Description des solutions quasi périodiques

Dans cette section, on s’intéresse à des solutions qui ne convergent pas vers un état périodique. Pour illustrer cela, on représente dans la figure (4.7) l’évolution des efforts fluides dans deux cas (α = 9◦ et α = 10◦) à la même fréquence de battement f = 0.2. Dans chaque cas, on représente la portance en fonction de la traînée sur dix périodes de battements (4.7a,b). Les forme des deux graphes est presque identique. On note cependant que dans le second cas (à α = 10◦), la courbe d’évolution des efforts est plus "épaisse". Il convient donc de déterminer si cette épaisseur est purement transitoire ou si cela reflète un écart de la solution à la périodicité. Pour déterminer cela, on utilise le critère d’écart à la périodicité dkT défini dans la section (1.3.1.1). Cet écart sert à mesurer quantitativement

l’écart entre k périodes successives. Dans le cas k = 1, la distance dT représente donc l’écart

des efforts à la périodicité. Au regard des figures (4.7a,b), la distance dT est la distance

entre deux cercles rouges successifs. Prendre une autre valeur de k permet d’évaluer l’écart des efforts à la kT -périodicité. L’évolution temporelle de la distance dT est représentée

dans la figure (4.7c,d) pour les deux cas précédents. Dans le cas α = 9◦, la distance dT

décroit rapidement, perd plusieurs ordres de grandeurs en quelques périodes. On note que la précision de stockage utilisée pour les efforts fait que le zéro est à 10−6. Pour α = 10◦ par contre, la distance diminue rapidement puis stagne entre 10−1 et 10−2. La norme des efforts est elle plutôt de l’ordre de 101_{. Si cette mesure de la distance stagne, c’est}

intrinsèquement que la solution associée n’est pas périodique, mais quasi-périodique avec une variation d’une période à une autre de très faible amplitude. On décide de choisir une valeur arbitraire de distance critique égale à 10−4. Si la distance devient plus petite que cette valeur, on considère la solution comme périodique. Au contraire, si la distance ne descend pas en dessous de cette valeur, on qualifie la solution de quasi-périodique. Dans la figure (4.7), on considère donc les deux dernières solutions (b-c) comme quasi-périodiques. Pour autant, les deux cas que nous venons de présenter forme une situation extrême où la distinction est difficile à faire. Dans la plupart des autres cas rencontrés, la quasi- périodicité de la solution est nettement plus claire, et ne nécessite souvent pas l’utilisation de la distance dT pour être confirmée. C’est par exemple le cas de la solution présentée dans

(a) (b)

(c) (d)

Figure 4.7 – (a-b) Portance vs. traînée instantanée. Le points rouge représente la valeur relevée une fois par période à l’instant t0 + kT choisi. (c-d) Évolution de la distance dT

entre deux solutions instantanées, espacées d’une période T (équation (1.59)) en fonction du nombre de périodes. (a,c) solution T -périodique (α = 9◦). (b,d) solution quasi T - périodique (α = 10◦). f = 0.2.

la figure (4.8). On y observe un cas quasi-périodique très marqué (α = 11◦ et f = 0.2). Le côté "épais" de la courbe apparaît clairement lorsqu’on trace la portance en fonction de la traînée (4.8a). On procède ensuite à une section de Poincaré de ce cas. Un zoom sur la manière dont évolue la valeur relevée à chaque période en figure (4.8b) montre que l’on semble converger vers un attracteur en s’enroulant autour de lui. Si on zoom une fois de plus dans la figure (4.8c), on se rend compte qu’au lieu de converger vers cet attracteur, la portance et la traînée continuent à évoluer de manière anarchique dans une très petite plage de valeur.

Le cas précédent traitait d’une solution quasi T -périodique. Pour autant, de la même manière que certaines solutions sont kT -périodiques, avec k 6= 1, on trouve également des solutions quasi kT -périodiques. C’est le cas de la solution présentée dans la figure (4.9), qui est quasi 2T -périodique (α = 14◦ et f = 0.15). Dans la figure (4.9a), on a séparé les points à t = t0+ 2kT (bleu) et les points à t = t0+ (2k + 1)T (rouge). Au lieu d’avoir les

points rouges et bleus qui convergent vers deux valeurs uniques et distinctes comme dans le cas 2T -périodique (4.6b), ils se déplacent de manière discontinue sur une ligne. Les figures (4.9b) et (4.9c) montrent des zooms sur les points bleus et rouges respectivement. Dans chaque cas, les positions pour k = 1, 2 et 3 sont indiquées. Avec des simulations numériques sur encore plus de périodes, on devrait avoir deux nappes de points qui se remplissent complètement.

Enfin, la figure (4.3) contenait un cas classé comme quasi-3T périodique (α = 10.5◦ et f = 0.1). Le tracé de la portance en fonction de ma traînée (4.10a) laisse voir une courbe épaisse, dont on déduit que la solution associée n’est pas périodique, mais quasi périodique. On reprend pour la section de Poincaré (4.10b) la même procédure que pour le cas 3T -périodique (4.6a) à savoir des points bleus, rouges et verts qui correspondent

4.2. ANAL. DE LA PÉRIODICITÉ DES SOL. DE SIMUL. NON-LIN. 115

(a) (b) (c)

Figure 4.8 – Analyse d’une solution quasi T -periodique (α = 11◦,f = 0.2). (a) : Portance vs. traînée instantanée. (b-c) Sections de Poincaré. La figure (b) est un zoom de la figure (a). La figure (c) est un zoom de la figure (b).

(a) (b) (c)

Figure 4.9 – Section de Poincaré pour une solution quasi 2T -périodique (α = 14◦,f = 0.15). Les points bleus et rouges correspondent respectivement aux instants t = t0+ 2kT

et t = t0+ (2k + 1)T , k ∈ N. (b-c) : zoom de la figure (a) pour les instants (b) t = t0+ 2kT

et (c) t = t0 + (2k + 1)T . Les positions pour k = 1, 2 et 3 sont indiquées dans les figures

(b-c).

respectivement aux instants t = t0+ 3kT , t = t0+ (3k + 1)T et t = t0+ (3k + 2)T , k ∈ N.

Au lieu de converger vers trois attracteurs comme dans le cas 3T -périodique, ils forment un tore, ce qui confirme le côté quasi 3T -périodique. Cette observation est completée par le tracé des distances dT et d3T (4.10c) où on voit que celles-ci ne convergent jamais mais

stagnent avec dT ≈ 10−1 et dT ≈ 10−3− 2.10−2. Le fait que d3T > dT est aussi un bon

indicateur du caractère quasi 3T -périodique de cette solution.