Faibles et fortes fréquences de battement

L’article étant consacré à la déviation du sillage qui ne se produit qu’en régime pro- pulsif, de larges gammes de fréquences avant et après la bifurcation ont été mises de côté mais présentent néanmoins des caractéristiques intéressantes.

3.3.1.1 Résonance en régime traînant à faibles fréquences de battement

Pour des faibles fréquences de battement f < 0.31, l’aile est en régime traînant. Son évolution avec la fréquence est représentée en figure (3.5a), de f = 0 lorsque l’aile ne bat pas à f = 0.35 lorsque l’écoulement est passé en régime propulsif. On rappelle que la fréquence naturelle des allées de tourbillons de Bénard-Von Karman est fn = 0.167, et

correspond à cette géométrie de l’aile et ce Reynolds. Un pic de traînée apparaît pour une fréquence f ≈ 0.05, ce qui correspond environ à un tiers de la fréquence naturelle. A la valeur de la fréquence naturelle même, aucune résonance de la valeur de la traînée moyenne n’est observée pour autant. Cleaver et al. observait déjà des pics de la traînée à des valeurs subharmoniques de la fréquence naturelle, même si dans leur cas, cela correspondait plutôt à la moitié de celle-ci [36].

3.3.1.2 Saturation de la portance moyenne à fortes fréquences

Pour de fortes fréquences de battement au delà de la bifurcation, le sillage est fortement dévié. La portance moyenne sature alors avec la fréquence de battement. Cette saturation est représentée dans la figure (3.5b). On a montré précédemment que la portance moyenne est directement reliée à l’angle de déviation du sillage et que la forte augmentation de cette angle de déviation est due aux développements des perturbations non-linéaires dans le sillage. Si la portance moyenne sature, c’est donc probablement lié à une saturation des effets non linéaires à la base de l’augmentation de la déviation. Ainsi pour f > 0.46, la portance moyenne est pratiquement constante. Dans cette gamme, la poussée moyenne continue elle à augmenter avec la fréquence de battement.

3.3.1.3 Rendement de l’aile battante en régime propulsif

À la lumière de ces observations sur la traînée et la portance, se pose la question du rendement propulsif de l’aile. Au premier abord, le rendement d’une aile battante peut être simplement défini comme le rapport entre la puissance obtenue et la puissance fournie

η = hPouti

hPini

(a) (b)

Figure 3.5 – (a) Coefficient de traînée moyenne < Cx > en régime traînant. (b) Coeffi-

cient de portance moyenne < Cy > après la bifurcation en régime fortement dévié.

Cette définition est par ailleurs problématique lorsque l’on étudie une aile auto-propulsée. Son rendement propulsif est par construction nul pour respecter l’équilibre des efforts aérodynamiques [109]. Dans ce cadre là, plusieurs stratégies existent pour pallier ce pro- blème notamment en essayant de séparer la traînée et la poussée. Bale et al. ont par exemple proposé d’évaluer cette séparation en identifiant des mécanismes créateurs de traînée ou de poussée [110]. Une autre manière de procéder est de modifier la définition du rendement tout en essayant de garder une mesure physique et non dimensionnée. C’est le cas de Kern et al. qui proposent de définir le rendement de l’aile comme le rapport entre son énergie cinétique et le travail qui lui est fourni [111].

Dans le cas présent, cette problématique ne se pose pas et la définition usuelle du rendement est utilisée. Le rendement de l’aile est calculé en comparant la puissance de la poussée moyenne récupérée et la puissance de la rotation injectée pour mettre en mouvement le fluide autour de l’aile.

η = DhCx(t)i U0

Mz(t) ˙θ(t)

E (3.5)

L’évolution du rendement en fonction de la fréquence de battement est tracée dans la figure (3.6). Le rendement est négatif pour f < 0.31, puisqu’il s’agit de la limite à laquelle on passe d’un régime traînant à un régime propulsif. Pour 0.31 < f < 0.43, le rendement augmente de manière constante, alors que le sillage se met à dévier pour f ≈ 0.385 sans que cela affecte cette tendance. Pour 0.43 < f , l’écoulement passe dans le régime III (voir l’article [66] au début de ce chapitre) ce qui provoque une brusque augmentation de la croissance du rendement avec la fréquence. Celui-ci atteint un maximum pour f = 0.46, comme la portance moyenne, puis décroît pour de plus grandes fréquences. Dans cette gamme, la poussée moyenne continue pourtant à augmenter mais pas assez rapidement au regard de la puissance injectée à travers le mouvement de l’aile. Nos résultats sug- gèrent ainsi que la transition entre les régimes II et III est intéressante pour optimiser le rendement de l’aile. Il convient par contre de rappeler que la cinématique de l’aile étant ici complètement imposée, il faut vérifier que ce résultat est toujours valable pour une aile auto-propulsée. La saturation du rendement à grandes fréquences de battement avait déjà été identifiée par Anderson et al. [33] qui notaient que le rendement maximum est atteint lorsque la poussée est grande, à haute amplitude et fréquence de battement, ce que nos résultats confirme. Enfin, il convient de rappeler que ces résultats sont obtenus à une amplitude de battement fixée, et que la modification de l’amplitude de battement a probablement une incidence importante sur le rendement maximal.

3.3. COMPLÉMENTS ET DISCUSSIONS 93

Figure 3.6 – Évolution du rendement propulsif η en fonction de la fréquence de batte- ment.

3.3.1.4 Influence de l’amplitude de battement

Figure 3.7 – Plan amplitude A vs fréquence f de battement. Les points sont étiquetés de la manière suivante :  : sillage traînant ;  : sillage propulsif non dévié ; ◦ : sillage propulsif dévié en régime II ;  : sillage propulsif dévié en régime III.

Finalement, seulement une petite partie des simulations effectuées ont été présentées dans auparavant, pour ne pas perdre en clarté. En particulier, des simulations non présen- tées ont consisté à faire varier l’amplitude de battement et reproduit les diagrammes de classification des sillages présentés par Godoy-Diana et al. [51] et Schnipper et al. [112]. Dans l’étude de Godoy-Diana, l’aile a la même forme mais un rapport d’aspect légèrement plus important (4.6 : 1 au lieu de 4 : 1) tandis que dans l’étude de Schnipper, l’aile a un rapport d’aspect de 6 : 1 et le nombre de Reynolds prend deux valeurs ReD = 220 et ReD = 440. Le diagramme obtenu dans notre cas est présenté dans la figure (3.7). On

constate que le domaine d’existence d’un sillage propulsif non dévié (cercles pleins ) est assez restreint. C’est conforme aux observations de Deng et al. [54] qui notaient que la déviation se produit très rapidement après la transition traînée/poussée. D’autre part, le domaine d’existence du régime II faiblement dévié semble plus restreint à haute qu’à basse amplitude de battement. On peut y voir là la preuve que la transition entre le régime II et le régime III dépend plus fortement de l’amplitude de battement qui est directement

responsable de l’intensité des tourbillons émis, que de la fréquence de battement qui est responsable de l’espacement entre les tourbillons successifs.