être déclenché par une question directe posée par le camarade :

21 C: ouais, mais dans ce cas là se coupent dans leur milieu

22 G: et comment tu peux savoir qu’elles se coupent dans leur milieu? [question directe] 23 C: ben justement, c'est ce qu'on veut démontrer, non? [projet1]

…….

36 G: peut être on peut démontrer, ... tiens regarde ça c'est symétrique par rapport à ça (AO et

DE) donc en fait c'est le même

37 C: et alors? [question directe]

38 G: et après il faut qu'on puisse démontrer qu'il est parallèle à celui là [projet 2] 39 C: ouais, mais ce qu'il nous faut c’est de dire que c'est le milieu là, ce truc, non?

1.1.2.2 Théorème pilote

Il est évident que non touts les théorèmes utilisés dans le processus de résolution sont verbalisés et il est évident aussi que leurs prémisses sont également vérifiées sans le recours à la verbalisation d’un projet de pas de déduction. Alors, quels sont les théorèmes dont est ressenti la nécessité de verbaliser l’énoncé ? Peut être sont-ils les théorèmes qui ne sont as bien connus des élèves ?

Il paraît que les théorèmes dont est ressentie la nécessité de verbaliser l’énoncé, semblent être des théorèmes « pilote », c’est-à-dire des théorèmes qui permettent de définir un projet d’un

ensemble de pas de déduction constituant du processus de résolution. Par exemple, les

théorèmes : (1) «Un quadrilatère ayant les diagonales qui se coupent dans leur milieu et perpendiculairement est un losange » ou (2) « Un quadrilatère ayant quatre côtés égaux est un losange » définissent un ensemble de conditions nécessaires et suffisantes pour fournir la réponse finale au problème. Tandis que, la verbalisation n’est pas ressentie strictement nécessaire pour les théorèmes constituant des autres énoncés tiers qui ne sont pas des théorèmes pilote (ils ne fournissent pas un projet d’un ensemble de pas de déduction mais ils servent seulement pour passer d’une prémisse à une conclusion). En effet, les théorèmes concernant la hauteur et la médiane du triangle isocèle (« dans un triangles la hauteur est aussi médiane est médiatrice » et le réciproque) ou les critères concernant l’isométrie des triangles, ont été verbalisés même s’ils sont des énoncés tiers dans le processus et même s’ils sont sûrement des théorèmes bien connus des élèves. Cela parce qu’ils constituent des théorèmes pilote pour l’avancement de la résolution : dans le cas du théorème concernant la hauteur et la médiane du triangle isocèle, par exemple, sa verbalisation définit un projet d’ensemble de pas de déduction qui sera relié à l’hypothèse manquante du théorème (1), c’est-à-dire : « les diagonales se coupent dans leur milieu ». L’enchaînement de pas de déduction que le

planifier sont : théorème permet de

AH est hauteur du triangle isocèle OAD, la hauteur d’un triangle isocèle est aussi médiane et médiatrice, donc, AH est aussi médiane et médiatrice du triangle OAD. Comme AH est médiane, H est le milieu de côté [OD] du triangle OAD, c’est pourquoi la diagonale [AE] du quadrilatère OADE coupe [OD] en son milieu.

1.1.2.3 L’usage des théorèmes

La verbalisation (complète) de l’énoncé d’un théorème aide les élèves à son utilisation correcte (vérification des toutes les prémisses du théorème et seulement celles-là), cela dans la plupart des cas, mais l’analyse des protocoles montre aussi que certains théorèmes, n’étant pas verbalisés, sont pourtant utilisés de façon correcte. Ceci est en apparente contradiction avec ce qu’on vient de dire dans le paragraphe précédent.

A ce propos nous considérons l’extrait suivant (Problème A1):

109. K : si on prouve que celui là est égal à celui là (les angles DAI et

IAO) et si on prouve ça, on sait que c'est le milieu donc la droite là

c'est une bissectrice de l'angle aussi, prouver que les angles ici sont égaux, comme ça on sait que c'est le milieu

110. J : ouais, parce qu’il est isocèle (le triangle OAD), sinon c'est pas vrai

nous manque juste un angle

112. K : il est isocèle le triangle ADO parce qu’il a deux cotés de même longueur 113. J : c'est sûr, c'est des rayons

La définition du triangle isocèle : « un triangle ayant deux cotés égaux est isocèle » n’est pas verbalisée avant d’être utilisée (interventions [109, [119]] et [112]), pourtant elle est utilisée de façon correcte. Ou encore, le théorème « tous les rayons du cercle ont la même longueur » n’est pas verbalisé, mais il est utilisé de façon correcte plusieurs fois dans le processus (par exemple, dans l’intervention [113]).

En général, certains théorèmes sont utilisés de façon correcte mais ils ne sont presque jamais verbalisés, comme les théorèmes de l’extrait ci-dessus, et ce fait revient dans plusieurs protocoles de notre expérimentation. La caractéristique commune de ces théorèmes semble être le fait qu’ils sont très connus des élèves et que leur usage ne semble pas poser des problèmes. Comme on verra dans le Tableau 6.1 ci joint, le pourcentage de verbalisation de certains théorèmes dans les protocoles de notre expérimentation est plutôt bas, cela nous permet d’en tirer un résultat pour notre recherche : les théorèmes et les définitions qui sont en acte⁸ dans les processus de résolution, n’ont pas besoin d’être verbalisés pour être utilisés de façon correcte, tandis que la verbalisation correcte et complète de l’énoncé de théorèmes que les élèves ne peuvent pas engager immédiatement dans l’action, semble être nécessaire pour leur application correcte.

À partir de cette remarque, on peut conclure qu’il y a différents usages des théorèmes utilisés dans les processus de résolution. C’est pourquoi, nous parlerons de la pluralité d’usage des

théorèmes.

Le Tableau 6.1 vise à relier les théorèmes et les définitions utilisés de façon correcte au fait qu’ils ont été verbalisés ou non verbalisés : dans la première colonne nous indiquons les énoncés des théorèmes, dans la deuxième colonne nous mentionnons les protocoles où ces théorèmes ont été verbalisés, et dans la troisième colonne, les protocoles où ces théorèmes ne sont pas verbalisés.

8 Nous adopterons la définition de théorème-en-acte issue de la théorie de Vergnaud qui considère ces théorèmes en tant qu’invariants de type « propositions », susceptibles d’être vrais ou faux.

Tableau 6.19

THÉORÈMES et DÉFINITIONS UTILISÉS De façon correcte THÉORÈMES