Cas d’études

On distingue par la suite trois types de mouvement de l’aile.

2.2.1.1 Aile fixe sans incidence

Pour ce premier cas d’étude, l’angle d’incidence est nul (α = 0) ainsi que le mouve- ment de rotation de l’aile (θm = 0). Comme les systèmes d’axes (eX, eY) et (ex, ey) se

confondent, u et v représentent les composantes du vecteur vitesse dans ce dernier système d’axe. Le vecteur d’état q = (u, p)T _{est décrit par la loi d’évolution (2.1) où le vecteur}

résidu s’écrit R(q) = − (u · ∇)u + ∇p − Re −1 ∆u ∇ · u ! (2.9) et représente les équations de Navier-Stokes incompressibles résolues dans le domaine spatial Ω autour de l’aile. Cette configuration se caractérise par une invariance temporelle ainsi qu’une symétrie de réflexion selon l’axe (O, x). Dans ce cas, les causes (dans le sens de Curie), c’est à dire la géométrie et les conditions limites sont caractérisée par une invariance temporelle ainsi qu’une invariance par la réflexion sy par rapport à l’axe (O, x),

qu’on peut définir par la transformation géométrique

sy : (x, y) → (x, −y). (2.10)

Du fait que cette symétrie transforme les axes (ex, ey) en (ex, −ey), l’effet de cette symétrie

sur un écoulement défini par (u, v, p)(x, y) est donc définie ainsi :

sy : (u, v, p)(x, y) −→ (u, −v, p)(x, −y). (2.11)

En vertu du principe d’invariance énoncé plus haut, on peut donc s’attendre à l’exis- tence d’une solution d’écoulement qui reste invariante par l’effet de cette symétrie. Cepen- dant une telle solution n’est pas nécessairement observable (au travers d’une expérience physique ou d’une simulation numérique). La figure 2.3illustre deux cas possibles à l’aide de résultats de simulation numérique. Pour Re = 100, la solution observée à l’issue de la simulation est effectivement stationnaire et vérifie la symétrie spatiale sy, comme repré-

senté sur la figure 2.3(a). En revanche, pour Re = 255, le cas qui nous intéresse par la suite, à l’issue de la simulation numérique on observe que la solution est instationnaire et ne satisfait pas cette symétrie, comme représenté sur la figure 2.3(b). La solution sta- tionnaire symétrique existe toutefois toujours pour cette valeur de Re, mais celle-ci est instable et donc non observable directement.

(a) (b)

Figure 2.3 – Aile fixe sains incidence. Champ de vorticité de (a)la solution stationnaire obtenue pour Re = 100 et (b) la solution instationnaire obtenue pour Re = 255. Cette dernière ne satisfait pas la symétrie de réflexion.

2.2.1.2 Aile battante, incidence moyenne non nulle

Pour ce second cas d’étude, l’aile est en mouvement de rotation selon la loi sinusoïdale (2.8) autour d’un angle d’incidence non nul (α 6= 0). Comme expliqué dans le chapitre (1.1), le résidu des équations de Navier-Stokes incompressibles formulées dans le système d’axe tournant s’écrit

R(q, θ(t)) = − ω (ez× u) + [(u − w) · ∇] u + ∇p − Re −1 ∆u ∇ · u ! (2.12) où ω = dθ/dt est la vitesse de rotation de l’aile et w est la vitesse du maillage définie par

w(X, t) = (−cos(θ(t)) − ω(t) Y, sin(θ(t)) + ω(t) X)T (2.13)

Les équations sont résolues en prenant en compte la condition d’adhérence du fluide à la paroi de l’aile, qui s’écrit u(Xw, t) = w(Xw, t), où Xw sont les coordonnées des points

de la paroi.

Dans ce second cas, les causes au sens de Curie (la géométrie et les conditions limites) sont caractérisées par une symétrie temporelle de périodicité, notée sT, dont l’effet sur les

cordonnées spatiales et temporelles est le suivant :

sT : (x, y, t) → (x, y, t − T ). (2.14)

L’effet de cette symétrie sur un écoulement représenté par (u, v, p)(x, y, t) dans le repère absolu est défini par

sT : (u, v, p)(x, y, t) −→ (u, v, p)(x, y, t − T ). (2.15)

Illustrons maintenant la présence ou l’absence de cette symétrie dans la solution du problème, à l’aide de résultats de simulation numérique tirés du chapitre (4). La figure

2.4 illustre deux cas différents rencontrés. Le premier cas représenté correspond aux pa- ramètres f = 0.1, α = 9◦, θm = 8.8◦ et Re = 255. Dans ce cas, la solution observée est

effectivement T -périodique. La structure de l’écoulement est identique à un instant t0 (fi-

gure 2.4a) et à un instant t0+ T (figure2.4b). La différence entre ces deux instants (figure 2.4c) est exactement nulle. Le second cas illustré correspond aux paramètres f = 0.1, α = 10.5◦, θm = 8.8◦ et Re = 255. Dans ce cas, la structure du sillage aux instants t0

(figure 2.4d) et t0 + T (figure 2.4e) semble, à première vue, identique. Cependant, un

examen plus approfondi montre de légères différences dans la structure de l’écoulement (notamment l’intensité et la position des tourbillons situés dans le sillage lointain). La différence entre ces deux instants (figure 2.4f ) confirme cette différence et prouve que la

solution n’est effectivement pas T -périodique. On verra dans le chapitre (4) que pour ce choix de paramètres la solution est en réalité 3T -périodique, et que d’autres cas sont pos- sibles selon la valeur des paramètres (pseudo-périodique, 2T -périodique, etc). Dans tous ces cas il existe cependant une solution T -périodique instable, dont le calcul va nécessiter la mise en ouvre de techniques spécifiques.

2.2. CONFIGURATIONS, ÉQUATIONS ET SYMÉTRIES DE L’ÉCOULEMENT 55

(a) (d)

(b) (e)

(c) (f)

Figure 2.4 – Aile battante avec incidence. (a-c) Solution T -périodique obtenue pour

α = 9◦ et f = 0.1. (d-f) Solution 3T -périodique obtenue pour α = 10.5◦ et f = 0.1. Champ de vorticité pour (a,d) t = t0 et (b,e) t = t0+ T . (c,f) Différence entre les champs

de vorticité à ces deux instants.

2.2.1.3 Aile battante, incidence moyenne nulle

Pour ce troisième cas d’étude, l’aile est mise en mouvement de rotation selon la loi sinusoïdale (2.8) mais cette fois-ci l’angle d’incidence moyen est nul (α = 0). Comme dans le cas précédent, le vecteur d’état q est régit par l’équation d’évolution (2.1) écrite dans le repère tournant, et donc le vecteur résidu R(q) est défini par (2.12).

Intéressons nous maintenant aux symétries vérifiées par les causes au sens de Curie (géométrie et conditions limites) du problème. En plus de la symétrie de périodicité tem- porelle sT caractérisant le cas précédent, on a maintenant une symétrie supplémentaire

du fait que l’incidence moyenne est nulle. Cette nouvelle symétrie correspond au fait que chaque demi-période de battement est l’image par rapport à une symétrie miroir selon l’axe (O, x) de la précédente : l’angle de rotation, en plus d’être une fonction T -périodique, satisfait la relation θ(t) = −θ(t + T /2) : à l’instant t, il est opposé à l’angle de rotation à la demi-période suivante. Mathématiquement, cette symétrie correspond à la composition d’une translation temporelle d’une demi-période et d’une symétrie de réflexion. On la notera donc syo sT /2, en définissant son effet sur les coordonnées spatiales et temporelle

ainsi :

syo sT /2: (x, y, t) −→ (x, −y, t − T /2) (2.16)

L’effet de cette symétrie sur un écoulement (u, v, p)(x, y, t) est quand à lui défini ainsi :

syo sT /2: (u, v, p)(x, y, t) −→ (u, −v, p)(x, −y, t − T /2) (2.17)

Illustrons maintenant la présence ou l’absence de cette symétrie dans la solution du problème, à l’aide de résultats de simulation numérique tirés du chapitre (3). La figure2.5

θm = 8.8◦ et au nombre de Reynolds Re = 255 pour deux fréquences de battement. Pour f = 0.35, on constate effectivement que les écoulements aux instants t0 (figure 2.5a) et

t0+ T /2 (figure 2.5b) sont symétriques l’un de l’autre. La partie antisymétrique, obtenue

par l’application de l’opérateur A, est effectivement nulle (figure 2.5c). La situation est

différente pour f = 0.43. Dans ce cas, du fait de la déviation du sillage vers le haut, la solution à t0+T /2 (figure2.5e) n’est plus symétrique de celle à t0(figure2.5d). L’extraction

de la partie antisymétrique de la solution (figure 2.5f ) confirme que la symétrie spatio-

temporelle est effectivement brisée. Dans ce second cas, il existe cependant une solution instable respectant la symétrie spatio-temporelle, dont le calcul va nécessiter la mise en ouvre de techniques spécifiques.

(a) (d)

(b) (e)

(c) (f)

Figure 2.5 – Aile battante sans incidence. (a-c) Solution T -périodique obtenue pour

Re = 255, θm = 8.8◦ et f = 0.35 vérifiant la symétrie spatio-temporelle (2.17). (d-f)

Solution T -périodique obtenue pour Re = 255, θm = 8.8◦ et f = 0.43 ne satisfaisant

pas la symétrie spatio-temporelle (2.17). Champ de vorticité pour (a,d) t = t0 et (b,e)

t = t0+ T /2. (c,f) Vorticité de la composante anti-symétrique ua(t).